专题4.5 正弦定理、余弦定理及其应用讲义-2027届高三数学一轮复习

专题4.5 正弦定理、余弦定理及其应用 知识点1：正弦定理与余弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 余弦定理： ， ， . 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·广西桂林·阶段检测）记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边长______. 【答案】 【详解】由正弦定理可得. 知识点2：面积公式 （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·陕西西安·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【详解】解：（1）因为，所以，即， 又因为，所以．     （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以． 所以的周长为． 知识点3：实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 　　　 (4)坡度： ①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)． ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)． 【特别提醒】 (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【跟踪训练】 3．（25-26高三下·陕西汉中·期中）开明寺塔，亦称关寺塔，位于汉中市洋县县城开明寺（今开明广场）内.据《汉中府志》记载，始建于唐开元年间（713-714年）.开明寺塔造型俊秀，整体呈优美的纺锤流线形，为陕南密檐式砖塔的代表作.某校高三实践学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔座中心O在同一水平平面内的两个测量基点A与B，在A点测得，塔顶P的仰角为60°，O在A的北偏东15°方向，B在A的正东方向13米处，且在B点测得O与A的张角，则开明寺塔的高度约为______米.（参考数值：，，结果保留整数） 【答案】27 【分析】根据正弦定理计算即可. 【详解】由题意可得，在中，，，米， 所以. 利用正弦定理可得，可得. 因为，所以在中，米. 【常用结论】 一、正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 二、内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 三、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 四、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 五、三角形中的射影定理 在 中，；；． 题型一：利用正弦定理解三角形 题型二：利用余弦定理解三角形 题型三：正弦定理边角互化的应用 题型四：余弦定理边角互化的应用 题型五：三角形面积公式的应用 题型六：正弦定理判定三角形解的个数 题型七：判断三角形的形状 题型八：解三角形的实际应用 题型一：利用正弦定理解三角形 1．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以. 2．（25-26高三上·山东·学业考试真题）在中，内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理，则. 3．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正弦定理求角的正弦值，结合为钝角确定角的大小，再由三角形内角和定理求出角. 【详解】在中，根据正弦定理：， 将，，代入得： ， 得： ， 因为为钝角， 因此， 由三角形内角和定理得：. 4．（25-26高三下·北京·学业考试真题）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正弦定理得. 题型二：利用余弦定理解三角形 5．（25-26高三下·山东·学业考试真题）在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】C 【详解】在中，根据余弦定理： ， 代入已知条件，且， 得： ， 故. 6．（25-26高三上·山东·学业考试真题）在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由，则， 则 ， 设上的高为，则，得. 7．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得， ， 解得，由， 故． 8．（26-27高三上·天津河北·开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．则____________． 【答案】 【分析】设参数表示边长，利用余弦定理即可求解出边长和，再利用余弦定理求出，最后求出即可. 【详解】在中，令，，，由余弦定理得， 即，解得，则， 由余弦定理得，而，所以. 题型三：正弦定理边角互化的应用 9．（25-26高三下·山东济宁·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，若且，则（     ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，结合正弦定理可得： , 故，则或，又，故舍去， 所以. 10．（26-27高三·全国·一轮复习）的内角，，所对的边分别为，，，若，，且，的中点为，则____. 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理解三角形. 【详解】∵，由正弦定理得，. 由余弦定理得，，∴. ∴. ∵是的中点，∴. ∴. 又,∴. 11．（2026·广东广州·模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件和正弦定理化边为角可得，再结合内角的范围即可求解； （2）利用两角和的正弦公式求出的值，再利用正弦定理即可求解． 【详解】（1）由于， 故由正弦定理得， 又， 代入上式可得， 因为，故，则， 故，又，因此． （2）由于， 故由正弦定理变式可得． 12．（26-27高三上·贵州遵义·开学考试）在锐角三角形中，，，所对的边分别为，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 又因为是锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 题型四：余弦定理边角互化的应用 13．