3.1.1 函数的概念9题型分类 讲义（讲+练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学函数概念核心知识点，系统梳理函数定义、三要素（定义域、对应关系、值域）、区间表示、同一函数判定及常见函数值域，构建从基础概念到9类题型（函数关系判断、定义域求解等）的递进式学习支架。 资料以题型分类为特色，涵盖选择、填空、解答等多元题目，通过函数关系判断、定义域参数求解等实例，培养学生数学眼光（抽象数量关系）与数学思维（逻辑推理），课中辅助教师系统授课，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.1.1 函数的概念9题型分类 一、函数的概念 (1)函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 函数值 与x的值相对应的y值 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集 (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 二、区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 区间 数轴表示 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． (2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 三、同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 四、常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. （一） 函数关系的判断 1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示： 题型1：函数关系的判断 1．（2026高一·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 2．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 3．（2026高一·全国·课前预习）下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，对定义域内任意的一个都存在唯一的与之对应可求． 【详解】根据函数的定义，对定义域内任意的一个都存在唯一的与之对应， 若为函数关系，其对应方式为一对一或多对一， 而，，是一对多，不适合函数的要求， 是一对一，适合函数的要求， 故选：． 【点睛】本题主要考查了函数定义，要注意正确理解函数的概念，构成函数的对应关系必须形成一对一或多对一，但是不能一对多，属于基础试题. 4．（2026高一·广东韶关·阶段检测）设,,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 5．【多选】（2026高一·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. （二） 求函数的定义域 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式. 题型2：求具体函数的定义域 6．求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. 7．求函数的定义域． 【答案】 【详解】要使函数有意义，需使，解得， 则函数的定义域是． 8．函数的定义域为________． 【答案】 【分析】由根号下的非负的限制取两部分取值的交集即可求解. 【详解】函数有意义，则有，解得， 的定义域为. 9．（2026高一·上海徐汇·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】直接解即可求得答案. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为 故答案为： 题型3：求抽象函数的定义域 10．（2026高三·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可. 【详解】因为的定义域为，所以，所以. 则的定义域为，故对于，令，解得. 故的定义域为， 故答案为：B. 11．（2026高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 12．（2026高一·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由已知先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 13．（2026高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 14．（2026高一·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 15．（2026高一·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域直接判断各选项的定义域即可． 【详解】对于A、B、C，由题知的定义域为， ， 的定义域为， ，，的定义域均为， 故A、B、C不符合题意； 对于D ，， ，解得：， 所以函数的定义域为．故D符合题意. 故选：D 题型4：已知函数定义域求参数 16．（2026高三·甘肃金昌·阶段检测）若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 【答案】 【分析】根据函数定义域的成立条件，联立偶次根式被开方数非负、分母不为零的约束，结合给定定义域的端点确定参数的值. 【详解】要使函数有意义，需同时满足： 偶次根式的被开方数非负：，解得； 分母不为零：，即. 已知函数的定义域为，说明上述两个约束的解集交集为，因此根式约束的下界需等于定义域左端点，即，解得； 此时需满足，可保证时自动满足，完全符合定义域要求，故. 17．（2026高二·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 18．（2026高一·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 19．（2026高一·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； （三） 已知自变量的值求函数值 函数求值的方法 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注：函数求值的关注点用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 题型5：已知自变量的值求函数值 20．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）若函数，则的值是__________； 【答案】3 【分析】令，得到，令，得到关于的方程，求解即可. 【详解】令，则， 令，则，即， 整理得，即，所以. 21．（2026高一·湖北·期末）若函数，则_____． 【答案】0 【分析】代入计算函数值即可求解. 【详解】函数， 则. 故答案为：0. 22．（2026高一·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即可. 【详解】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D 23．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则__________． 【答案】/ 【详解】令，得， 令，得，所以， 于是． 24．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. （四） 区间的应用 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 注：区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0},Z,Q等就不能用区间表示. 题型6：区间的应用 25．（2026高一·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式，再用区间表示即可. 【详解】由题意得，用区间表示为. 故选：D. 26．（2026高二·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间定义即可得答案. 【详解】由区间定义可知，或. 故选：A 27．（2026高三·上海·期中）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】根据并集定义计算即可. 【详解】集合，， 则． 故答案为：. 28．（2026高二·辽宁·期末）集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】, 故选：B 29．（2026高一·山东聊城·阶段检测）已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． （五） 同一个函数的判定 判断两个函数为同一个函数的条件： (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 题型7：判断两个函数为同一个函数 30．（2026高一·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 31．【多选】（2026高一·新疆克拉玛依·期末）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数相等的定义一一判断即可. 【详解】函数的定义域为， 函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 函数的定义域为，且， 两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B正确； 函数的定义域为，且， 两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故C正确； 函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故D错误. 故选：BC. 32．（2026高一·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 33．【多选】（2026高一·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 34．（2026高一·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. （六） 求函数的值域 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 题型8：求函数的值域 35．（2026高一·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 36．（2026高一·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 【答案】 【分析】由二次函数的性质得出值域. 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 37．（2026·江西上饶·模拟预测）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 38．（2026高一·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 39．（2026高一·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】采用分离常数法对函数解析式进行变形，根据其结构特点即可求出值域. 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 40．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 41．（2026高一·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 42．（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 43．（2026高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）采用分离常数法可知即可得其值域为； （2）利用换元法，将原函数表示为，根据二次函数单调性可求得结果； （3）求得函数定义域为，求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）由于，且； 所以可得， 因此函数的值域是． （2）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为； ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 题型9：函数值域的应用 44．（2026·上海长宁·模拟预测）函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可. 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 45．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 46．（2026高一·福建福州·阶段检测）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 47．【多选】（2026高一·全国·课后作业）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别计算各选项函数的定义域与值域，再根据“交汇函数”的定义可判断各选项. 【详解】由“交汇函数”定义可知，“交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为， A选项：的定义域，值域， 则，A选项错误； B选项：的定义域，值域， 则，B选项正确； C选项：的定义域，值域， 则，C选项错误； D选项：的定义域，值域， 则，D选项正确； 故选：BD. 48．（2026高三·山东枣庄·阶段检测）若函数的定义域和值域均为，则b的值为________． 【答案】3 【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可. 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 1．（2026高一·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 【答案】C 【分析】根据相关关系和函数关系的定义判断各项，即可得. 【详解】对于空调的销售额与利润、大豆的产量与施肥量、钢铁产量和单位生产成本， 其中一个变量的变化受到多种因素的影响，以上各情况中列出的另一个变量只是其中的一个因素， 所以一个变量的变化对另一个变量的影响具有一定的随机性，故它们都是相关关系， 对于正方形的面积与周长，一个变量的变化对另一个变量影响是确定的，，即具有函数关系. 故选：C 2．（2026高一·福建厦门·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式即可. 【详解】由，得，故的定义域为. 故选：A 3．（2026高一·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相同函数的概念逐项分析可得. 【详解】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 4．（2026高一·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 5．（2026高一·河南·期中）若，且不恒为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题设式子进行赋值可判断ABC，举特例可判断D. 【详解】由题意，， 令，得，，故AC错误， 令，得，故B正确， 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 故选：B 6．【多选】（2026高一·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 7．（2026高一·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图：    C．，，f： D．，，f： 【答案】B 【分析】利用函数的定义求解即可. 【详解】对于A，，一个可以对应两个，不满足函数定义，故A错误； 对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确； 对于C，中，，而 ，故集合中的元素2在集合中没有对应的值，故C错误； 对于D，，所以，集合，故集合中有的元素（比如0）在集合中没有对应的值，故D错误. 故选：B 8．（2026高一·全国·课后作业）已知，则（    ） A．2 B．0 C．-1 D．-4 【答案】C 【分析】根据函数解析式直接求得. 【详解】因为，所以. 故选C 9．（2026高一·全国·单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案. 【详解】由题意得，故，故函数的定义域为. 故选：D 10．（2026高三·福建·阶段检测）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果. 【详解】当时，的定义域为，不符合题意； 当时，依题意得在R上恒成立，则， 解得. 故选：D 11．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 12．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．当 【答案】AD 【分析】当时，，根据递推关系以及求出对应的函数值及函数. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，所以，，故B错误； 对于C，所以，故C错误； 对于D，当时，所以，故D正确. 故选：AD. 13．（2026高一·河南信阳·期中）已知函数，则______． 【答案】63 【分析】先计算，再计算的值即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：63． 14．（2026高一·山东日照·期末）已知函数，若，则实数的值为______． 【答案】3 【分析】根据分段函数的定义，分别在和范围内求出使时实数的值即可. 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍）， 所以实数的值为3， 故答案为：3. 15．（2026高一·新疆和田·期末）已知函数，则______；的定义域是______. 【答案】 【分析】代入求解可得第一空答案；求出的定义域及的解析式，根据其解析式，可求得第二空答案. 【详解】因为， 所以， 所以； 因为的定义域为， 且， 所以，解得 所以函数的定义域是. 故答案为：；. 16．（2026高一·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 【答案】 【分析】求出使得函数的值域为的定义域的个数，即可得解. 【详解】由，可得；由，可得； 由，可得. 所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个， 至少含、中的一个，至少含、中的一个， 而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种， 同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为， 因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个. 故答案为：. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域以及的定义求得，进而求得. 【详解】函数有意义，应满足，所以，根据所表示的意义可知， 所以，． 18．（2026高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 19．（2026高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)． 【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解． 【详解】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为． （2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．      （3）（分离常数法）  ，因为，所以，所以故函数的值域为． （4）（换元法）  设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．    （5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为． （7）由知， 整理得． 当时，方程无解；当时，，即． 故所求函数的值域为． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求函数得值域，常见的方法有： （1）观察法，对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法，函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法，反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法，通过对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而求值域； （5）通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.1.1 函数的概念9题型分类 一、函数的概念 (1)函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 函数值 与x的值相对应的y值 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集 (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 二、区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 区间 数轴表示 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． (2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 三、同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 四、常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. （一） 函数关系的判断 1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示： 题型1：函数关系的判断 1．（2026高一·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 2．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 3．（2026高一·全国·课前预习）下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·广东韶关·阶段检测）设,,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（2026高一·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． （二） 求函数的定义域 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式. 题型2：求具体函数的定义域 6．求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 7．求函数的定义域． 8．函数的定义域为________． 9．（2026高一·上海徐汇·期末）函数的定义域为______． 题型3：求抽象函数的定义域 10．（2026高三·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13．（2026高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 15．（2026高一·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 题型4：已知函数定义域求参数 16．（2026高三·甘肃金昌·阶段检测）若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 17．（2026高二·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 18．（2026高一·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 19．（2026高一·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； （三） 已知自变量的值求函数值 函数求值的方法 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注：函数求值的关注点用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 题型5：已知自变量的值求函数值 20．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）若函数，则的值是__________； 21．（2026高一·湖北·期末）若函数，则_____． 22．（2026高一·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 23．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则__________． 24．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． （四） 区间的应用 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 注：区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0},Z,Q等就不能用区间表示. 题型6：区间的应用 25．（2026高一·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 26．（2026高二·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 27．（2026高三·上海·期中）已知集合，，则______． 28．（2026高二·辽宁·期末）集合（   ） A．2 B． C． D． 29．（2026高一·山东聊城·阶段检测）已知全集，集合，，求，，． （五） 同一个函数的判定 判断两个函数为同一个函数的条件： (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 题型7：判断两个函数为同一个函数 30．（2026高一·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 31．【多选】（2026高一·新疆克拉玛依·期末）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 33．【多选】（2026高一·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 34．（2026高一·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 （六） 求函数的值域 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 题型8：求函数的值域 35．（2026高一·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 36．（2026高一·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 37．（2026·江西上饶·模拟预测）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 38．（2026高一·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 39．（2026高一·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 40．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 41．（2026高一·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 42．（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 43．（2026高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 题型9：函数值域的应用 44．（2026·上海长宁·模拟预测）函数的值域为，则集合___________． 45．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 46．（2026高一·福建福州·阶段检测）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．【多选】（2026高一·全国·课后作业）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 48．（2026高三·山东枣庄·阶段检测）若函数的定义域和值域均为，则b的值为________． 1．（2026高一·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 2．（2026高一·福建厦门·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026高一·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．（2026高一·河南·期中）若，且不恒为0，则（    ） A． B． C． D． 6．【多选】（2026高一·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图：    C．，，f： D．，，f： 8．（2026高一·全国·课后作业）已知，则（    ） A．2 B．0 C．-1 D．-4 9．（2026高一·全国·单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高三·福建·阶段检测）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．当 13．（2026高一·河南信阳·期中）已知函数，则______． 14．（2026高一·山东日照·期末）已知函数，若，则实数的值为______． 15．（2026高一·新疆和田·期末）已知函数，则______；的定义域是______. 16．（2026高一·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 18．（2026高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 19．（2026高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $