3.1.1 函数的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1 函数的概念 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 _____    开区间 _____    半闭半开区间 _____    半开半闭区间 _____    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 _____    _____    _____    _____    2．函数定义 设非空实数集A、B，若按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中__任意一个数x_____，在集合B中都有__唯一确定的数y____与之对应，则称为从集合A到集合B的一个函数. 记作：. x：自变量；A：定义域； y：函数值；函数值集合：值域；值域. 3．函数的三要素 （1）函数的三要素：_定义域 _____、__对应关系____、____值域 __． （2）如果两个函数的_定义域_____相同，并且__对应关系_______完全一致，则这两个函数为同一个函数． 4．常规基础限制条件（求定义域必考） 分式分母_____ ； 偶次根式被开方数______； 零次幂底数______. 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）. 5．复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数和的___复合函数____，记作______，其中u为中间变量. 6．复合函数定义域 已知定义域，求 定义域：令______解不等式； 已知定义域，求定义域：求上的值域. 7．函数值域基础求解方法，请在括号中填写对应的函数值域求解方法名称 __观察法____：简单一次、反比例函数直接判断； _配方法_____：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； _分离常数法_____：分式一次比一次型； _换元法_____：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； __图象法____：画图看取值范围. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 函数关系的判断 基础知识 核心知识 函数定义设A B是非空的实数集如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f在集合B中都有唯一确定的数y和它对应就称为从集合A到集合B的一个函数 核心要点任意x唯一y 方法技巧 1.图像判定用竖线法作垂直x轴的直线与图像最多只有一个交点才是函数 2.对应关系判定看一个自变量x不能对应多个y值 3.注意集合A B必须是非空数集 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·福建泉州·开学考试）（多选）下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 【答案】ABC 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】对于A，当时，有无穷多个值与之对应，一个值对应无数个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于B，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于C，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于D，任取一个值，有唯一确定的值与之对应，可以作为函数图象. 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 【答案】AD 【详解】选项A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系； 选项B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 选项C，中元素的倒数没有意义，在集合中没有元素与之对应，因此不是函数关系； 选项D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 【巩固练习2】（25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 【题型2】 具体函数的定义域 基础知识 核心知识 定义域是自变量x的取值集合 常见限制条件分式分母≠0偶次根式被开方数≥0零次幂底数≠0对数真数>0 方法技巧 1.列出所有限制不等式联立不等式组 2.解不等式组取交集 3.结果写成集合或者区间形式 典型例题 【例题1】（24-25高一下·山东·学业考试真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 【例题2】（26-27高三上·黑龙江·开学考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，求解即可. 【详解】因，则其定义域满足， 从而，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两函数的定义域，再根据交集的定义即可求解． 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 令，解得， 的定义域为， 所以． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，解得且，即的定义域是. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 【题型3】 抽象函数与复合函数的定义域 基础知识 核心知识 定义域永远指单独x的取值范围 同一对应法则f下f ()括号内整体取值范围相同 复合函数内层函数的值域是外层的定义域子集 方法技巧 1.已知定义域求定义域令g (x)落在f括号的范围解x 2.已知定义域求定义域先求g (x)的值域即为f (x)定义域 3.分清题目给的是x范围还是括号整体范围 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以由 . 所以函数的定义域为. 【例题2】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 【巩固练习2】（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，结合抽象函数定义域列出不等式组求解. 【详解】函数的定义域为，当时，， 则函数的定义域为，在函数中，， 解得且，所以函数的定义域为. 故选：A 【题型4】 常见函数的值域 基础知识 核心知识 值域是所有函数值y构成的集合 一次函数二次函数反比例函数为基础初等函数 方法技巧 1.一次函数结合单调性直接求范围 2.二次函数先看开口结合对称轴限定区间求最值 3.反比例函数利用图像双曲线分析y的取值 4.结果写成区间或集合形式 典型例题 【例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 【例题2】（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为___________； 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【详解】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【巩固练习3】（24-25高一上·山东济南·期中）（多选）下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别判断各选项中的函数在上的值域是否为即可. 