第6节 正弦定理和余弦定理（讲义）-2027年高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕正弦定理、余弦定理核心考点，按“定理内容-变形应用-解的判断-面积公式”逻辑梳理知识，覆盖三角形度量、形状判断等高考要求，通过考点解析、方法指导（如边角互化）、真题训练（含新课标卷例题）构建系统复习框架。 资料创新采用“双路径”教学策略，如三角形形状判断中设计化边与化角两种推理思路，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础辨析、典例精讲、高考真题、综合提升四层练习，配合即时反馈，助力高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第6节　正弦定理、余弦定理 考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.　2.理解三角形的面积公式并能应用.　3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R a2=______________; b2=______________; c2=______________ 变形 (1)a=2Rsin A,b=_____,c=_____; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=______________ cos A=; cos B=; cos C= 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A.  (3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C. (2)cos(A+B)=-cos C. (3)sin=cos. (4)cos=sin. 2.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( ) (3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.( ) 2.(人教A版必修第二册例题改编)已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A=(　　) A.150° B.90° C.60° D.30° 3.(人教A版必修第二册习题改编)在△ABC中,b=,a=1,B=,则c=　　　　.  4.(人教B版必修第四册例题改编)已知△ABC中,b=3,c=6,B=120°,则△ABC的面积为　　　　.  考点一　正、余弦定理的直接应用 例1 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,b=,B=,则A=(　　) A. B. C.或 D.或 课堂笔记： (2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于(　　) A.2 B.3 C. D. 课堂笔记： 利用正弦、余弦定理解题的技巧 1.求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解. 2.求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理推论公式cos A=等求解. 1.(2026·山东菏泽模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则tan C=(　　) A. B.3 C. D.2 2.(2026·陕西安康模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos=bsin A,若a=,c=2,则b=(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 考点二　三角形形状的判断 例2 (1)(多选)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的有(　　) A.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形 B.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形 C.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 D.若a=bcos C,则△ABC一定是直角三角形 课堂笔记： (2)在△ABC中,若c+acos C=b+acos B,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 课堂笔记： 判断三角形形状的两种思路 1.化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. 2.化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状. 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若4acos2=c+2a,则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 4.(2026·浙江宁波模拟)在△ABC中,A,B,C成等差数列且sin A,sin B,sin C成等比数列,则△ABC的形状为(　　) A.等腰(非等边)三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 考点三　三角形的面积与周长 例3 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. (人教A版必修第二册P54T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,则△ABC的面积为,求b,c. [教考解读]　高考题和教材习题的考查角度、考查方式一样,都是给出含有三角形的边、角关系的式子,结合三角知识求解,事实上这类问题是高考试题中解三角形问题的典型的题型. 三角形面积问题的常见类型 1.求三角形面积,一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积. 2.已知三角形面积解三角形,常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系. 3.已知与三角形面积有关的关系式,常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形. 5.