4.6正弦定理、余弦定理讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦正弦定理、余弦定理核心考点，按“基本定理公式-相关应用-九类题型”逻辑架构梳理知识，通过知识回顾夯实基础，必做典例提炼方法，分层练习强化应用，帮助学生构建解三角形问题的系统解题思路。 讲义以题型分层训练为特色，针对解的个数判断、中线角平分线等难点，通过方法技巧总结培养学生数学思维与推理能力，结合真题演练强化模型意识，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师精准把握复习重点提供清晰路径。

4.6　正弦定理、余弦定理 目录 知识点1：基本定理公式 1 知识点2：相关应用 2 题型一：正弦定理的应用 3 题型二：余弦定理的应用 4 题型三：判断三角形的形状 6 题型四：三角形解的个数 7 题型五：三角形中的面积与周长问题 8 题型六：正、余弦定理的综合运用 9 题型七　与中线、角平分线、垂线有关的问题 11 题型八：倍角关系 13 题型九：解三角形的实际应用 14 01 知识回顾 知识点1：基本定理公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． 2、面积公式： (1)S=aha(ha表示边a上的高)； (2)S=absin C=acsin B=bcsin A；  (3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 知识点2：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 02 必做典例 题型一：正弦定理的应用 【解题方法】 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角； （3）两边一对角，求第三边． 1. (2025·广安模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，C=，b=，则a等于(　　) A.2 B. C. D. 2. （2025·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 3. （2025·广东东莞·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为 ． 【练习】（2025·高三·江西赣州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【练习】（2025·浙江·模拟预测）在中，分别为角的对边，若，，，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【练习】（2025·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【练习】(2025·永州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，b=1，c=4，则=　　　　.  【练习】在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：余弦定理的应用 【解题方法】 （1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边． （2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 4. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=，a=1，B=，则c等于(　　) A. B.2 C. D.3 5. (2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 6. 已知分别为的内角的对边，且.角 . 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　) A.A∶B∶C=2∶3∶4 B.△ABC为钝角三角形 C.若a+b+c=18，则△ABC的面积是6 D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r 8. （2025·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则 . 题型三：判断三角形的形状 【解题方法】 判断三角形形状的两种思路 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状. （1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形． （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形． 9. (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A.若a=2ccos B，则△ABC是等腰三角形 B.若cos Acos Bcos C>0，则△ABC是锐角三角形 C.若acos A=bcos B，则△ABC是等腰三角形 D.若a-ccos B=acos C，则△ABC是等腰三角形或直角三角形 10. （2025·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 11. (2025·杭州期末)在△ABC中，cos2=(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 12. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 题型四：三角形解的个数 【方法技巧】 三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 13. 在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14. 在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15. 设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：三角形中的面积与周长问题 【方法技巧】 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=4，则△ABC的面积为　　　　.  17. (2025·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S=(b2+c2-a2)，则cos A=　　　　　　.  18. (2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3+，求c. 19. 记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长 题型六：正、余弦定理的综合运用 【解题技巧】应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理求解. (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理的推论求解. (3)利用式子的特点转化：如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 20. (2026·临沂模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O是△ABC的外接圆的圆心，a=4，b=6，sin C+cos C=，则该外接圆O的面积为(　　) A.8π B.5π C.10π D.20π 21. (2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc=a2.若b=，a=3sin B，则C等于(　　) A. B. C. D. 22. (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+b=10，c=5，sin 2B+sin B=0，则下列结论正确的是(　　) A.a=3 B.b=7 C.B=60° D.sin C= 23. (2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于(　　) A. B. C. D. 24. （2025·山东·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则 ． 