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）中，角，，的对边分别为，，，，，则______. 【答案】/ 【分析】利用正弦定理结合二倍角求出，再得到，借助三角形内角和与两角和余弦公式计算. 【详解】由正弦定理，由，得，所以，所以， 因为，所以，所以， 由是三角形内角，，故，所以， ，  ，， 由，得. 14．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式结合余弦定理化简即可求解. 【详解】，， 且， ，则. 又，. 15．（26-27高三上·湖北·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，代入已知等式推出，再利用余弦定理化简得出，即可求解； （2）由余弦定理可求出，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得. 代入已知等式， 得. 由于，所以. 因为，所以. 又因为，所以. （2）由余弦定理得. 将与代入上式得. 故的面积为. 16．（26-27高三上·河北邢台·开学考试）在中，内角 的对边分别为，已知，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用余弦定理得到，利用基本不等式得到，通过计算得解. 【详解】因为，所以， 又， 则，当时取等号， 故的最小值为. 题型五：三角形面积公式的应用 17．（26-27高三·全国·一轮复习）记的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为_____. 【答案】 【分析】利用及余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式可得，从而可计算面积的最大值. 【详解】由余弦定理得. 因为，所以. 由和余弦定理得. 所以，当且仅当时等号成立． 所以. 18．（26-27高三·全国·一轮复习）中，，，为边上的中点，，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理和三角形中线长公式求出与的乘积，再代入三角形面积公式计算即可. 【详解】设，，， 在中，由余弦定理得：， 又，，，则 ①； 因为为边的中点，为边上的中线， 所以， 又，则②， 由得：，解得， 由三角形面积公式：， 则. 19．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角所对的边分别为，已知 ，则面积的最大值为________. 【答案】# 【分析】利用正弦定理角化边，继而用余弦定理以及基本不等式分析求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理由得：， 即， 由余弦定理得：， 因为，所以，， 又，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积为， 所以当且仅当时，面积的最大值为. 20．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）中，设角，，的对边分别为，，．已知：． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理求解； （2）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得， 又由余弦定理，则， 因为，，所以， 又，故，从而. （2）由（1）知，故， 因为为锐角三角形，所以， 由边上的高为2，有， 于是三角形面积， 又， 所以， 当时，，故， 当时取到等号1，而不能取到. 因此. 所以面积的取值范围为. 题型六：正弦定理判定三角形解的个数 21．（26-27高三上·北京·开学考试）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】直接由正弦定理并结合三角形解的个数判断可得. 【详解】因为中，，，， 所以，因为 ， 所以满足条件的三角形的个数为． 22．（25-26高三下·浙江台州·期末）（多选）已知的三个角，，所对的边分别为，，，下列条件能构成且形状唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABC 【分析】本题考查解三角形中三角形的存在性与唯一性判定，结合正弦定理、余弦定理及三角形内角和性质对各选项逐一分析即可. 【详解】选项A，已知两角，可得第三个角，结合边， 由正弦定理可唯一确定的值，三角形存在且形状唯一，故A正确； 选项B，已知两边及夹角， 由余弦定理，可得边长唯一， 剩余两角也可由余弦定理唯一确定，三角形存在且形状唯一，故B正确； 选项C，已知，由正弦定理， 又，故唯一确定，剩余角，边也唯一， 三角形存在且形状唯一，故C正确； 选项D，对等式， 由正弦定理得，代入余弦定理得，故， 又，，不满足三角形内角和要求，不存在这样的三角形，故D错误. 23．（25-26高三下·吉林长春·期末）中，角，，的对边分别为，，，已知，，当角有两解时，则边的取值范围为__________． 【答案】 【分析】角有两解，，得到答案 【详解】，， 角有两解时，，即. 24．（25-26高三下·湖北随州·期末）（多选）在△ABC中，角所对的边分别为，下列各组条件中，能使存在且唯一的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于AB，使用正弦定理即可判断；对于C，使用余弦定理判断；对于D，，由，又在上单调递减,所以，结合,导致三角形内角和超过，故不存在. 【详解】对于A，若，则,又， 根据正弦定理可知，此时的解唯一， 故存在且唯一，故选项A正确； 对于B，由可知 ，所以，， 故存在且有两解，故选项B错误； 对于C，根据余弦定理可知，即，此时，仅有一解，故存在且唯一，故选项C正确； 对于D，，由，又在上单调递减,所以，，此时不存在. 题型七：判断三角形的形状 25．（25-26高三下·福建龙岩·阶段检测）中，内角的对边分别为，且，则的形状为（    ） A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为，由正弦定理得 ， ，或， 又、、为三角形内角，故或，为直角三角形或等腰三角形. 26．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（     ） A．等腰或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得，故或者，进而可判断出三角形的形状. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 整理可得：， 即，所以或者， 所以或， 而当时则， 所以三角形为直角三角形， 所以， 则中，这时，分母为0无意义 所以，三角形为等腰三角形. 27．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，已知 ，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合三角恒等变换得，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以， 又，， ， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以，即或或， 所以或或， 所以为直角三角形. 28．（25-26高三下·江苏南通·阶段检测）（多选）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A项利用正弦定理边化角进行判定；B项由正弦定理判定直角三角形； C项利用余弦定理和勾股定理进行判定；D项正弦定理和二倍角公式进行判定. 【详解】对于A，由正弦定理可知，，， . 所以，且，，，得， 所以三角形为等边三角形，故A错误； 对于B，根据正弦定理：且， 所以,， 又因为，， 所以，，故三角形为直角三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理得. 又，所以，满足勾股定理，三角形为直角三角形，C正确； 对于D，由正弦定理得： . 当，即，此时三角形为等腰三角形； 当时，即，所以，所以此时为直角三角形. 故可能为等腰三角形，可能为直角三角形，故D错误. 题型八：解三角形的实际应用 29．（26-27高三·全国·一轮复习）某数学兴趣小组成员为测量伊犁州寂光塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的A、B、三处进行测量.如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则寂光塔的高度为______. 【答案】米 【分析】设塔高 ，利用三角函数将 用 表示，再结合 三点共线及余弦定理建立关于 的方程求解. 【详解】设寂光塔的高度米，由题意可知 平面， 所以 均为直角三角形； 在直角 中， ，则 ； 在直角 中， ，则 ； 在直角 中， ，则 ； 在 中，由余弦定理得： ， 在 中，由余弦定理得： ， 因为三点共线，所以 ， 即 .所以 ， 解得 ， 所以 .故寂光塔的高度为米. 30．（26-27高三·全国·一轮复习）某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15 m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】利用特殊角的三角函数值和正弦定理进行求解. 【详解】， 在直角中，， 在中，，， 则，， 由正弦定理，得， 所以m， 在直角中，m. 31．（25-26高三下·山东·学业考试真题）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 【答案】 / 【分析】利用平行线的性质求出 和 的内角，结合正弦定理求出 的长，最后根据线段的和差关系求得 的长度. 【详解】由题意可知 ， 所以 ，， 又因为 ，所以 ， 在 中，，， 由正弦定理 ， 得 ， 在 中，， 由正弦定理 ， 得 ， 因为 四点共线，且顺序如图所示， 所以 ， 故隧道 的长度是 . 32．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）某校测绘社团测量湘江对岸一栋地标建筑AB的高度时，由于建筑底部B无法直接到达，测量小组在岸边选取了两个观测点C，D进行测量．首先在点C处测得A的仰角为45°，然后沿河岸步行400米到达点D处，在点D处测得A的仰角为30°．已知，且观测点与B都在同一水平面内． (1)求的大小； (2)求AB的高度； (3)若从观测点C向后（沿BC的延长线）退至点E，要使在E处测得A的仰角为15°，求后退距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)400米． (3)米． 【分析】（1）利用仰角写出关于楼高的表达式，在中用正弦定理求出； （2）由角度相等得到，直接得到楼高；也可代入余弦定理解方程求出高度； （3）在中确定各个内角，使用正弦定理计算长度，得到后退距离. 【详解】（1）设AB高度为h米， 则米，米， 在中，由正弦定理得，即， 故，又，所以． （2）由（1）得， 在中，由余弦定理得， 即，解得； （或由，知米，所以米）． 即AB的高度为400米． （3）由（2）得米， 在中，由正弦定理得， 又，，代入上式解得 米． 1．（26-27高三·全国·一轮复习）在△ABC中，若，，则三角形的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由题设及正弦定理边角互化可得，然后由余弦定理可得答案. 【详解】因为，由正弦定理边角互化可得：， 又，由余弦定理可得：， 即，又，所以三角形为等边三角形. 2．（26-27高三上·四川成都·开学考试）在三角形中，点在边上，满足平分，并且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示, 在中，由余弦定理得， ， 因为平分，所以， 所以， 则， 在中，由余弦定理得， ， 则， 因为，所以， 设，， 在中，由正弦定理得， ，即， 整理得， 在中，由余弦定理得， ， 整理得，解得，， 当，即时，点为中点， ，不成立， 所以. 3．（25-26高三下·广东深圳·期中）在中，，其面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用三角形面积公式求出，再由余弦定理求出，进而可求出外接圆半径，再边化角，即可求解. 【详解】因为面积为，则， 又，所以，解得，由余弦定理得， 解得，所以的外接圆半径为， 则. 4．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得， 则，即， 所以，故. 由正弦定理得. 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）的三个内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求解，再结合三角形内角和定理计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得 . 因为，所以， 又，所以或. 当时，； 当时，. 综上，或. 6．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）已知在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则角的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得到与的关系，再通过辅助角公式及三角形内角的角度范围即可得到答案. 