【详解】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； 函数，当时，，所以选项B错误； 函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 函数当时，，所以选项D错误. 故选：AC. 【题型5】 根式型函数的值域 基础知识 核心知识 偶次根式满足且 常用换元法去掉根号转化为二次函数 方法技巧 1.换元令则 2.将原函数转化为关于t的二次函数 3.在的限制下求函数取值范围 4.注意换元之后新变量的取值边界 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）设函数．求函数的值域； 【答案】 【分析】将平方后可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域是， 因为， 由，解得， 所以函数的值域为． 【例题2】（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得， 的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 【巩固练习3】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 【题型6】 分式型函数的值域 基础知识 核心知识 常见两类一次比一次二次比二次 一次比一次为反比例平移型可用分离常数法 方法技巧 1.一次/一次优先分离常数分离出常数+分式利用分式不为0求值域 2.二次/二次可分离常数或者判别式法 3.注意排除取不到的函数值 典型例题 【例题1】（2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】采用分离常数法对函数解析式进行变形，根据其结构特点即可求出值域. 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 【例题2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 【答案】5 【分析】构造基本不等式，利用基本不等式求得函数的最小值即可. 【详解】由题意得函数， 因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，且当时，函数取得最小值，最小值为. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 【答案】 【分析】法一：运用分离常数法得到，再根据，利用不等式的性质逐步求得的范围，最终得解； 法二：运用反表示法，将表示为，再解分式不等式即可得解. 【详解】法一：， ， ，则，， 得，即， 即函数的值域为． 法二：由得， 即， 当时，方程等价为，不成立，则， 则，得且，解得， 故函数的值域为. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 【巩固练习3】（26-27高三·全国·一轮复习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 【题型7】 判别式法或反解法求函数的值域 基础知识 核心知识 判别式法适用于分子分母均为二次多项式的分式函数 反解法就是用y反解x利用x存在实数解建立不等式 方法技巧 1.判别式法整理成关于x的一元二次方程方程有实数解则注意二次项系数分类讨论 2.反解法把y当作常数解出x表达式结合定义域限制求y范围 3.检验边界值能否取到 典型例题 【例题1】求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 【例题2】若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 【巩固练习3】（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为______________． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 【题型8】 判断两个函数是否为同一函数 基础知识 核心知识 两个函数相同的充要条件定义域相同对应法则完全相同值域自然相同 方法技巧 1.第一步先判断定义域定义域不同直接不是同一函数 2.定义域相同时化简解析式判断对应法则是否一致 3.化简过程不能改变原函数定义域 典型例题 【例题1】（26-27高三上·宁夏银川·开学考试）下列函数中，与相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数的定义域和解析式一致，可得出正确的选项. 【详解】对于A，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数； 对于C，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数； 对于D，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各组函数是否是相等函数． (1)； (2)， . 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）根据函数定义域，对应关系是否一致判断即可. （2）根据函数定义域，对应关系是否一致判断即可. 【详解】（1）由题知的定义域均为，对应关系相同， 所以是相等函数． （2）∵的定义域为， 的定义域为或， 显然两个函数的定义域不同， ∴与不是相等函数． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·广西玉林·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据两个函数的定义域与对应关系是否相同进行判断. 【详解】选项A：两函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，两函数不是同一函数. 项C：由可知两函数是同一函数. 选项D：由，可知两函数对应关系不相同，不是同一函数. 【巩固练习2】（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 【巩固练习3】（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 【题型9】 函数的定义域与值域的综合问题 基础知识 核心知识 已知定义域求值域已知值域反求参数范围 定义域限制会直接约束值域值域约束可反向限制自变量或者参数 方法技巧 1.读懂条件分清谁是已知谁是待求 2.已知定义域求值域先分析函数单调性或者图像 3.已知值域求参数转化为恒成立或者存在性问题 4.端点单独验证 典型例题 【例题1】（24-25高一上·湖北·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】对A：求出两函数定义域即可得；对B：由题意可得，解出即可得；对C：分与，结合所给值域进行讨论即可得；对D：分与，结合所给定义域进行讨论即可得. 