25. (2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A=2. (1)求A； (2)若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长. 题型七　与中线、角平分线、垂线有关的问题 三角形中线、角平分线的解题策略 (1)若AD是△ABC边BC上的中线，一般利用向量解决问题，即=+)，两边平方即可得到边与角的关系. (2)若AD是△ABC中角A的平分线，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，=. 26. (多选)(2026·沈阳模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，A=，点D为边BC上一动点，则(　　) A.BC=2 B.当AD为边BC上的高时，AD= C.当AD为边BC上的中线时，AD= D.当AD为角A的平分线时，AD= 27. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=8，c=9，则AC边上的中线长为　　　　.  28. (2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD2=19，则c等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 29. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=，AD=2，则2b+c的最小值为　　　　　　　.  30. (2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD2=19，则c等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【练习】已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则(　　) A.BC边上的高线长为 B.AD= C.BD= D.BE= 【练习】　(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=，角A的平分线AD交BC于点D，AD=2，b=6，则以下结论正确的是(　　) A.c=3 B.BD=2CD C.△ABC的面积为 D.a=3 【练习】(多选)(2025·漳州模拟)在△ABC中，AC=2，tan A=2，向量在向量上的投影向量为，则(　　) A.边BC上的高为3 B.sin∠ACB= C.·=-8 D.边AB上的中线长为 题型八：倍角关系 【方法技巧】 解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性。 31. 记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若，求的面积. 32. （2025·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足. （1）求证：； （2）若，求. 题型九：解三角形的实际应用 【方法技巧】 根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解． 33. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为 ．      34. 如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得,已知山高，则山高 m. 35. （2025·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m. 36. （2025·宁夏银川·二模）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， (1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） (2)求证;山高 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.6　正弦定理、余弦定理 目录 知识点1：基本定理公式 1 知识点2：相关应用 2 题型一：正弦定理的应用 3 题型二：余弦定理的应用 6 题型三：判断三角形的形状 9 题型四：三角形解的个数 12 题型五：三角形中的面积与周长问题 14 题型六：正、余弦定理的综合运用 17 题型七　与中线、角平分线、垂线有关的问题 20 题型八：倍角关系 25 题型九：解三角形的实际应用 28 01 知识回顾 知识点1：基本定理公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． 2、面积公式： (1)S=aha(ha表示边a上的高)； (2)S=absin C=acsin B=bcsin A；  (3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 知识点2：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 02 必做典例 题型一：正弦定理的应用 【解题方法】 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角； （3）两边一对角，求第三边． 1. (2025·广安模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，C=，b=，则a等于(　　) A.2 B. C. D. 答案　B 解析　因为A=，C=，所以B=π--=， 由正弦定理=，可得a===. 2. （2025·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 答案 B 解析 因为，由正弦定理， 因为， 展开化简， 又. 故选:B. 3. （2025·广东东莞·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为 ． 答案 / 解析 由，可得， 解得，所以为等边三角形，故外接圆直径为 所以． 故答案为：. 【练习】（2025·高三·江西赣州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 答案 C 解析 因为，所以， 因为，所以． 故选：C. 【练习】（2025·浙江·模拟预测）在中，分别为角的对边，若，，，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 答案 B 解析 由，可得，根据 进而求出，， 由可得，， 则， 由正弦定理可知， 又因为，解得，， 由正弦定理可得． 故选：B． 【练习】（2025·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 答案 B 解析 在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 【练习】(2025·永州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，b=1，c=4，则=　　　　.  答案　 解析　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=1+16-8×=13，即a=， 由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆的半径)， 可得==2R===. 【练习】在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 答案 C 解析 因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 题型二：余弦定理的应用 【解题方法】 （1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边． （2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 4. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=，a=1，B=，则c等于(　　) A. B.2 C. D.3 答案　B 解析　由余弦定理得cos B=，即-=，整理得c2+c-6=0，解得c=2(负值舍去). 5. (2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 答案　A 解析　方法一　由余弦定理得cos A= ==， 又0°<A<180°，所以A=45°. 方法二　由题意得BC<AB<AC，所以A<C<B，又A+B+C=180°， 所以A<60°，结合选项可知A正确. 6. 已知分别为的内角的对边，且.角 . 答案 解析 在中，由余弦定理得，，代入得， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则. 故答案为： 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　) A.A∶B∶C=2∶3∶4 B.△ABC为钝角三角形 C.若a+b+c=18，则△ABC的面积是6 D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r 答案　BD解析　因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4， 由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4，A错误； 设a=2x，b=3x，c=4x，x>0，由题意可知，C为最大角，0<C<π， 因为cos C===-<0，故C为钝角，故B正确； 若a+b+c=18，则a=4，b=6，c=8， 又cos C=-，所以sin C==， 所以S△ABC=absin C=×4×6×=3，故C错误； 由正弦定理得2R===，即R=， 由面积公式可得(a+b+c)r=absin C， 即×9x×r=×2x×3x×，所以r=x，所以=，故5R=16r，故D正确. 8. （2025·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则 . 答案 解析 ， 由余弦定理有：， 又，所以原式. 故答案为： 题型三：判断三角形的形状 【解题方法】 判断三角形形状的两种思路 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状. （1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形． （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形． 9. (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A.若a=2ccos B，则△ABC是等腰三角形 B.若cos Acos Bcos C>0，则△ABC是锐角三角形 C.若acos A=bcos B，则△ABC是等腰三角形 D.若a-ccos B=acos C，则△ABC是等腰三角形或直角三角形 答案　ABD 解析　对于A，方法一　由正弦定理可得sin A=2sin Ccos B， 又sin A=sin(C+B)=sin Ccos B+cos Csin B，因此可得sin(B-C)=0， 又因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，所以B=C，所以△ABC是等腰三角形，A正确； 方法二　由余弦定理得a=2c·，即a2=a2+c2-b2，即b2=c2， 又b>0，c>0，所以b=c，所以△ABC为等腰三角形，A正确； 对于B，由cos Acos Bcos C>0且A+B+C=π知，cos A>0，cos B>0，cos C>0， 所以A，B，C∈，所以B正确； 对于C，若acos A=bcos B，由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B， 即sin 2A=sin 2B，因此2A=2B或2A=π-2B， 可得A=B或A+B=，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，由正弦定理可得sin A-sin Ccos B=sin Acos C， 即sin Bcos C+sin Ccos B-sin Ccos B=sin Acos C，所以sin Bcos C=sin Acos C， 所以sin B=sin A或cos C=0，所以A=B或C=， 即△ABC为等腰三角形或直角三角形，D正确. 10. （2025·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 答案 A 解析 由，可得，则， ，， 即，由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A. 11. (2025·杭州期末)在△ABC中，cos2=(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案　B 解析　因为cos2=，所以=，整理得cos B=， 方法一　由余弦定理得=，化简得a2+b2=c2，所以C=. 故△ABC的形状为直角三角形. 方法二　由正弦定理==，得cos B=， 所以sin Ccos B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，得sin Bcos C=0， 又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以cos C=0，又C∈(0，π)，所以C=. 故△ABC的形状为直角三角形. 12. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 答案 C 解析 在中，由及正弦定理得，而， 整理得，即，而， 则，因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C 题型四：三角形解的个数 【方法技巧】 三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 13. 在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 答案 C 【分析】由三角形内角和可判断A项，由三角形中大边对大角可判断B项，由正弦定理解三角形可判断C项，由余弦定理解三角形可判断D项. 【详解】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解；对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解； 对于C项，由正弦定理，可得， 可得B有两解，所以三角形有两解； 对于D项，由余弦定理得， 可得c有唯一的解，所以三角形只有一解． 故选：C． 14. 在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案 C 【分析】由题意可知，画出和边长，以为圆心，为半径作圆与边有两个交点时即可求出的取值范围. 【详解】根据题意如下图所示： 易知当时，，若满足条件的三角形只有一个； 由题可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点时，即图中两点满足题意；所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：C 15. 设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析 由正弦定理，即，所以， 因为不唯一，即有两解，所以且，即， 所以，所以，即； 故选：A 题型五：三角形中的面积与周长问题 【方法技巧】 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=4，则△ABC的面积为　　　　.  答案　4 解析　在△ABC中，因为a=5，b=7，c=4， 由余弦定理可得cos B===-，又0<B<π， 所以sin B===， 因此，S△ABC=acsin B=×5×4×=4. 17. (2025·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S=(b2+c2-a2)，则cos A=　　　　　　.  答案　 解析　由S=(b2+c2-a2)，可得bcsin A=(b2+c2-a2)， 所以sin A=·，所以sin A=2cos A>0， 即cos A>0，两边平方得sin2A=8cos2A， 又sin2A+cos2A=1， 所以9cos2A=1，所以cos A=. 18. (2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3+，求c. 解　（1）由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C， 因为a2+b2-c2=ab，所以cos C=， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C===， 又因为sin C=cos B， 即cos B=，又B∈(0，π)，所以B=. （2）由（1）可得B=，cos C=，C∈(0，π)， 从而C=，sin A=sin(B+C)=sin=×+×=. 方法一　由正弦定理有=，从而b=·c=c， 由三角形面积公式可知， △ABC的面积可表示为S△ABC=bc·sin A=·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+， 可得c2=3+，所以c=2. 方法二　记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得 S△ABC=ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C=2R2···=·R2=3+. 所以R=2.所以c=2R·sin C=2×2×=2. 19. 记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长 解析 （1）由 又得 其中 化简得 又得. 即 因为是三角形的内角，所以. （2） 由，得，由余弦定理， 得，得，得， 所以的周长为． 题型六：正、余弦定理的综合运用 【解题技巧】应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理求解. (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理的推论求解. (3)利用式子的特点转化：如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 20. (2026·临沂模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O是△ABC的外接圆的圆心，a=4，b=6，sin C+cos C=，则该外接圆O的面积为(　　) A.8π B.5π C.10π D.20π 答案　C 解析　由sin C+cos C=，得sin=，即sin=1， 又因为0<C<π，得<C+<，所以C+=，所以C=， 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得c2=32+36-2×4×6×=20，解得c=2， 由正弦定理得外接圆O的直径2R===2，所以R=， 所以圆O的面积S=πR2=10π. 21. (2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc=a2.若b=，a=3sin B，则C等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在△ABC中，由b2+c2+bc=a2及余弦定理，可得cos A==-， 由0<A<π，可得A=， 又b=，a=3sin B，由正弦定理得 sin B====，又sin B>0，解得sin B=， 又0<B<，因此B=，所以C=π-A-B=. 22. (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+b=10，c=5，sin 2B+sin B=0，则下列结论正确的是(　　) A.a=3 B.b=7 C.B=60° D.sin C= 答案　ABD 解析　由sin 2B+sin B=0，得2sin Bcos B+sin B=0， 因为在△ABC中，0°<B<180°，故sin B>0，得cos B=-， 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，得b2=a2+52-2×a×5×=a2+5a+25， 因为b=10-a，所以(10-a)2=a2+5a+25，解得a=3，所以b=7. 由cos B=-，得B=120°，则sin B=.由正弦定理得sin C=sin B=×=. 23. (2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为B=，b2=ac， 则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理可得， b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac， 即a2+c2=ac， 根据正弦定理得 sin2A+sin2C=sin Asin C=， 所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=， 因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0， 则sin A+sin C=. 24. （2025·山东·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则 ． 答案 解析 因为，所以，所以， 即，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以. 故答案为： 25. (2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A=2. (1)求A； (2)若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长. 解　(1)方法一　常规方法(辅助角公式) 由sin A+cos A=2，可得sin A+cos A=1，即sin=1， 由于A∈(0，π)⇒A+∈，故A+=，解得A=. 方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2，又sin 2A+cos 2A=1，消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0⇔(2cos A-)2=0，解得cos A=，又A∈(0，π)，故A=. (2)由题设条件和正弦定理得，bsin C=csin 2B⇔sin Bsin C=2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B=，得到B=， 于是C=π-A-B=，sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=， 由正弦定理可得，==，即==，解得b=2，c=+， 故△ABC的周长为2++3. 题型七　与中线、角平分线、垂线有关的问题 三角形中线、角平分线的解题策略 (1)若AD是△ABC边BC上的中线，一般利用向量解决问题，即=+)，两边平方即可得到边与角的关系. (2)若AD是△ABC中角A的平分线，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，=. 26. (多选)(2026·沈阳模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，A=，点D为边BC上一动点，则(　　) A.BC=2 B.当AD为边BC上的高时，AD= C.当AD为边BC上的中线时，AD= D.当AD为角A的平分线时，AD= 答案　ACD 解析　对于A，由余弦定理，可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=16+36-2×4×6×=28， 所以BC=2，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得S△ABC=×AB×AC×sin A=×4×6×=6， 而S△ABC=×BC×AD=×2×AD=6，故AD==，所以B错误； 对于C，因为=+)， 所以=+2·+)=×=19，所以||=，所以C正确； 对于D，因为AD为角A的平分线，则∠BAD=∠CAD=， 由S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得6=×4×ADsin+×6×ADsin， 可得AD=，所以D正确. 27. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=8，c=9，则AC边上的中线长为　　　　.  答案　7 解析　方法一　在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知， AB2+BC2=2(BD2+DC2)，即c2+a2=2， 则BD2=-=-=49，BD=7， 故AC边上的中线长为7. 方法二　因为a=7，b=8，c=9，由余弦定理得cos B===. 设D是AC的中点，则=+)， 两边平方得||2=+2·+)=×=49， 所以||=7，即AC边上的中线长为7. 28. (2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD2=19，则c等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　设BD=x，则AD=2x， 在△ADC中，得cos∠ADC==， 在△BDC中，得cos∠BDC==， 因为∠ADC+∠BDC=π，所以cos∠ADC+cos∠BDC=0， 即+=0，解得x=2或x=-2(舍去)，所以c=3x=6. 29. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=，AD=2，则2b+c的最小值为　　　　　　　.  答案　6+4 解析　如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=， 由张角定理得=+， 即=+，∴+=， ∴2b+c=(2b+c)×2=6++≥6+2 =6+4(当且仅当=且+=， 即c=b=2+2时取等号). 30. (2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD2=19，则c等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　设BD=x，则AD=2x， 在△ADC中，得cos∠ADC ==， 在△BDC中， 得cos∠BDC==， 因为∠ADC+∠BDC=π，所以cos∠ADC+cos∠BDC=0， 即+=0，解得x=2或x=-2(舍去)，所以c=3x=6. 【练习】已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则(　　) A.BC边上的高线长为 B.AD= C.BD= D.BE= 答案　ACD 解析　在△ABC中，由余弦定理 cos∠BAC===， ∴∠BAC=60°， 设BC边上的高为h， 则S△ABC=AB·AC·sin 60°=·BC·h， 解得h=，故A正确； 又S△ABD+S△ACD=S△ABC，故AB·AD·sin 30°+AC·AD·sin 30°=AB·AC·sin 60°， 解得AD=，故B不正确； ∵AD平分∠BAC，由角平分线定理知=， ∴=，∴BD=DC=BC=， 故C正确； ∵E为AC的中点，∴AE=2，在△ABE中， 由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAC =1+4-2×1×2×=3，∴BE=，故D正确. 【练习】　(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=，角A的平分线AD交BC于点D，AD=2，b=6，则以下结论正确的是(　　) A.c=3 B.BD=2CD C.△ABC的面积为 D.a=3 答案　AC 解析　如图所示， A=，则sin A=sin=，cos A=-， 由S△ABC=S△ACD+S△ABD，即有bcsin A=b·AD·sin+c·AD·sin， 所以bc=2b+2c，因为b=6，所以c=3，故A正确； 由角平分线的性质可知，===，即2BD=CD，故B错误； S△ABC=bcsin A=×6×3×=，故C正确； 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+9+2×6×3×=63， 所以a=3，故D错误. 【练习】(多选)(2025·漳州模拟)在△ABC中，AC=2，tan A=2，向量在向量上的投影向量为，则(　　) A.边BC上的高为3 B.sin∠ACB= C.·=-8 D.边AB上的中线长为 答案　ABD 解析　如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知=，所以AD=AB， 设AD=x，则BD=2x，又tan A=2，所以CD=2x，所以B=， 在Rt△ACD中，AC=x=2，所以x=2， 所以AD=2，BD=4，CD=4，所以AB=6， 在Rt△BCD中，易得BC==4， 所以边BC上的高为AB·sin B=3，故选项A正确； 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠ACB==， 又因为∠ACB∈(0，π)，所以sin∠ACB==，故选项B正确； ·=||||cos∠ACB=2×4×=8，故选项C错误； 设AB的中点为M，则=+)， 所以=++2·)=×(20+32+2×8)=17， 则||=，即CM=，故选项D正确. 题型八：倍角关系 【方法技巧】 解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性。 31. 记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若，求的面积. 解析 （1）证明：由及正弦定理得：， 整理得，. 因为， 所以， 所以或， 所以或（舍）， 所以. （2）由及余弦定理得:， 整理得， 又因为，可解得， 则，所以△是直角三角形， 所以△的面积为. 32. （2025·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足. （1）求证：； （2）若，求. 解析 （1）证明：因为，由正弦定理，得， 所以，所以. 又因为，，所以或. 若，又，所以，与a，b，c互不相等矛盾， 所以. （2）由（1）知，所以. 因为，所以，则， 可得. 又因为 所以. 因为，所以，所以， 所以， 解得， 又，得. 题型九：解三角形的实际应用 【方法技巧】 根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解． 33. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为 ．      答案 74 解析 由题设及图知：，则， 在中m. 故答案为：74 34. 如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得,已知山高，则山高 m. 答案 解析 在中，因为，所以， 在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 故答案为：. 35. （2025·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m. 答案 解析 因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高. 故答案为：. 36. （2025·宁夏银川·二模）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， (1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） (2)求证;山高 解析 （1）坡面的坡比为 （2）在中, 在中,根据正弦定理 所以山高为 1 学科网（北京）股份有限公司 $