3.1.2函数的表示法（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

3.1.2函数的表示法 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法，会求简单分段函数的解析式与函数值，能绘制分段函数的简图。 2.结合实际问题对比三种函数表示法的优缺点，经历分段函数分析过程，学会根据情境选择恰当的表示方式，提高分析解决问题的能力。 3.感受不同表达形式对刻画函数关系的作用，体会数学与现实生活的联系，培养严谨细致的审题习惯。 教学重点 函数的三种表示法及其应用；分段函数的概念、解析式与图象。 教学难点 根据实际问题选择恰当的表示方式；分段函数的建立与理解。 教材分析 本节教学内容源于人教 A 版必修第一册第三章第一节《函数的表示法》（第2课时），是在学生学习函数概念之后，进一步研究函数的表达形式，是函数概念的延伸与落地，对整个高中函数模块的学习有着重要的支撑作用。 依照新课标要求，教材将内容划分为解析法、图象法、列表法、分段函数四个模块，从实际问题情境引入，通过实例对比三种函数表示方法的特点与适用场景，重点建构分段函数的概念与图象画法，符合高一学生的认知发展逻辑。教材以 “如何表达函数、不同表达各有优势” 的逻辑线推进，既巩固函数三要素，又让学生体会数形结合思想。本节为后续函数性质、幂指对函数的学习奠定基础，在知识体系中起到承上启下的作用，落实数学抽象、直观想象核心素养，突出 “用多元形式刻画函数对应关系” 的核心观点。 学情分析 学生已在初中接触过函数的三种表示法，熟悉一次函数、二次函数等初等函数，具备一定的看图、列表基础。但多数学生的认知仍停留在“解析式就是函数”的片面理解上，对图象法和列表法作为函数表示方法的认同感不强；同时，分段函数形式新颖，学生在书写时易忽略自变量的取值范围，或误将分段函数看作多个函数。此外，将实际问题转化为分段函数模型需要较强的阅读理解和分类讨论能力，学生往往感到困难，这是本节教学的主要障碍。因此教学中应借助丰富的生活实例和图象直观，帮助学生建立完整的函数表示观念，并通过针对性训练突破分段函数建模难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情境，引入新课】 情境1：已建成的京沪高速铁路总长约 km，设计速度目标值为 km/h。若京沪高速铁路时速按 km/h 计算，火车行驶 h 后，路程为 km，则 是 的函数，可以用 来表示。 情境2：如图是我国人口出生率变化曲线。 情境3：下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表。 【思考】根据初中所学知识，说出上述分别是用什么法表示函数的？ 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系。 三个情境分别对应函数的解析法、图象法和列表法，唤醒初中已有认知，使学生体会三种表示法在现实生活中的广泛应用，激发学习兴趣，明确本课学习方向。 探究点1：函数的表示法 【问题引入】 同一个函数能否分别用解析式、表格、图象表示？用三种表示法表示时需要注意什么？ 【师生活动】 教师给出实例4，学生独立尝试用三种方法表示；教师追问定义域、图象连线等问题，学生观察、思考并回答。 【实例4】某种笔记本的单价是5元，（）个笔记本需要 元。试用函数的三种表示法表示函数 。 问题1：利用三种表示法来表示函数，要重点关注函数的什么要素？ 定义域是数集 。 ①解析法：，。 ②列表法： ③图象法：在平面直角坐标系中描出点 ，，，，，这些点组成函数的图象。 追问1：图象中的五个点能用直线连接吗？ 不能。若用直线连接，则定义域变成连续区间，原函数的定义域发生改变。 追问2：函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 在定义域中任取 ，是否有唯一确定的 与之对应。 问题2：所有函数都能用解析式表示吗？请举出实例加以说明。 并不是所有的函数都能用解析式表示．事实上，图象法也不适用于所有函数，如 ，列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段 问题3：比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？ 【技巧点拨】 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系。采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少。 在用三种方法表示函数时要注意： ①解析法必须注明函数的定义域； ②列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； ③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”。 【例题巩固】 辨析1 （1）任何一个函数都可以用列表法表示．（ × ） （2）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线．（ × ） （3）函数 的图象上任一点 必满足 ．（ √ ） （4）列表法表示 ， 对应的那一行数字可能出现相同的情况．（ √ ） 通过实例4和追问，让学生从具体函数中体会三种表示法的形式，理解定义域是函数的重要组成部分；通过辨析和比较，认识三种表示法的优缺点，培养分析选择能力。 探究点2：分段函数 【问题引入】 在画 的图象时， 和 两部分的对应关系不同。这种函数有什么特点？ 例5：画出函数 的图象。 解析步骤：由绝对值的概念，有 所以函数 的图象是以原点为转折点的 V 形折线。 【师生活动】教师引导学生画 的图象；学生借助类比画 的图象；教师结合出租车计费问题，引导学生归纳分段函数的概念。 【技巧】像例5中这样的函数称为分段函数。生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等。 【例题巩固】 辨析2 画出函数 的图象。 解：由绝对值的概念，有 所以函数 的图象是以 为转折点的 V 形折线。 辨析3 某市出租汽车收费标准如下：在 3 km 以内（含 3 km）路程按起步价9元收费，超过3 km的路程按 2.4 元/km 收费。试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：km）的函数解析式。 解：设路程为 km时，收费额为 元。 当 时，；当 时， . 所以收费额关于路程的函数解析式为 【总结】 1.作函数 图象的方法 若 是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些需要根据定义域进行取舍；若 不是所学过的函数，则要按 ①列表；②描点；③连线 三个基本步骤作出图象。 2.分段函数的概念 对于函数 ，若自变量在定义域内的不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数 叫分段函数。 【注意】 分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； 在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； 分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集。 从画 的图象出发，抽象出分段函数概念；借助 和出租车计费问题，理解分段函数是一个函数而非多个函数，掌握分段函数解析式的书写和定义域的求法，体会数学与生活的联系。 典例精讲 【师生活动】 教师引导学生分析例6的比较策略，例7的图象直观分析，例8的实际分段建模；学生独立计算、小组交流、展示结果。 【例6】 给定函数 ，，。 (1)在同一直角坐标系中画出 ， 的图象； (2)对任意 ，用 表示 ， 中的最大者，记为 例如，当 时。 请分别用图象法和解析法表示函数 。 解：法一图像法：在同一坐标系中画出直线 和抛物线 。 求两个函数图象的交点： 解得 或 。 结合图象可知： 当 时，，取 ； 当 时，，取 ； 当 时，，取 。 法二解析法： 【例7】下表是某校高一班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析。 解：将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，就能直观地看到每位同学成绩变化的情况。 ①王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀。 ②张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。 ③赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。 【例8】依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年１月１日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附扣除－依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.税率与速算扣除数见下表. (1)设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y=f(t)，并画出图象； (2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得税？ 解：根据税率表，函数 的解析式为： 函数图象由七条线段组成： （2）小王全年应纳税所得额为-52800-4560 将t的值代入(1)中，得y=0.03×34320=1029.6.所以，小王应缴纳得综合所得税税额为1029.6元. 课堂小结 板书设计 3.1.2函数的表示法 一、函数的三种表示法 ①解析法：用数学表达式表示，需注明定义域 ②列表法：用表格表示，适合自变量个数有限 ③图象法：用图象表示，判断依据：定义域内任意x有唯一y 二、三种表示法对比 ①解析法：简明抽象，可快速计算函数值，但不直观 ②列表法：直观直接，但只能表示有限对应关系 ③图象法：形象直观，能反映变化趋势，但不精准 三、分段函数 ①定义：自变量在不同范围取值时，对应关系不同 ②注意：分段函数是一个函数，不是多个函数；需写明各段自变量的取值范围；定义域为各段区间的并集 ③图象：分段画出，注意端点取舍 四、求函数解析式的常用方法 ①待定系数法（已知函数类型） ②换元法（令t＝g(x)解出x） ③配凑法（已知f形式） ④方程组法（已知f与f或f的关系） 五、典型应用 数学问题：y=|x|，y=|x+1|，M=max{f(,g(} 实际问题：出租车计费、个人所得税等 随堂练习 题型1 函数的表示方法 1、已知函数，则f(9)=( A ) A.2 B.9 C.65 D.513 2、由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( B ) A.1 B.2 C.4 D.5 3、已知函数f(x)的解析式为 (1)求f()，f(−1)的值； (2)画出这个函数的图象. 解： (1)f()=−2×+8=5；f(−1)=−3+5=2. (2)函数图象如图所示： 题型2 求函数解析式：待定系数法 1、(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)． 解： (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， ∴ ∴或 ∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋ (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x−1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， ∴ ∴ ∴f(x)＝x2－2x－1. 2.f(x)是一次函数，且3f(x+1)−f(x)=2x+9，则f(x)=___________. 答案：f(x)=x+3 3、已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x+8，则f(x)=___________. 答案：f(x)=2x+或f(x)=−2x−8 4、已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=0，f(x+1)−f(x)=2x,求 f(x). 答案：f(x)=x2−x 题型3 求函数解析式：换元法、配凑法 1.已知函数f(x+1)=5x−3，则f(x)=___________. 答案：f(x)=5x−8 2、已知函数f(x−1)=3x+2，则f(x)=___________. 答案：f(x)=3x+5 3.已知函数f(x+)=x2+，则f(x)=___________. 答案：f(x)=x2−2 4.若函数f(x+1)=x2+2x+2(x<0), 求函数f(x) 解：设t=x+1，则t<1，x=t−1. ∴x2+2x+2=(t−1)2+2(t−1)+2=t2+1. 即f(x)=x2+1(x<1). 5、若函数f(+1)=x+2，求函数f(x) 解：设t=+1，则t≥1，x=(t−1)2(t≥1). ∴f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−2t+1+2t−2=t2−1(t≥1). 即f(x)=x2−1(x≥1). 题型4 求函数解析式：方程组法 1、已知f(x)+2f( )=3x，求f(x) 解：由f(x)+2f( )=3x，① 可得f( )+2f(x)=.② 联立①②，得：f(x)= −x. 2、已知2f(−x)+f(x)=x，求f(x) 解：由2f(−x)+f(x)=x，① 可得2f(x)+f(−x)=−x.② 联立①②，得：f(x)=−x. 教学反思 本节课教学目标基本达成。学生能够辨析三种表示法的优缺点，并初步掌握分段函数的求值与画图，概念理解目标通过实例和辨析题基本达成。 学生学习难点主要体现在：一是对分段函数“是一个函数”的理解容易产生偏差，需通过对比和图像强化认知；二是实际问题的分段建模仍有困难，如出租车计费、个税问题中自变量范围的划分不够准确，说明列方程建模仍需加强引导。 改进方向：后续教学中可增加小组合作列方程的时间，让学生充分讨论实际情境中的分段点；同时应增加从图象写解析式的逆向练习，进一步提升数形结合能力。课堂时间分配上，应适当压缩讲解，留给学生更多动手实践与交流展示的机会。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $