第五章《一元一次方程》5.2《解一元一次方程》预习-2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦解一元一次方程核心知识点，系统梳理合并同类项、移项、去括号、去分母的方法及解一元一次方程的一般步骤，构建“概念理解—方法掌握—综合应用”的学习支架，衔接实际问题解决。 资料采用两日分段预习设计，任务明确且含挖空填写、易错点汇总和真题训练，通过转化思想培养数学思维，建模思想提升应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

人教版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・合并同类项与移项模块）】 ✅ 达成目标：掌握合并同类项和移项解方程的方法，能解简单的一元一次方程 通读课本 P120-P124 问题1、例1、例2、问题2、移项的概念、例3和例4的内容，自主完成下文「核心知识点 1-2」「基本概念 1-2」的挖空填写。 熟记合并同类项解方程的方法（把含有x的项合并，简化方程），掌握移项的概念（把等式一边的某项变号后移到另一边），理解移项的依据（等式的性质1），能利用合并同类项和移项解一元一次方程。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能利用合并同类项解方程，能正确移项（变号），能解含移项的一元一次方程。 【Day2 预习任务（建议 30min・去括号、去分母与综合应用模块）】 ✅ 达成目标：掌握去括号和去分母解方程的方法，掌握解一元一次方程的一般步骤 通读课本 P124-P129 问题3、例5、例6、问题4、去分母的方法、归纳、例7和练习内容，完成「核心知识点 3-6」「基本概念 3-5」剩余挖空填写。 掌握去括号解方程的方法（括号前是负号时去括号要变号），掌握去分母解方程的方法（方程两边乘各分母的最小公倍数），掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能解决实际问题。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能去括号、去分母解方程，能按一般步骤解一元一次方程，能解决实际问题。 一、核心知识点梳理 知识点 1：合并同类项解方程 我们已经知道，直接利用等式的性质可以解简单的方程。本节我们将结合方程的具体特点，继续研究如何解一元一次方程。 例如，某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这所学校购买了多少台计算机？ 设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台。根据"三年共购买计算机140台"，列得方程x+2x+4x=140。 把含有x的项合并同类项，得7x=140。 系数化为1，得x=20。 因此，前年这所学校购买了20台计算机。 合并同类项解方程的方法： （1）合并：把方程中含有未知数的同类项合并，把常数项合并； （2）化简：将方程化为ax=b（a≠0）的形式； （3）系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到x=。 例如：解方程2x x=6-8。 解：合并同类项，得 x=-2。 系数化为1，得x=4。 💡重要结论：合并同类项的作用是把含有未知数的项合并，简化方程，使方程更接近于x=m的形式。合并同类项时，系数相加，字母和指数不变。 知识点 2：移项解方程 例如，把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本。这个班有多少名学生？ 设这个班有x名学生。每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共(3x+20)本。每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共(4x-25)本。 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，列得方程3x+20=4x-25。 为了使方程的右边没有含x的项，等式两边减4x，得3x+20-4x=-25。 为了使方程的左边没有常数项，等式两边减20，得3x-4x=-25-20。 即把原方程左边的20变为-20移到右边，把右边的4x变为-4x移到左边。 像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项。 移项的依据：等式的性质1（等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等）。 对方程3x-4x=-25-20合并同类项，得-x=-45。 系数化为1，得x=45。 移项解方程的方法： （1）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边（移项要变号）； （2）合并同类项：将方程化为ax=b（a≠0）的形式； （3）系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到x=。 例如：解方程3x+7=32-2x。 解：移项，得3x+2x=32-7。 合并同类项，得5x=25。 系数化为1，得x=5。 ⚠️易错提醒：移项时一定要变号！把某项从等式的一边移到另一边时，这项的符号要改变。例如，把+20从左边移到右边要变为-20，把4x从右边移到左边要变为-4x。不移项的项不要变号。 知识点 3：去括号解方程 当方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤。 例如，某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW·h，全年的用电量是150000 kW·h。这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 设去年上半年平均每月的用电量是x kW·h，则下半年平均每月的用电量是(x-2000) kW·h。 根据全年的用电量是150000 kW·h，列得方程6x+6(x-2000)=150000。 方程左边去括号，得6x+6x-12000=150000。 移项，得6x+6x=150000+12000。 合并同类项，得12x=162000。 系数化为1，得x=13500。 去括号的法则： （1）括号前是"+"号，去括号后括号内各项的符号不变； （2）括号前是"-"号，去括号后括号内各项的符号都要改变； （3）括号前有数字因数时，要用这个数字因数乘括号内的每一项（不能漏乘）。 