【详解】由题意， 即①，②， 联立①②得， 整理得，即， 又，， ，，故选B. 7．（25-26高三下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过余弦定理以及正弦定理化简等式，并通过三角形内正切的等式关系解题. 【详解】因为，所以， 所以，解得，又因为，，易得， 所以. 8．（25-26高三下·江苏扬州·期中）大运塔为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一，某同学为测量大运塔的高度，在大运塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部和大运塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则大运塔的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中求出的长，再在中利用正弦定理求出的长，最后在中利用三角函数定义求出的长. 【详解】根据题意，在中，，，， 所以. 由题意可知，， 又，，且，，三点共线，所以. 在中，. 由正弦定理得， 即，解得. 在中，，， 所以. 因此大运塔的高度约为. 9．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）（多选）的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】ABC 【分析】由正弦定理，边角互化，得出，判断选项A；利用诱导公式判断选项B，根据余弦定理判断选项C，由面积公式确定选项D. 【详解】因为，， ， ，， 所以，则，选项A正确； ， ，选项B正确； 当时，，选项C正确； 当时，，， 或，选项D错误. 10．（25-26高三下·陕西汉中·期中）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则（   ） A．为钝角三角形 B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 【答案】ABC 【分析】基于已知的三边长，综合运用余弦定理，正弦定理以及三角形面积公式，逐一计算并验证各选项即可. 【详解】对于A，因为，所以最大，由余弦定理可得： ，所以， 故为钝角三角形，A正确， 对于B，由余弦定理可得：， 因为，所以，B正确， 对于C，的面积，C正确， 对于D，因为， 所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D错误. 11．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）（多选）已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，，只有一解，则的取值范围为 C．若面积为，，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】AC 【分析】对于A，利用两角和的正切公式及三角形内角和，得出，由正切值乘积大于0，判断三角形形状即可；对于B，根据正弦定理及已知条件，分析不同取值时三角形解的情况，得出的取值范围；对于C，利用三角形的面积公式，结合余弦定理化简，即可求得角的方程，进一步计算即可求解；对于D，由正弦定理和二倍角公式，化简，得到角的关系即可判断． 【详解】对于A，在中，，故， 利用两角和的正切公式，得， 整理，可得． 因为，所以． 又因为三角形最多1个钝角，若存在钝角，则乘积为负， 所以只有三个角均为锐角时乘积为正． 故是锐角三角形，A正确； 对于B，已知，，三角形解的个数结论： 当时，三角形为直角三角形，只有一解； 当时，也只有一解． 故的取值范围是或，B错误； 对于C，由于， 则，进一步化简可得． 由余弦定理，可得，则，C正确； 对于D，由，结合正弦定理，可得， 即，可得（即，等腰三角形）， 或（即，直角三角形）， 故三角形可能是直角三角形，不一定是等腰三角形，D错误． 12．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_______ 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 解得， 由余弦定理可得， 所以， 由正弦定理可得. 13．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）为锐角三角形，分别为角所对的边，若，，则___________. 【答案】 【详解】中，，由正弦定理得， 为锐角三角形，，则有，， 由余弦定理， 即. 14．（25-26高三下·广东深圳·期末）已知的面积为，若，，则的外接圆半径为__________． 【答案】 【分析】利用已知的三角函数式，结合两角和的余弦公式求出，从而求得，再利用三角形的面积公式求出，然后利用正弦定理即可求得外接圆半径． 【详解】因为，， 所以． 因为在中，，所以， 所以，则， 所以，即． 又因为，，， 所以，则，，． 因为的面积为，即，所以． 由正弦定理，可得，则，即． 15．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知∆中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)证明； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)因为 ，由正弦定理，得， 因为，所以， 所以，得， 所以，所以， 因为，所以，由可得， 当，得；当，得（舍去）， 所以； (2) 【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合两角和差公式化简，由正弦相等得到角的关系，舍去不合理情况证得； （2）先用二倍角求出，再结合已知求出边长，最后用面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由正弦定理得 ，又，， 所以，得，所以， 所以， 因为 ，所以，得， 因为 ，所以 ，得，于是 ， 所以的面积. 16．（2026高三·全国·专题练习）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【答案】(1)海里/小时 (2)航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇，理由如下： 设小艇与轮船在B处相遇，则 故． ，， 即，解得． 又时，． 故时，t取得最小值，且最小值等于． 