【详解】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对B：由的定义域为，则对有， 解得，故函数的定义域为，故B正确； 对C：当时，，不符； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故C正确； 对D：当时，，其定义域为，符合要求； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 【例题2】已知函数 (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数的值域为，求实数t的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）分离常数法求解值域；（2）参变分离法求解恒成立问题中的参数范围；（3）分析单调性，根据值域与定义域的对应关系求解的范围. 【详解】（1），又，则，故值域为：； （2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，又因为，所以，则； （3）在上单调递增，因为时，值域为，所以，，所以是方程的两个不相等的正根，所以有两个不相等的正根，所以且，解得：，所以. 【点睛】本题考查函数的综合问题，难度较难.恒成立问题求解参数范围需要注意：若恒成立，则有；若恒成立，则有. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数． (1)求函数的定义域和值域； (2)设，求的最大值； (3)对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）定义域容易求得，进而先求出的范围，最后求出函数的值域； （2）求出，设，进而讨论函数，的最大值，然后讨论a与定义域的位置关系，最后得出答案； （3）将问题转化为在上恒成立，进而讨论m为0和不为0两种情况，最后求得答案. 【详解】（1）由且，得． 则函数的定义域为．     ，且， 得，则函数的值域为． （2）， 令， 则，， 所以， 令，，则为函数，的最大值． 易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线． ①若，即，则； ②若，即，则； ③若，即，则．     综上可得． （3）由（2）易得． 要使在上恒成立，即使在恒成立， 所以在上恒成立．     令，， 若，则对任意恒成立； 若，则有，即， 解得或． 综上，实数m的取值范围是． 【点睛】本题对的处理是一个难点，这时候需要找到三个根式之间的关系，在通过（1）问的处理之后可以发现将平方可以得到，进而通过换元法进行处理. 【巩固练习2】设函数的最大值为，其中为实数． （1）设，求的取值范围，并把表示为的函数； （2）求． 【答案】（1）t的取值范围，，（2），，，， 【详解】试题分析：（1）求函数的值域首先求其定义域，将函数式平方后可化简求值域，把表示为的函数时将中的用表示后即可得到函数式；（2）求函数的最值时，借助于转化的函数是二次函数，通过讨论对称轴位置得到函数取得的不同的最值情况 试题解析：（1）， 要使有t意义，必须1+x≥0，且1-x≥0，即-1≤x≤1， ∴t2=2+2∈[2，4] ① ∴t的取值范围．（2分） 由①得， ∴h（t）=，． （2）由题意知g（a）即为函数h（t），的最大值． 注意到直线是抛物线h（t）的对称轴，分以下几种情况讨论． 当a＞0时，由知h（t）在单调递增，． 当a=0时，h（t）=t，， 当a<0时，若，即； 若，即 若，即 考点：1．函数解析式；2．二次函数求最值；3．分情况讨论 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·广西玉林·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为． 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 3．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质求解. 【详解】由，得， 又，可得，所以函数的定义域为． 故选：C. 5．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有界函数的定义，分别讨论各选项中函数的值域，判断是否是有界函数. 【详解】对于（1），定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（2），函数定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（3），定义域为，，， 则当时，，所以不是上的“有界函数”； 对于（4），定义域为，因为， 所以，即，所以是上的“有界函数”. 所以是有界函数的有（1）（2）（4）. 故选：C 6．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，再根据一元二次函数的性质得出，利用集合的交集概念即可. 【详解】得，故， ，故， 故 故选：A 二、多选题 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义和同一函数的定义逐一分析可得到正确答案。 【详解】对于选项A，因为函数的定义域是，函数的定义域是，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项A错误; 对于选项B，因为函数,所以,则,故选项B正确; 对于选项C，根据函数的定义，对于定义域内的一个值，有且只有一个值与之对应，此时函数图象与直线最多有一个交点，因此若在定义域内，则有唯一的值与之对应，此时函数图象与直线有唯一交点；若不在定义域内，则没有交点，因此函数的图象与直线最多有一个交点，故选项C正确; 对于选项D，因为任意，所以，满足，且每个对应唯一的，符合函数的定义，因此可以构成关于的函数，故选项D正确; 故选:BCD 8．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 9．（25-26高一上·福建·阶段检测）给出以下四个判断，其中正确的是（   ） A．已知函数的值域为 B．关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C．函数，定义域，值域，则满足条件的有27个 D．若函数，存在实数a使得 【答案】AC 【分析】对于A，利用函数单调性即可判断；对于B，将问题等价于即可求解；对于C，定义域列举即可求解，对于D，求出，解方程即可求解. 【详解】对于A，在上单调递增，故其值域为，故A正确； 对于B，关于“的不等式有解”等价于， 即，可得是充分条件不是必要条件，故B错误； 对于C，函数，值域，由，解得：, 由，解得：，由，解得：, 所以定义域的情况有种， 则函数，定义域，值域，则满足条件的有27个，故C正确； 对于D，，故， 若，即，则，矛盾，故D错误． 故选：AC 10．（25-26高一上·安徽六安·期中）下列说法正确的有（    ） A．式子可表示自变量为，因变量为的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若，则 D．与是同一函数 【答案】BCD 【分析】求解函数的定义域即可判断A；考虑函数在处是否有定义，即可判断B；求出，进而求出，即可判断C；根据同一函数的概念即可判断D. 【详解】对于A选项，对于函数，要使函数有意义， 须满足，此不等式组无解，故A错误； 对于B选项， 当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点； 当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有1个交点， 所以，函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C选项，因为，则，故， 故C正确； 对于D选项，函数与的定义域均为，且对应关系相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．（2026高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则函数的值域是________． 【答案】 【详解】，，， ，即函数的值域为． 12．函数的最大值为__________． 【答案】/0.25 【分析】利用判别式法求函数值域即可. 【详解】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 13．（2025高三上·上海·专题练习）已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分、、讨论分析，结合根式及二次函数的性质确定对应的定义域和值域，判断它们是否相同求参数范围. 【详解】当时，，则时，，且，符合； 当时，令， 则或即定义域为，且，定义域和值域不相同，不符合； 当时，令，则，即定义域为， 此时最大值在时取到，令， 两侧平方整理得，当时，有，得； 综上，. 故答案为： 14．（25-26高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为_______. 【答案】 【分析】求出函数定义域，将函数平方后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】易得，， ， 由二次函数性质易知：当时，有最大值；当或时，有最小值. 所以，即函数值域为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知函数，则的值域为_______________. 【答案】 【分析】令得，利用一元二次函数即可求解. 【详解】令，则，所以， 所以，函数在上单调递增， 所以，所以， 故答案为：. 16．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当时，； 当时，令，，则， ，当且仅当，即时取等号，此时， 所以所求值域为. 故答案为： 四、解答题 17．（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意令，运算求解即可得定义域； （2）化简分式函数，利用基本不等式求值域. 【详解】（1）因为函数的定义域是，令，解得， 所以函数的定义域是； （2）因为，则， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 18．求函数的值域． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再结合二次函数的性质求出值域即可. 【详解】，故． 当时，，， 令，，则． 当时，，， 令，，则． 所以． 19．求函数的值域． 【答案】 【分析】由题知，等价于在上有根，再利用判别式求解即可. 【详解】，定义域为， 所以，即， 则在上有根， 所以， 解得，即或， 又，即， 所以函数的值域为． 20．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的值域为，求实数的值． 【答案】 【分析】先令，将该函数整理成关于的方程，该方程有实数根，所以对应判别式，这样便可求出的范围，即原函数的值域，又已知函数值域是，所以让它对应端点相等求出，即可． 【详解】解：令，并将该函数变成：，则该关于的方程有实数根； ，即， ， 又函数的值域为， ，解得，； ，． 【点睛】本题主要考查函数值域的求法，考查一元二次方程实数根与判别式的关系，考查转化与化归思想，属于难题． $3.1.1 函数的概念 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 _____    开区间 _____    半闭半开区间 _____    半开半闭区间 _____    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 _____    _____    _____    _____    2．函数定义 设非空实数集A、B，若按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中__任意一个数x_____，在集合B中都有__唯一确定的数y____与之对应，则称为从集合A到集合B的一个函数. 记作：. x：自变量；A：定义域； y：函数值；函数值集合：值域；值域. 3．函数的三要素 （1）函数的三要素：_定义域 _____、__对应关系____、____值域 __． （2）如果两个函数的_定义域_____相同，并且__对应关系_______完全一致，则这两个函数为同一个函数． 4．常规基础限制条件（求定义域必考） 分式分母_____ ； 偶次根式被开方数______； 零次幂底数______. 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）. 5．复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数和的___复合函数____，记作______，其中u为中间变量. 6．复合函数定义域 已知定义域，求 定义域：令______解不等式； 已知定义域，求定义域：求上的值域. 7．函数值域基础求解方法，请在括号中填写对应的函数值域求解方法名称 __观察法____：简单一次、反比例函数直接判断； _配方法_____：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； _分离常数法_____：分式一次比一次型； _换元法_____：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； __图象法____：画图看取值范围. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 函数关系的判断 基础知识 核心知识 函数定义设A B是非空的实数集如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f在集合B中都有唯一确定的数y和它对应就称为从集合A到集合B的一个函数 核心要点任意x唯一y 方法技巧 1.图像判定用竖线法作垂直x轴的直线与图像最多只有一个交点才是函数 2.对应关系判定看一个自变量x不能对应多个y值 3.注意集合A B必须是非空数集 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·福建泉州·开学考试）（多选）下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【巩固练习2】（25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【题型2】 具体函数的定义域 基础知识 核心知识 定义域是自变量x的取值集合 常见限制条件分式分母≠0偶次根式被开方数≥0零次幂底数≠0对数真数>0 方法技巧 1.列出所有限制不等式联立不等式组 2.解不等式组取交集 3.结果写成集合或者区间形式 典型例题 【例题1】（24-25高一下·山东·学业考试真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 【例题2】（26-27高三上·黑龙江·开学考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型3】 抽象函数与复合函数的定义域 基础知识 核心知识 定义域永远指单独x的取值范围 同一对应法则f下f ()括号内整体取值范围相同 复合函数内层函数的值域是外层的定义域子集 方法技巧 1.已知定义域求定义域令g (x)落在f括号的范围解x 2.已知定义域求定义域先求g (x)的值域即为f (x)定义域 3.分清题目给的是x范围还是括号整体范围 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型4】 常见函数的值域 基础知识 核心知识 值域是所有函数值y构成的集合 一次函数二次函数反比例函数为基础初等函数 方法技巧 1.一次函数结合单调性直接求范围 2.二次函数先看开口结合对称轴限定区间求最值 3.反比例函数利用图像双曲线分析y的取值 4.结果写成区间或集合形式 典型例题 【例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【例题2】（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为___________； 【巩固练习2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·山东济南·期中）（多选）下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】 根式型函数的值域 基础知识 核心知识 偶次根式满足且 常用换元法去掉根号转化为二次函数 方法技巧 1.换元令则 2.将原函数转化为关于t的二次函数 3.在的限制下求函数取值范围 4.注意换元之后新变量的取值边界 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）设函数．求函数的值域； 【例题2】（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【题型6】 分式型函数的值域 基础知识 核心知识 常见两类一次比一次二次比二次 一次比一次为反比例平移型可用分离常数法 方法技巧 1.一次/一次优先分离常数分离出常数+分式利用分式不为0求值域 2.二次/二次可分离常数或者判别式法 3.注意排除取不到的函数值 典型例题 【例题1】（2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 【例题2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【巩固练习3】（26-27高三·全国·一轮复习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【题型7】 判别式法或反解法求函数的值域 基础知识 核心知识 判别式法适用于分子分母均为二次多项式的分式函数 反解法就是用y反解x利用x存在实数解建立不等式 方法技巧 1.判别式法整理成关于x的一元二次方程方程有实数解则注意二次项系数分类讨论 2.反解法把y当作常数解出x表达式结合定义域限制求y范围 3.检验边界值能否取到 典型例题 【例题1】求函数的最大值、最小值. 【例题2】若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【巩固练习3】（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为______________． 【题型8】 判断两个函数是否为同一函数 基础知识 核心知识 两个函数相同的充要条件定义域相同对应法则完全相同值域自然相同 方法技巧 1.第一步先判断定义域定义域不同直接不是同一函数 2.定义域相同时化简解析式判断对应法则是否一致 3.化简过程不能改变原函数定义域 典型例题 【例题1】（26-27高三上·宁夏银川·开学考试）下列函数中，与相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各组函数是否是相等函数． (1)； (2)， . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·广西玉林·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【巩固练习2】（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习3】（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型9】 函数的定义域与值域的综合问题 基础知识 核心知识 已知定义域求值域已知值域反求参数范围 定义域限制会直接约束值域值域约束可反向限制自变量或者参数 方法技巧 1.读懂条件分清谁是已知谁是待求 2.已知定义域求值域先分析函数单调性或者图像 3.已知值域求参数转化为恒成立或者存在性问题 4.端点单独验证 典型例题 【例题1】（24-25高一上·湖北·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【例题2】已知函数 (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数的值域为，求实数t的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数． (1)求函数的定义域和值域； (2)设，求的最大值； (3)对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围． 【巩固练习2】设函数的最大值为，其中为实数． （1）设，求的取值范围，并把表示为的函数； （2）求． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·广西玉林·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 8．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·福建·阶段检测）给出以下四个判断，其中正确的是（   ） A．已知函数的值域为 B．关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C．函数，定义域，值域，则满足条件的有27个 D．若函数，存在实数a使得 10．（25-26高一上·安徽六安·期中）下列说法正确的有（    ） A．式子可表示自变量为，因变量为的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若，则 D．与是同一函数 三、填空题 11．（2026高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则函数的值域是________． 12．函数的最大值为__________． 13．（2025高三上·上海·专题练习）已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 14．（25-26高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为_______. 15．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知函数，则的值域为_______________. 16．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为______. 四、解答题 17．（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域； （2）求函数的值域. 18．求函数的值域． 19．求函数的值域． 20．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的值域为，求实数的值． $