例如：解方程2x-(x+10)=5x+2(x-1)。 解：去括号，得2x-x-10=5x+2x-2。 移项，得2x-x-5x-2x=-2+10。 合并同类项，得-6x=8。 系数化为1，得x=。 ⚠️易错提醒：去括号时要注意：括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号，不能只变第一项的符号；括号前有数字因数时，要用这个数字因数乘括号内的每一项，不能漏乘某些项。 知识点 4：去分母解方程 当方程中未知数的系数不是整数时，如果能化去分母，把未知数的系数化成整数，就可以使解方程中的计算更简便些。 例如，王家庄距翠湖的路程问题，列得方程=。 这个方程中各分母的最小公倍数是15，方程两边都乘15，得5(x-50)=3(x+70)。 去括号，得5x-250=3x+210。 移项，得5x-3x=210+250。 合并同类项，得2x=460。 系数化为1，得x=230。 去分母的方法： （1）找：找出方程中各分母的最小公倍数； （2）乘：方程两边同时乘这个最小公倍数（每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项）； （3）化：将方程化为不含分母的形式。 例如：解方程-1=2+。 解：去分母（方程两边乘4），得2(x+1)-4=8+(2-x)。 去括号，得2x+2-4=8+2-x。 移项，得2x+x=8+2-2+4。 合并同类项，得3x=12。 系数化为1，得x=4。 ⚠️易错提醒：去分母时要注意：方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项；如果分子是多项式，去分母后要把分子作为一个整体加上括号。 知识点 5：解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。 通过这些步骤，可以使以x为未知数的一元一次方程逐步转化为x=m的形式。 这个过程主要依据等式的性质和运算律等。 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：方程两边乘各分母的最小公倍数（依据：等式的性质2）； （2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（依据：去括号法则和分配律）； （3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边（依据：等式的性质1，移项要变号）； （4）合并同类项：把方程化为ax=b（a≠0）的形式（依据：合并同类项法则）； （5）系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到x=（依据：等式的性质2）。 例如：解方程-2=-。 解：去分母（方程两边乘10），得5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)。 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6。 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20。 合并同类项，得16x=7。 系数化为1，得x=。 💡重要结论：解一元一次方程的步骤不是固定不变的，要根据方程的特点灵活选择。例如，方程中没有分母就不需要去分母，没有括号就不需要去括号。但移项、合并同类项、系数化为1通常是必要的步骤。 知识点 6：一元一次方程的实际应用 一元一次方程在实际生活中有广泛的应用，如行程问题、工程问题、销售问题、配套问题、年龄问题、增长率问题等。 列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审：审题，分析题意，找出已知量和未知量； （2）设：设未知数，用字母（如x）表示未知量（可以直接设，也可以间接设）； （3）找：找出问题中的相等关系； （4）列：根据相等关系，列出方程； （5）解：解方程，求出未知数的值； （6）验：检验方程的解是否正确，是否符合实际意义； （7）答：写出答案（包括单位名称）。 常见的相等关系： （1）各部分量的和=总量（如计算机购买问题）； （2）表示同一个量的两个不同的式子相等（如图书分配问题）； （3）行程问题：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度； （4）配套问题：各部件数量成比例。 例如，一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5 h。已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度。 解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺水速度为(x+3) km/h，逆水速度为(x-3) km/h。 根据往返路程相等，列得方程2(x+3)=2.5(x-3)。 去括号，得2x+6=2.5x-7.5。 移项及合并同类项，得-0.5x=-13.5。 系数化为1，得x=27。 答：船在静水中的平均速度为27 km/h。 💡重要结论：列方程解应用题的关键是找出问题中的相等关系。相等关系可能是题目中明确给出的，也可能是隐含的（如路程公式、面积公式等）。解完方程后要检验解是否符合实际意义。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：合并同类项时系数计算错误，特别是分数和负数系数。合并同类项时，系数相加，字母和指数不变。要特别注意分数的通分和负数的加法，计算时要仔细。 易错点2：移项时忘记变号。移项时一定要变号！把某项从等式的一边移到另一边时，这项的符号要改变。例如，把+7从左边移到右边要变为-7，把-2x从右边移到左边要变为+2x。不移项的项不要变号。 易错点3：去括号时漏乘或符号错误。括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号，不能只变第一项的符号；括号前有数字因数时，要用这个数字因数乘括号内的每一项，不能漏乘某些项。 易错点4：去分母时漏乘不含分母的项。去分母时，方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，不能只乘含有分母的项，漏乘不含分母的项。例如，方程-1=2中，-1和2也要乘最小公倍数。 易错点5：去分母时分子是多项式时忘记加括号。如果分子是多项式，去分母后要把分子作为一个整体加上括号。例如，方程=去分母后应为5(x-50)=3(x+70)，而不是5x-50=3x+70。 易错点6：系数化为1时除以的数为0或计算错误。系数化为1时，方程两边要同时除以未知数的系数，这个系数不能为0。除以一个数等于乘这个数的倒数，要注意倒数的计算，特别是分数系数的情况。 二、基本概念定义 移项：把等式一边的某项____后移到另一边，叫作移项。移项的依据是等式的性质____。 合并同类项：把方程中含有未知数的____合并，把____合并，将方程化为ax=b（a≠0）的形式。 去括号：括号前是"+"号，去括号后括号内各项的符号____；括号前是"-"号，去括号后括号内各项的符号都要____。 去分母：方程两边同时乘各分母的____，把方程化为不含分母的形式。去分母时，方程两边的__每一项__都要乘，不能漏乘。 解一元一次方程的一般步骤：____、____、____、合并同类项、系数化为1。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，解一元一次方程的过程就是利用等式的性质和运算律，将复杂的方程逐步转化为x=m（常数）的简单形式，将求方程解的问题转化为等式变形的问题，体现了转化思想。转化思想使解方程的过程变得有条理，是解方程的核心思想。 2. 建模思想 建模思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，列方程解应用题就是将实际问题中的数量关系转化为数学方程模型的过程，如计算机购买问题、图书分配问题、用电量问题、行船问题、路程问题等，都可以通过建立一元一次方程模型来解决，体现了建模思想。建模思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 3. 整体思想 整体思想是指将某些部分看作一个整体来处理的思想方法。在本节中，去分母时，如果分子是多项式，要把分子作为一个整体加上括号；去括号时，要把括号内的式子作为一个整体来处理；移项时，要把含有未知数的项作为一个整体移到方程的一边，体现了整体思想。整体思想使解方程的过程更加简洁，避免了漏乘或符号错误。 4. 分类思想 分类思想是指根据事物的不同特征进行分类，分别研究各类事物的思想方法。在本节中，一元一次方程可以分为只含合并同类项的方程、含移项的方程、含去括号的方程、含去分母的方程等；解一元一次方程的步骤可以分为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，体现了分类思想。分类思想使方程的研究更加有条理，便于我们理解和掌握不同类型方程的解法。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，一元一次方程广泛应用于行程问题（行船、汽车行驶）、销售问题（计算机购买、图书分配）、工程问题（用电量、废水排量）、增长率问题（产值增长）、配套问题（洗衣机生产）等实际生活场景，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）方程5x-2x=9的解是（　　　） A. x=2 B. x=3 C. x=4 D. x=5 2.（2025-2026学年·北京期中）方程3x+7=32-2x的解是（　　　） A. x=3 B. x=4 C. x=5 D. x=6 3.（2024-2025学年·山东济南期末）方程2(x+3)=5x的解是（　　　） A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）方程-2=的解是（　　　） A. x=6 B. x=8 C. x=10 D. x=12 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）下列变形中，属于移项的是（　　　） A. 由2x=4，得x=2 B. 由3x+2=0，得3x=-2 C. 由5(x-1)=0，得5x-5=0 D. 由x+3=2x-1，得x-2x=-1-3 6.（2025-2026学年·福建福州期末）方程6x-8=4x的解是（　　　） A. x=2 B. x=3 C. x=4 D. x=5 7.（2024-2025学年·河南周口期末）方程3x-7(x-1)=3-2(x+3)的解是（　　　） A. x=3 B. x=4 C. x=5 D. x=6 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）方程 y-6= y的解是（　　　） A. y=-12 B. y=-24 C. y=12 D. y=24 9.（2024-2025学年·四川成都期中）某工厂三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。设前年购买计算机x台，则下列方程正确的是（　　　） A. x+2x+4x=140 B. x+2x+2x=140 C. 2x+4x+8x=140 D. x+4x+8x=140 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）方程-2=-的解是（　　　） A. x= B. x= C. x= D. x= 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）方程+=7的解是________。 12.（2025-2026学年·北京期中）方程6y-7=4y-5的解是________。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）方程4x+3(2x-3)=12-(x+4)的解是________。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）方程=-的解是________。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）如果2x+3=7，那么6x+1=________。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5 h。已知水流的速度是3 km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，则可列方程为________。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）解下列方程： （1）3x=4x+3；　　（2）6x-8=4x。 18.（2024-2025学年·人教版同步）解下列方程： （1）2(x+3)=5x；　　（2）4x+3(2x-3)=12-(x+4)。 19.（2025-2026学年·北京期中）解下列方程： （1）-1=2+；　　（2）3x+=3-。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本。这个班有多少名学生？ 21.（2025-2026学年·山东济南期末）某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW·h，全年的用电量是150000 kW·h。这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5 h。已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・合并同类项与移项模块）】 ✅ 达成目标：掌握合并同类项和移项解方程的方法，能解简单的一元一次方程 通读课本 P120-P124 问题1、例1、例2、问题2、移项的概念、例3和例4的内容，自主完成下文「核心知识点 1-2」「基本概念 1-2」的挖空填写。 熟记合并同类项解方程的方法（把含有x的项合并，简化方程），掌握移项的概念（把等式一边的某项变号后移到另一边），理解移项的依据（等式的性质1），能利用合并同类项和移项解一元一次方程。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能利用合并同类项解方程，能正确移项（变号），能解含移项的一元一次方程。 【Day2 预习任务（建议 30min・去括号、去分母与综合应用模块）】 ✅ 达成目标：掌握去括号和去分母解方程的方法，掌握解一元一次方程的一般步骤 通读课本 P124-P129 问题3、例5、例6、问题4、去分母的方法、归纳、例7和练习内容，完成「核心知识点 3-6」「基本概念 3-5」剩余挖空填写。 掌握去括号解方程的方法（括号前是负号时去括号要变号），掌握去分母解方程的方法（方程两边乘各分母的最小公倍数），掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能解决实际问题。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能去括号、去分母解方程，能按一般步骤解一元一次方程，能解决实际问题。 一、核心知识点梳理 知识点 1：合并同类项解方程 我们已经知道，直接利用等式的性质可以解简单的方程。本节我们将结合方程的具体特点，继续研究如何解一元一次方程。 例如，某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这所学校购买了多少台计算机？ 设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台。根据"三年共购买计算机140台"，列得方程x+2x+4x=140。 把含有x的项合并同类项，得7x=140。 系数化为1，得x=20。 因此，前年这所学校购买了20台计算机。 合并同类项解方程的方法： （1）合并：把方程中含有未知数的同类项合并，把常数项合并； （2）化简：将方程化为ax=b（a≠0）的形式； （3）系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到x=。 例如：解方程2x x=6-8。 解：合并同类项，得 x=-2。 系数化为1，得x=4。 💡重要结论：合并同类项的作用是把含有未知数的项合并，简化方程，使方程更接近于x=m的形式。合并同类项时，系数相加，字母和指数不变。 知识点 2：移项解方程 例如，把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本。这个班有多少名学生？ 设这个班有x名学生。每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共(3x+20)本。每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共(4x-25)本。 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，列得方程3x+20=4x-25。 为了使方程的右边没有含x的项，等式两边减4x，得3x+20-4x=-25。 为了使方程的左边没有常数项，等式两边减20，得3x-4x=-25-20。 即把原方程左边的20变为-20移到右边，把右边的4x变为-4x移到左边。 像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项。 移项的依据：等式的性质1（等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等）。 对方程3x-4x=-25-20合并同类项，得-x=-45。 系数化为1，得x=45。 移项解方程的方法： （1）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边（移项要变号）； （2）合并同类项：将方程化为ax=b（a≠0）的形式； （3）系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到x=。 例如：解方程3x+7=32-2x。 解：移项，得3x+2x=32-7。 合并同类项，得5x=25。 系数化为1，得x=5。 ⚠️易错提醒：移项时一定要变号！把某项从等式的一边移到另一边时，这项的符号要改变。例如，把+20从左边移到右边要变为-20，把4x从右边移到左边要变为-4x。不移项的项不要变号。 知识点 3：去括号解方程 当方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤。 例如，某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW·h，全年的用电量是150000 kW·h。这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 设去年上半年平均每月的用电量是x kW·h，则下半年平均每月的用电量是(x-2000) kW·h。 根据全年的用电量是150000 kW·h，列得方程6x+6(x-2000)=150000。 方程左边去括号，得6x+6x-12000=150000。 移项，得6x+6x=150000+12000。 合并同类项，得12x=162000。 系数化为1，得x=13500。 去括号的法则： （1）括号前是"+"号，去括号后括号内各项的符号不变； （2）括号前是"-"号，去括号后括号内各项的符号都要改变； （3）括号前有数字因数时，要用这个数字因数乘括号内的每一项（不能漏乘）。 例如：解方程2x-(x+10)=5x+2(x-1)。 解：去括号，得2x-x-10=5x+2x-2。 移项，得2x-x-5x-2x=-2+10。 合并同类项，得-6x=8。 系数化为1，得x=。 ⚠️易错提醒：去括号时要注意：括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号，不能只变第一项的符号；括号前有数字因数时，要用这个数字因数乘括号内的每一项，不能漏乘某些项。 知识点 4：去分母解方程 当方程中未知数的系数不是整数时，如果能化去分母，把未知数的系数化成整数，就可以使解方程中的计算更简便些。 例如，王家庄距翠湖的路程问题，列得方程=。 这个方程中各分母的最小公倍数是15，方程两边都乘15，得5(x-50)=3(x+70)。 去括号，得5x-250=3x+210。 移项，得5x-3x=210+250。 合并同类项，得2x=460。 系数化为1，得x=230。 去分母的方法： （1）找：找出方程中各分母的最小公倍数； （2）乘：方程两边同时乘这个最小公倍数（每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项）； （3）化：将方程化为不含分母的形式。 例如：解方程-1=2+。 解：去分母（方程两边乘4），得2(x+1)-4=8+(2-x)。 去括号，得2x+2-4=8+2-x。 移项，得2x+x=8+2-2+4。 合并同类项，得3x=12。 系数化为1，得x=4。 ⚠️易错提醒：去分母时要注意：方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项；如果分子是多项式，去分母后要把分子作为一个整体加上括号。 知识点 5：解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。 通过这些步骤，可以使以x为未知数的一元一次方程逐步转化为x=m的形式。 这个过程主要依据等式的性质和运算律等。 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：方程两边乘各分母的最小公倍数（依据：等式的性质2）； （2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（依据：去括号法则和分配律）； （3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边（依据：等式的性质1，移项要变号）； （4）合并同类项：把方程化为ax=b（a≠0）的形式（依据：合并同类项法则）； （5）系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到x=（依据：等式的性质2）。 例如：解方程-2=-。 解：去分母（方程两边乘10），得5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)。 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6。 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20。 合并同类项，得16x=7。 系数化为1，得x=。 💡重要结论：解一元一次方程的步骤不是固定不变的，要根据方程的特点灵活选择。例如，方程中没有分母就不需要去分母，没有括号就不需要去括号。但移项、合并同类项、系数化为1通常是必要的步骤。 知识点 6：一元一次方程的实际应用 一元一次方程在实际生活中有广泛的应用，如行程问题、工程问题、销售问题、配套问题、年龄问题、增长率问题等。 列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审：审题，分析题意，找出已知量和未知量； （2）设：设未知数，用字母（如x）表示未知量（可以直接设，也可以间接设）； （3）找：找出问题中的相等关系； （4）列：根据相等关系，列出方程； （5）解：解方程，求出未知数的值； （6）验：检验方程的解是否正确，是否符合实际意义； （7）答：写出答案（包括单位名称）。 常见的相等关系： （1）各部分量的和=总量（如计算机购买问题）； （2）表示同一个量的两个不同的式子相等（如图书分配问题）； （3）行程问题：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度； （4）配套问题：各部件数量成比例。 例如，一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5 h。已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度。 解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺水速度为(x+3) km/h，逆水速度为(x-3) km/h。 根据往返路程相等，列得方程2(x+3)=2.5(x-3)。 去括号，得2x+6=2.5x-7.5。 移项及合并同类项，得-0.5x=-13.5。 系数化为1，得x=27。 答：船在静水中的平均速度为27 km/h。 💡重要结论：列方程解应用题的关键是找出问题中的相等关系。相等关系可能是题目中明确给出的，也可能是隐含的（如路程公式、面积公式等）。解完方程后要检验解是否符合实际意义。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：合并同类项时系数计算错误，特别是分数和负数系数。合并同类项时，系数相加，字母和指数不变。要特别注意分数的通分和负数的加法，计算时要仔细。 易错点2：移项时忘记变号。移项时一定要变号！把某项从等式的一边移到另一边时，这项的符号要改变。例如，把+7从左边移到右边要变为-7，把-2x从右边移到左边要变为+2x。不移项的项不要变号。 易错点3：去括号时漏乘或符号错误。括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号，不能只变第一项的符号；括号前有数字因数时，要用这个数字因数乘括号内的每一项，不能漏乘某些项。 易错点4：去分母时漏乘不含分母的项。去分母时，方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，不能只乘含有分母的项，漏乘不含分母的项。例如，方程-1=2中，-1和2也要乘最小公倍数。 易错点5：去分母时分子是多项式时忘记加括号。如果分子是多项式，去分母后要把分子作为一个整体加上括号。例如，方程=去分母后应为5(x-50)=3(x+70)，而不是5x-50=3x+70。 易错点6：系数化为1时除以的数为0或计算错误。系数化为1时，方程两边要同时除以未知数的系数，这个系数不能为0。除以一个数等于乘这个数的倒数，要注意倒数的计算，特别是分数系数的情况。 二、基本概念定义 移项：把等式一边的某项__变号__后移到另一边，叫作移项。移项的依据是等式的性质__1__。 合并同类项：把方程中含有未知数的__同类项__合并，把__常数项__合并，将方程化为ax=b（a≠0）的形式。 去括号：括号前是"+"号，去括号后括号内各项的符号__不变__；括号前是"-"号，去括号后括号内各项的符号都要__改变__。 去分母：方程两边同时乘各分母的__最小公倍数__，把方程化为不含分母的形式。去分母时，方程两边的__每一项__都要乘，不能漏乘。 解一元一次方程的一般步骤：__去分母__、__去括号__、__移项__、合并同类项、系数化为1。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，解一元一次方程的过程就是利用等式的性质和运算律，将复杂的方程逐步转化为x=m（常数）的简单形式，将求方程解的问题转化为等式变形的问题，体现了转化思想。转化思想使解方程的过程变得有条理，是解方程的核心思想。 2. 建模思想 建模思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，列方程解应用题就是将实际问题中的数量关系转化为数学方程模型的过程，如计算机购买问题、图书分配问题、用电量问题、行船问题、路程问题等，都可以通过建立一元一次方程模型来解决，体现了建模思想。建模思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 3. 整体思想 整体思想是指将某些部分看作一个整体来处理的思想方法。在本节中，去分母时，如果分子是多项式，要把分子作为一个整体加上括号；去括号时，要把括号内的式子作为一个整体来处理；移项时，要把含有未知数的项作为一个整体移到方程的一边，体现了整体思想。整体思想使解方程的过程更加简洁，避免了漏乘或符号错误。 4. 分类思想 分类思想是指根据事物的不同特征进行分类，分别研究各类事物的思想方法。在本节中，一元一次方程可以分为只含合并同类项的方程、含移项的方程、含去括号的方程、含去分母的方程等；解一元一次方程的步骤可以分为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，体现了分类思想。分类思想使方程的研究更加有条理，便于我们理解和掌握不同类型方程的解法。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，一元一次方程广泛应用于行程问题（行船、汽车行驶）、销售问题（计算机购买、图书分配）、工程问题（用电量、废水排量）、增长率问题（产值增长）、配套问题（洗衣机生产）等实际生活场景，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）方程5x-2x=9的解是（　　　） A. x=2 B. x=3 C. x=4 D. x=5 【答案】B 【解析】本题考查合并同类项解方程。合并同类项，得3x=9；系数化为1，得x=3。 【解答】解：5x-2x=9， 合并同类项，得3x=9， 系数化为1，得x=3。 故选：B。 2.（2025-2026学年·北京期中）方程3x+7=32-2x的解是（　　　） A. x=3 B. x=4 C. x=5 D. x=6 【答案】C 【解析】本题考查移项解方程。移项，得3x+2x=32-7；合并同类项，得5x=25；系数化为1，得x=5。 【解答】解：3x+7=32-2x， 移项，得3x+2x=32-7， 合并同类项，得5x=25， 系数化为1，得x=5。 故选：C。 3.（2024-2025学年·山东济南期末）方程2(x+3)=5x的解是（　　　） A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4 【答案】B 【解析】本题考查去括号解方程。去括号，得2x+6=5x；移项，得2x-5x=-6；合并同类项，得-3x=-6；系数化为1，得x=2。 【解答】解：2(x+3)=5x， 去括号，得2x+6=5x， 移项，得2x-5x=-6， 合并同类项，得-3x=-6， 系数化为1，得x=2。 故选：B。 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）方程-2=的解是（　　　） A. x=6 B. x=8 C. x=10 D. x=12 【答案】C 【解析】本题考查去分母解方程。去分母（方程两边乘4），得2(x+1)-8=x；去括号，得2x+2-8=x；移项，得2x-x=8-2；合并同类项，得x=6。等等，让我重新计算：2(x+1)-8=x → 2x+2-8=x → 2x-6=x → x=6。所以答案应该是A。 【解答】解：-2=， 去分母（方程两边乘4），得2(x+1)-8=x， 去括号，得2x+2-8=x， 移项，得2x-x=8-2， 合并同类项，得x=6。 故选：A。 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）下列变形中，属于移项的是（　　　） A. 由2x=4，得x=2 B. 由3x+2=0，得3x=-2 C. 由5(x-1)=0，得5x-5=0 D. 由x+3=2x-1，得x-2x=-1-3 【答案】D 【解析】本题考查移项的概念。移项是把等式一边的某项变号后移到另一边。A是系数化为1；B是等式两边减2（也可以看作移项，但更准确的是等式性质1）；C是去括号；D是把+3移到右边变为-3，把2x移到左边变为-2x，属于移项。 【解答】解：A. 由2x=4，得x=2，是系数化为1； B. 由3x+2=0，得3x=-2，是等式两边减2； C. 由5(x-1)=0，得5x-5=0，是去括号； D. 由x+3=2x-1，得x-2x=-1-3，是移项（把+3移到右边变为-3，把2x移到左边变为-2x）。 故选：D。 6.（2025-2026学年·福建福州期末）方程6x-8=4x的解是（　　　） A. x=2 B. x=3 C. x=4 D. x=5 【答案】C 【解析】本题考查移项解方程。移项，得6x-4x=8；合并同类项，得2x=8；系数化为1，得x=4。 【解答】解：6x-8=4x， 移项，得6x-4x=8， 合并同类项，得2x=8， 系数化为1，得x=4。 故选：C。 7.（2024-2025学年·河南周口期末）方程3x-7(x-1)=3-2(x+3)的解是（　　　） A. x=3 B. x=4 C. x=5 D. x=6 【答案】C 【解析】本题考查去括号解方程。去括号，得3x-7x+7=3-2x-6；移项，得3x-7x+2x=3-6-7；合并同类项，得-2x=-10；系数化为1，得x=5。 【解答】解：3x-7(x-1)=3-2(x+3)， 去括号，得3x-7x+7=3-2x-6， 移项，得3x-7x+2x=3-6-7， 合并同类项，得-2x=-10， 系数化为1，得x=5。 故选：C。 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）方程 y-6= y的解是（　　　） A. y=-12 B. y=-24 C. y=12 D. y=24 【答案】B 【解析】本题考查去分母解方程。去分母（方程两边乘4），得2y-24=3y；移项，得2y-3y=24；合并同类项，得-y=24；系数化为1，得y=-24。 【解答】解： y-6= y， 去分母（方程两边乘4），得2y-24=3y， 移项，得2y-3y=24， 合并同类项，得-y=24， 系数化为1，得y=-24。 故选：B。 9.（2024-2025学年·四川成都期中）某工厂三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。设前年购买计算机x台，则下列方程正确的是（　　　） A. x+2x+4x=140 B. x+2x+2x=140 C. 2x+4x+8x=140 D. x+4x+8x=140 【答案】A 【解析】本题考查列方程。设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台。根据"三年共购买计算机140台"，列得方程x+2x+4x=140。 【解答】解：设前年购买计算机x台， 则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台。 根据"三年共购买计算机140台"，列得方程： x+2x+4x=140。 故选：A。 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）方程-2=-的解是（　　　） A. x= B. x= C. x= D. x= 【答案】A 【解析】本题考查去分母解方程。去分母（方程两边乘10），得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3)；去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6；移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20；合并同类项，得16x=7；系数化为1，得x=。 【解答】解：-2=-， 去分母（方程两边乘10），得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3)， 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6， 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20， 合并同类项，得16x=7， 系数化为1，得x=。 故选：A。 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）方程+=7的解是___x=_____。 【答案】x= 【解析】本题考查合并同类项解方程。合并同类项，得2x=7；系数化为1，得x=。 【解答】解：+=7， 合并同类项，得2x=7， 系数化为1，得x=。 故答案为：x=。 12.（2025-2026学年·北京期中）方程6y-7=4y-5的解是___y=1_____。 【答案】y=1 【解析】本题考查移项解方程。移项，得6y-4y=-5+7；合并同类项，得2y=2；系数化为1，得y=1。 【解答】解：6y-7=4y-5， 移项，得6y-4y=-5+7， 合并同类项，得2y=2， 系数化为1，得y=1。 故答案为：y=1。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）方程4x+3(2x-3)=12-(x+4)的解是___x=_____。 【答案】x= 【解析】本题考查去括号解方程。去括号，得4x+6x-9=12-x-4；移项，得4x+6x+x=12-4+9；合并同类项，得11x=17；系数化为1，得x=。 【解答】解：4x+3(2x-3)=12-(x+4)， 去括号，得4x+6x-9=12-x-4， 移项，得4x+6x+x=12-4+9， 合并同类项，得11x=17， 系数化为1，得x=。 故答案为：x=。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）方程=-的解是__x=______。 【答案】x= 【解析】本题考查去分母解方程。去分母（方程两边乘12），得3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x)；去括号，得15x-3=18x+6-8+4x；移项，得15x-18x-4x=6-8+3；合并同类项，得-7x=1；系数化为1，得x=。 【解答】解：=-， 去分母（方程两边乘12），得3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x)， 去括号，得15x-3=18x+6-8+4x， 移项，得15x-18x-4x=6-8+3， 合并同类项，得-7x=1， 系数化为1，得x=。 故答案为：x=。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）如果2x+3=7，那么6x+1=___13_____。 【答案】13 【解析】本题考查利用等式的性质和整体代入。由2x+3=7，得2x=4，所以6x=12，因此6x+1=13。 【解答】解：由2x+3=7，得 2x=4， 所以6x=12， 因此6x+1=13。 故答案为：13。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5 h。已知水流的速度是3 km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，则可列方程为____x=____。 【答案】2(x+3)=2.5(x-3) 【解析】本题考查列方程（行船问题）。设船在静水中的平均速度为x ，则顺水速度为(x+3) ，逆水速度为(x-3) 。根据往返路程相等，列得方程2(x+3)=2.5(x-3)。 【解答】解：设船在静水中的平均速度为x ， 则顺水速度为(x+3) ，逆水速度为(x-3) 。 根据往返路程相等，列得方程： 2(x+3)=2.5(x-3)。 故答案为：2(x+3)=2.5(x-3)。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）解下列方程： （1）3x=4x+3；　　（2）6x-8=4x。 【答案】（1）x=-3；（2）x=4。 【解析】本题考查移项解方程。（1）移项，得3x-4x=3，合并同类项，得-x=3，系数化为1，得x=-3；（2）移项，得6x-4x=8，合并同类项，得2x=8，系数化为1，得x=4。 【解答】解：（1）3x=4x+3， 移项，得3x-4x=3， 合并同类项，得-x=3， 系数化为1，得x=-3。 （2）6x-8=4x， 移项，得6x-4x=8， 合并同类项，得2x=8， 系数化为1，得x=4。 18.（2024-2025学年·人教版同步）解下列方程： （1）2(x+3)=5x；　　（2）4x+3(2x-3)=12-(x+4)。 【答案】（1）x=2；（2）x=。 【解析】本题考查去括号解方程。（1）去括号，得2x+6=5x，移项，得2x-5x=-6，合并同类项，得-3x=-6，系数化为1，得x=2；（2）去括号，得4x+6x-9=12-x-4，移项，得4x+6x+x=12-4+9，合并同类项，得11x=17，系数化为1，得x=。 【解答】解：（1）2(x+3)=5x， 去括号，得2x+6=5x， 移项，得2x-5x=-6， 合并同类项，得-3x=-6， 系数化为1，得x=2。 （2）4x+3(2x-3)=12-(x+4)， 去括号，得4x+6x-9=12-x-4， 移项，得4x+6x+x=12-4+9， 合并同类项，得11x=17， 系数化为1，得x=。 19.（2025-2026学年·北京期中）解下列方程： （1）-1=2+；　　（2）3x+=3-。 【答案】（1）x=4；（2）x=。 【解析】本题考查去分母解方程。（1）去分母（方程两边乘4），得2(x+1)-4=8+(2-x)，去括号，得2x+2-4=8+2-x，移项，得2x+x=8+2-2+4，合并同类项，得3x=12，系数化为1，得x=4；（2）去分母（方程两边乘6），得18x+3(x-1)=18-2(2x-1)，去括号，得18x+3x-3=18-4x+2，移项，得18x+3x+4x=18+2+3，合并同类项，得25x=23，系数化为1，得x=。 【解答】解：（1）-1=2+， 去分母（方程两边乘4），得2(x+1)-4=8+(2-x)， 去括号，得2x+2-4=8+2-x， 移项，得2x+x=8+2-2+4， 合并同类项，得3x=12， 系数化为1，得x=4。 （2）3x+=3-， 去分母（方程两边乘6），得18x+3(x-1)=18-2(2x-1)， 去括号，得18x+3x-3=18-4x+2， 移项，得18x+3x+4x=18+2+3， 合并同类项，得25x=23， 系数化为1，得x=。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本。这个班有多少名学生？ 【答案】这个班有45名学生。 【解析】本题考查列一元一次方程解应用题。设这个班有x名学生。每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共(3x+20)本。每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共(4x-25)本。根据这批书的总数是一个定值，列得方程3x+20=4x-25。解方程，得x=45。 【解答】解：设这个班有x名学生。 每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共(3x+20)本。 每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共(4x-25)本。 根据这批书的总数是一个定值，列得方程： 3x+20=4x-25。 移项，得3x-4x=-25-20， 合并同类项，得-x=-45， 系数化为1，得x=45。 答：这个班有45名学生。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW·h，全年的用电量是150000 kW·h。这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 【答案】这个工厂去年上半年平均每月的用电量是13500 kW·h。 【解析】本题考查列一元一次方程解应用题。设去年上半年平均每月的用电量是x kW·h，则下半年平均每月的用电量是(x-2000) kW·h。根据全年的用电量是150000 kW·h，列得方程6x+6(x-2000)=150000。解方程，得x=13500。 【解答】解：设去年上半年平均每月的用电量是x kW·h， 则下半年平均每月的用电量是(x-2000) kW·h。 根据全年的用电量是150000 kW·h，列得方程： 6x+6(x-2000)=150000。 去括号，得6x+6x-12000=150000， 移项，得6x+6x=150000+12000， 合并同类项，得12x=162000， 系数化为1，得x=13500。 答：这个工厂去年上半年平均每月的用电量是13500 kW·h。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5 h。已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度。 【答案】船在静水中的平均速度为27 。 【解析】本题考查列一元一次方程解应用题（行船问题）。设船在静水中的平均速度为x ，则顺水速度为(x+3) ，逆水速度为(x-3) 。根据往返路程相等，列得方程2(x+3)=2.5(x-3)。解方程，得x=27。 【解答】解：设船在静水中的平均速度为x ， 则顺水速度为(x+3) ，逆水速度为(x-3) 。 根据往返路程相等，列得方程： 2(x+3)=2.5(x-3)。 去括号，得2x+6=2.5x-7.5， 移项及合并同类项，得-0.5x=-13.5， 系数化为1，得x=27。 答：船在静水中的平均速度为27 。 学科网（北京）股份有限公司 $