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. [典例] (1)(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B=(　　) A. B. C. D. 课堂笔记： (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=bcos C,且c=6,A=,则△ABC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 课堂笔记： 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=,A=,cos C=-,则c=(　　) A. B. C. D. 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C=a(2-c),且B=,则a=(　　) A.1 B. C. D.2 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,c=b,则△ABC的面积为(　　) A.2 B. C. D.2 4.在△ABC中,已知=,且cos(A-B)-cos(A+B)=1-cos 2C,则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若acos B=,bcos A=,c=,则的值为(　　) A. B.- C. D.- 6.(2026·江苏盐城模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b-2c=acos C-2acos B,则=(　　) A. B. C.1 D.2 7.(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是(　　) A.若A=45°,a=,b=,则△ABC有两解 B.若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形 C.若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B D.若=,则△ABC为等腰三角形 8.(多选)在△ABC中,点D在线段AB上,且AD=5,BD=3.若CB=2CD,cos∠CDB=-,则(　　) A.sin∠CDB= B.△ABC的面积为8 C.△ABC的周长为8+4 D.△ABC为钝角三角形 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B+csin C-asin A=bsin C,则A= 　　　　.  10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2-ac=0,△ABC的外接圆半径R=,△ABC的周长为9,则ac=　　　　.  11.(2026·浙江金华模拟)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A. (1)求B; (2)若△ABC为等腰三角形且腰长为2,求△ABC的底边长. 12.(2026·浙江杭州模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A-sin2B=sin2C-sin Bsin C,2cos B=sin C. (1)判断△ABC的形状,并说明理由; (2)若点D在AB边上,且BD=2AD.若CD=2,求△ACD的面积. 13.(2026·山东聊城模拟)在△ABC中,已知AB=5,AC=4,cos(C-B)=,则△ABC的面积为　　　　.  14.(2026·山东淄博模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin 2B=bcos B,且角B为锐角,b=8,sin A=,则sin(2B+C)的值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第6节　正弦定理、余弦定理 考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.　2.理解三角形的面积公式并能应用.　3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C 变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C cos A=; cos B=; cos C= 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A.  (3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C. (2)cos(A+B)=-cos C. (3)sin=cos. (4)cos=sin. 2.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×) (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(√) (3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(×) (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.(×) 2.(人教A版必修第二册例题改编)已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A=(　　) A.150° B.90° C.60° D.30° 解析　D　由正弦定理,得=,得sin A=.又a<b,∴A<B=45°,∴A=30°. 3.(人教A版必修第二册习题改编)在△ABC中,b=,a=1,B=,则c=　　　　.  答案　2 解析　由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即c2+c-6=0,解得c=2(c=-3舍去). 4.(人教B版必修第四册例题改编)已知△ABC中,b=3,c=6,B=120°,则△ABC的面积为　　　　.  答案　 解析　由正弦定理,得sin C===. 由于b>c,故B>C,所以C=45°,所以A=180°-120°-45°=15°, sin 15°=sin(60°-45°)=×-×=, 所以△ABC的面积为S=bcsin A=×3×6×=. 考点一　正、余弦定理的直接应用 例1 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,b=,B=,则A=(　　) A. B. C.或 D.或 (2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)根据正弦定理=得=,故sin A=. 因为0<A<π,所以A=或. 又因为a<b,所以A<B=,故A=. (2)由正弦定理及bsin 2A=asin B, 得2sin Bsin Acos A=sin Asin B, 又sin A≠0,sin B≠0,则cos A=. 又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=. 利用正弦、余弦定理解题的技巧 1.求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解. 2.求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理推论公式cos A=等求解. 1.(2026·山东菏泽模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则tan C=(　　) A. B.3 C. D.2 解析　D　因为=,所以由正弦定理可得=, 所以3sin Bcos C-sin Acos C=cos Asin C, 即3sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C), 又因为sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,0<B<π,sin B>0, 故3cos C=1,解得cos C=, 又因为0<C<π,所以sin C>0, 所以sin C===, 所以tan C===2. 2.(2026·陕西安康模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos=bsin A,若a=,c=2,则b=(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 解析　A　acos=bsin A,由正弦定理得sin Acos=sin Bsin A,又A∈(0,π),sin A>0,所以cos=sin B,即cos B-sin B=sin B,得cos B=sin B,即tan B=,又0<B<π,所以B=,而a=,c=2,由余弦定理得b===1. 考点二　三角形形状的判断 例2 (1)(多选)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的有(　　) A.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形 B.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形 C.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 D.若a=bcos C,则△ABC一定是直角三角形 (2)在△ABC中,若c+acos C=b+acos B,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　(1)ABD　(2)C 解析　(1)对于A,由题意可得,sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,由正弦定理可得a2+b2<c2,由余弦定理可得cos C=<0,所以C为钝角,即该三角形为钝角三角形,故A正确; 对于B,由正弦定理得,sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,即sin B=sin(B+C)=sin A,则A=B,△ABC是等腰三角形,故B正确; 对于C,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B⇔sin 2A=sin 2B,2A=2B或2A+2B=π,则△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C错误; 对于D,a=bcos C,所以a=b·,即2a2=a2+b2-c2,即a2+c2=b2,则△ABC为直角三角形,故D正确. (2)已知c+acos C=b+acos B,A,B,C为△ABC的内角, 由正弦定理可得sin C+sin Acos C=sin B+sin Acos B, 即sin(A+B)+sin Acos C=sin(A+C)+sin Acos B, 即sin Acos B+sin Bcos A+sin Acos C=sin Acos C+sin Ccos A+sin Acos B, 化简得sin Bcos A=sin Ccos A,即cos A(sin B-sin C)=0, ∴cos A=0或sin B=sin C,∴A为直角或B=C, ∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形. 判断三角形形状的两种思路 1.化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. 2.化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状. 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若4acos2=c+2a,则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析　A　因为4acos2=c+2a,所以4a·=c+2a,即2acos B=c, 法一　由正弦定理得2sin Acos B=sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A, 所以sin Acos B-sin Bcos A=0,即sin(A-B)=0, 又因为A,B∈(0,π),A=B,所以△ABC为等腰三角形. 法二　由余弦定理得2a·=c,即a2+c2-b2=c2, 即a2=b2,即a=b,所以△ABC为等腰三角形. 4.(2026·浙江宁波模拟)在△ABC中,A,B,C成等差数列且sin A,sin B,sin C成等比数列,则△ABC的形状为(　　) A.等腰(非等边)三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析　C　在△ABC中,由A,B,C成等差数列, 得2B=A+C,而A+B+C=π,则B=, 由sin A,sin B,sin C成等比数列,得sin2B=sin Asin C, 由正弦定理得b2=ac, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 即ac=a2+c2-ac,解得a=c, 因此△ABC是等边三角形. 考点三　三角形的面积与周长 例3 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 解　(1)由余弦定理可得cos C===, 因为C∈(0,π),所以C=, 又sin C=cos B,所以=cos B, 即cos B=,又B∈(0,π),所以B=. (2)由(1)可得A=, 则sin A=sin=sin=×+×=,由正弦定理有=, 从而a=·c=c, 又S△ABC=acsin B=3+,即ac=4(+1), 将a=c代入,解得c=2. (人教A版必修第二册P54T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,则△ABC的面积为,求b,c. 解　(1)由acos C+asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin C≠0,所以sin A-cos A-1=0, 所以sin=. 又0<A<π,故A=. (2)由题得△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4　①. 而a2=b2+c2- 2bccos A,且a=2,故b2+c2=8　②, 由①②得b=c=2. [教考解读]　高考题和教材习题的考查角度、考查方式一样,都是给出含有三角形的边、角关系的式子,结合三角知识求解,事实上这类问题是高考试题中解三角形问题的典型的题型. 三角形面积问题的常见类型 1.求三角形面积,一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积. 2.已知三角形面积解三角形,常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系. 3.已知与三角形面积有关的关系式,常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形. 5.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 解　(1)法一(辅助角公式法)　由sin A+cos A=2,可得sin A+cos A=1, 即sin=1, 由于A∈(0,π)⇒A+∈,故A+=,解得A=. 法二(同角三角函数的基本关系法)　由sin A+cos A=2,又sin2A+cos2A=1,消去sin A得4cos2A-4cos A+3=0⇔(2cos A-)2=0,解得cos A=, 又A∈(0,π),故A=. (2)由题设条件和正弦定理,bsin C=csin 2B⇔ sin Bsin C=2sin Csin Bcos B, 又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,进而cos B=,得到B=, 于是C=π-A-B=,sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=. 法一(基本量法)　由正弦定理==,得==, 解得b=2,c=+, 故△ABC的周长为2++3. 法二(整体思想法)　由正弦定理==,得===4, 所以a+b+c=4(sin A+sin B+sin C)=4×=2++3, 所以△ABC的周长为2++3. 三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. [典例] (1)(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B=(　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=bcos C,且c=6,A=,则△ABC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)由射影定理acos B-bcos A=c=acos B+bcos A,则cos A=0,A=,则B=π-A-C=π--=. (2)由射影定理a=bcos C+ccos B,又a=bcos C,所以ccos B=0,故cos B=0,因为B∈(0,π),所以B=,故△ABC为直角三角形.又c=6,A=,所以a=6tan=2,所以S△ABC=ac=6. 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=,A=,cos C=-,则c=(　　) A. B. C. D. 解析　D　易知C∈(0,π),由cos C=-可得sin C=.利用正弦定理=可得c=·a=×=. 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C=a(2-c),且B=,则a=(　　) A.1 B. C. D.2 解析　A　因为2bcos C=a(2-c),所以由余弦定理得,2b=a(2-c),即a2+b2-c2=a2(2-c),即a2+c2-b2=a2c,所以cos B===,又因为B=,所以=,解得a=1. 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,c=b,则△ABC的面积为(　　) A.2 B. C. D.2 解析　C　由余弦定理的推论得cos==-,因为c=b,所以b=2(负值舍去),c=2,所以S△ABC=bcsin A=×2×2×=. 4.在△ABC中,已知=,且cos(A-B)-cos(A+B)=1-cos 2C,则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析　A　因为cos(A-B)-cos(A+B)=1-cos 2C,所以cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=1-1+2sin2C,所以sin Asin B=sin2C,由正弦定理可得ab=c2,=,可化为(a+b)(sin B-sin A)=asin B,所以由正弦定理得(a+b)(b-a)=ab,故b2-a2=ab,所以b2-a2=c2,即b2=c2+a2,所以△ABC为直角三角形. 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若acos B=,bcos A=,c=,则的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析　B　因为acos B=,bcos A=,c=, 所以====-. 6.(2026·江苏盐城模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b-2c=acos C-2acos B,则=(　　) A. B. C.1 D.2 解析　D　如图所示,过点A作AD⊥BC交BC于点D, 则BD=ccos B,CD=bcos C,∴a=BD+CD=ccos B+bcos C, 同理可证b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A, 因为b-2c=acos C-2acos B,所以acos C+ccos A-2(acos B+bcos A)=acos C-2acos B, 整理得ccos A=2bcos A,因为△ABC为锐角三角形,所以cos A≠0, 所以c=2b,即=2. 7.(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是(　　) A.若A=45°,a=,b=,则△ABC有两解 B.若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形 C.若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B D.若=,则△ABC为等腰三角形 解析　ABC　由 所以△ABC有两解,故A正确;由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C>a2+b2⇒cos C<0,所以C为钝角,即△ABC为钝角三角形,故B正确;因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>90°⇒90°-B<A<90°⇒sin(90°-B)<sin A,即cos B<sin A,故C正确;因为=,由正弦定理得=⇒sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故D错误. 8.(多选)在△ABC中,点D在线段AB上,且AD=5,BD=3.若CB=2CD,cos∠CDB=-,则(　　) A.sin∠CDB= B.△ABC的面积为8 C.△ABC的周长为8+4 D.△ABC为钝角三角形 解析　BCD　由cos∠CDB=-,可得sin∠CDB=,故A错误;设CD=x,则由题意知CB=2x,在△CBD中,由余弦定理得cos∠CDB=,解得x=,即CD=,CB=2,所以S△ABC=S△BCD+S△ADC=×3××+×5××=8,故B正确;在△BCD和△BCA中,分别由余弦定理得cos B==,解得AC=2,故△ABC的周长为AB+AC+BC=8+2+2=8+4,故C正确;由余弦定理得cos C==-<0,故C为钝角,故D正确. 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B+csin C-asin A=bsin C,则A= 　　　　.  答案　 解析　∵bsin B+csin C-asin A=bsin C, 由正弦定理可得,b2+c2-a2=bc, 又由余弦定理可得,cos A==, ∵A∈(0,π),∴A=. 10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2-ac=0,△ABC的外接圆半径R=,△ABC的周长为9,则ac=　　　　.  答案　9 解析　在△ABC中,由a2+c2-b2-ac=0,可得a2+c2-b2=ac,所以cos B==,由0<B<π可得B=,所以b=2Rsin B=2×=3.因为△ABC的周长为9,所以a+c=9-b=9-3=6,由a2+c2-b2-ac=0,可得(a+c)2-3ac=b2=9,所以3ac=27,所以ac=9. 11.(2026·浙江金华模拟)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A. (1)求B; (2)若△ABC为等腰三角形且腰长为2,求△ABC的底边长. 解　(1)∵(2c-a)cos B=bcos A,由正弦定理得(2sin C-sin A)cos B=sin Bcos A. ∴sin C=2sin Ccos B,∵sin C≠0,∴cos B=, ∵B∈(0,π),∴B=. (2)当B为顶角时,则底边AC2=4+4-2×2×2×cos=8-4, ∴AC=-, 当B为底角时,则该三角形内角分别为,,,则底边长为2. 故△ABC的底边长为-或2. 12.(2026·浙江杭州模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A-sin2B=sin2C-sin Bsin C,2cos B=sin C. (1)判断△ABC的形状,并说明理由; (2)若点D在AB边上,且BD=2AD.若CD=2,求△ACD的面积. 解　(1)△ABC为直角三角形,理由如下:由sin2A-sin2B=sin2C-sin Bsin C可得a2-b2=c2-bc, 故bc=c2+b2-a2,进而cos A===, 由于A∈(0,π),故A=, 又2cos B=sin C,故2cos B=sin(B+A)=sin=sin B+cos B, 化简可得sin B=cos B,故tan B=, 由于B∈(0,π),故B=, 进而C=π-B-A=,故三角形为直角三角形. (2)由于B=,A=,且△ABC为直角三角形, 设AB=2x,则AC=x,BC=x,AD=AB=, 故在三角形ACD中,由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos A,即4=+(x)2-2××x×,解得x2=, 故S△ACD=AD·AC·sin A=××x×=x2=×=. 13.(2026·山东聊城模拟)在△ABC中,已知AB=5,AC=4,cos(C-B)=,则△ABC的面积为　　　　.  答案　 解析　因AB>AC,故∠C>∠B, 如图,过点C作射线CD交线段AB于点D,使∠BCD=∠B,则CD=BD, 则cos(C-B)=cos∠ACD=, 在△ACD中利用余弦定理得,cos∠ACD==,解得CD=3, 在△ACD中利用余弦定理得,cos∠CAD==,则sin∠CAD==, 则S△ABC=×4×5×=. 14.(2026·山东淄博模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin 2B=bcos B,且角B为锐角,b=8,sin A=,则sin(2B+C)的值为　　　　.  答案　 解析　已知sin 2B=bcos B,根据二倍角公式sin 2B=2sin Bcos B,则有2sin Bcos B=bcos B. 因为B为锐角,即cos B≠0,等式两边同时除以cos B可得2sin B=b. 已知b=8,将其代入2sin B=b可得2sin B=×8,解得sin B=. 因为B为锐角,根据sin2B+cos2B=1,可得cos B====. 由正弦定理=, 已知b=8,sin A=,sin B=, 则a===. 因为a=<b=8,根据大边对大角可知A<B,又因为B为锐角,所以A也为锐角. 根据sin2A+cos2A=1,可得cos A====. 因为A+B+C=π,所以2B+C=π+B-A, 则sin(2B+C)=sin(π+B-A)=-sin(B-A)=-(sin Bcos A-cos Bsin A)=-=. 学科网（北京）股份有限公司 $