此时，在中，有， 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 【分析】（1）由余弦定理得到航行距离，从而得到最小值； （2）由余弦定理和分式不等式得到，故时，t取得最小值，且最小值等于，进而确定航行方案 【详解】（1）相遇时，轮船的航行到点，则， 设相遇时小艇航行的距离为S海里， 在中，由余弦定理得 ， 故当时，，此时． 即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． （2）略 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 正弦定理、余弦定理及其应用 知识点1：正弦定理与余弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 余弦定理： ， ， . 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·广西桂林·阶段检测）记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边长______. 知识点2：面积公式 （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·陕西西安·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 知识点3：实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 　　　 (4)坡度： ①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)． ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)． 【特别提醒】 (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【跟踪训练】 3．（25-26高三下·陕西汉中·期中）开明寺塔，亦称关寺塔，位于汉中市洋县县城开明寺（今开明广场）内.据《汉中府志》记载，始建于唐开元年间（713-714年）.开明寺塔造型俊秀，整体呈优美的纺锤流线形，为陕南密檐式砖塔的代表作.某校高三实践学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔座中心O在同一水平平面内的两个测量基点A与B，在A点测得，塔顶P的仰角为60°，O在A的北偏东15°方向，B在A的正东方向13米处，且在B点测得O与A的张角，则开明寺塔的高度约为______米.（参考数值：，，结果保留整数） 【常用结论】 一、正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 二、内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 三、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 四、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 五、三角形中的射影定理 在 中，；；． 题型一：利用正弦定理解三角形 题型二：利用余弦定理解三角形 题型三：正弦定理边角互化的应用 题型四：余弦定理边角互化的应用 题型五：三角形面积公式的应用 题型六：正弦定理判定三角形解的个数 题型七：判断三角形的形状 题型八：解三角形的实际应用 题型一：利用正弦定理解三角形 1．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东·学业考试真题）在中，内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·北京·学业考试真题）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：利用余弦定理解三角形 5．（25-26高三下·山东·学业考试真题）在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 6．（25-26高三上·山东·学业考试真题）在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D．2 7．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·天津河北·开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．则____________． 题型三：正弦定理边角互化的应用 9．（25-26高三下·山东济宁·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，若且，则（     ） A．或 B． C． D． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）的内角，，所对的边分别为，，，若，，且，的中点为，则____. 11．（2026·广东广州·模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，，求． 12．（26-27高三上·贵州遵义·开学考试）在锐角三角形中，，，所对的边分别为，，.若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：余弦定理边角互化的应用 13．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）中，角，，的对边分别为，，，，，则______. 14．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________. 15．（26-27高三上·湖北·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求的面积. 16．（26-27高三上·河北邢台·开学考试）在中，内角 的对边分别为，已知，则的最小值为______． 题型五：三角形面积公式的应用 17．（26-27高三·全国·一轮复习）记的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为_____. 18．（26-27高三·全国·一轮复习）中，，，为边上的中点，，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角所对的边分别为，已知 ，则面积的最大值为________. 20．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）中，设角，，的对边分别为，，．已知：． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 题型六：正弦定理判定三角形解的个数 21．（26-27高三上·北京·开学考试）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A． B． C． D．无法确定 22．（25-26高三下·浙江台州·期末）（多选）已知的三个角，，所对的边分别为，，，下列条件能构成且形状唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 23．（25-26高三下·吉林长春·期末）中，角，，的对边分别为，，，已知，，当角有两解时，则边的取值范围为__________． 24．（25-26高三下·湖北随州·期末）（多选）在△ABC中，角所对的边分别为，下列各组条件中，能使存在且唯一的有（    ） A． B． C． D． 题型七：判断三角形的形状 25．（25-26高三下·福建龙岩·阶段检测）中，内角的对边分别为，且，则的形状为（    ） A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 26．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（     ） A．等腰或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 27．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，已知 ，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 28．（25-26高三下·江苏南通·阶段检测）（多选）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型八：解三角形的实际应用 29．（26-27高三·全国·一轮复习）某数学兴趣小组成员为测量伊犁州寂光塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的A、B、三处进行测量.如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则寂光塔的高度为______. 30．（26-27高三·全国·一轮复习）某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15 m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（　　） A．m B．m C．m D．m 31．（25-26高三下·山东·学业考试真题）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 32．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）某校测绘社团测量湘江对岸一栋地标建筑AB的高度时，由于建筑底部B无法直接到达，测量小组在岸边选取了两个观测点C，D进行测量．首先在点C处测得A的仰角为45°，然后沿河岸步行400米到达点D处，在点D处测得A的仰角为30°．已知，且观测点与B都在同一水平面内． (1)求的大小； (2)求AB的高度； (3)若从观测点C向后（沿BC的延长线）退至点E，要使在E处测得A的仰角为15°，求后退距离．（结果保留根号） 1．（26-27高三·全国·一轮复习）在△ABC中，若，，则三角形的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 2．（26-27高三上·四川成都·开学考试）在三角形中，点在边上，满足平分，并且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·广东深圳·期中）在中，，其面积为，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）的三个内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 6．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）已知在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则角的值为（    ） A． B． C． D．或 7．（25-26高三下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·江苏扬州·期中）大运塔为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一，某同学为测量大运塔的高度，在大运塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部和大运塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则大运塔的高度约为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）（多选）的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（   ） A． B． C．当时， D．当时， 10．（25-26高三下·陕西汉中·期中）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则（   ） A．为钝角三角形 B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 11．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）（多选）已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，，只有一解，则的取值范围为 C．若面积为，，则 D．若，则为等腰三角形 12．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_______ 13．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）为锐角三角形，分别为角所对的边，若，，则___________. 14．（25-26高三下·广东深圳·期末）已知的面积为，若，，则的外接圆半径为__________． 15．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知∆中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)证明； (2)若，，求的面积. 16．（2026高三·全国·专题练习）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $