专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 知识点1：同角三角函数基本关系 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝. 2.对同角三角函数基本关系式的理解 注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． 3．常用的等价变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tanα＝⇒ 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·广西桂林·阶段检测）若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系转化进行计算即可. 【详解】因为， 故原式可化为. 知识点2：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据诱导公式， 又因为为第二象限角,,所以, 所以. 题型一：弦切互化问题 题型二：sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 题型三：齐次式的计算 题型四：诱导公式的应用 题型五：诱导求值与变形 题型六：同角公式、诱导公式的综合应用 题型一：弦切互化问题 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，且为第二象限角，则（　　） A．－ B．－ C． D． 【答案】A 【详解】因为，为第二象限角，所以， . 2．（25-26高三上·山东·学业考试真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且知． 由和联立， 解得． 3．（25-26高三下·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 为第四象限角确定 的符号。 【详解】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 4．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式移项后平方，结合平方关系消元，可求出，，然后根据商数关系求得. 【详解】，所以， 由，得，所以， 因为，所以， 所以，即， 得，（舍去），所以， 则. 题型二：sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 5．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知，，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，则， 由同角三角函数关系可得，， 所以. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则， 则，解得. 7．（25-26高三下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 / 【分析】根据同角三角函数基本关系即可求解；根据第四象限角的三角函数符号确定的正负，进而求出其值. 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. 8．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将等式两边取平方，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围求出，再与原式联立求出的值，进而求出即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 题型三：齐次式的计算 9．（2026高三·全国·专题练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由同角三角函数的商数关系，化为的式子，代入，即可求解． 【详解】（1）． （2）． 10．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义可求出，利用弦化切可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为角的终边过点，则， 所以 ，解得. 11．（25-26高三下·陕西汉中·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 12．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】 （1）原式． （2）原式． （3）原式． 题型四：诱导公式的应用 13．（25-26高三下·北京·期末）若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用任意角的三角函数值的正负结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【详解】因为为第三象限角，所以. 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 14．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知. (1)化简 (2)若是第二象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式化简即可； （2）由诱导公式化简求出，再由平方关系求出，代入即可. 【详解】（1） ； （2），所以， 又因为是第二象限角，所以， . 15．（25-26高三下·黑龙江伊春·期中）化简 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可． 【详解】． 16．（26-27高三上·全国·课堂例题）化简：． 【答案】 【详解】根据诱导公式即可求解. 原式 ． 题型五：诱导求值与变形 17．（2026高三·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求解. 【详解】（1）. （2）. （3）. 18．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 则， 因为，所以， 所以， 又因为，所以. 19．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 即， 故. 20．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， . 题型六：同角公式、诱导公式的综合应用 21．（25-26高三下·江苏镇江·期末）已知角的终边在直线上，则________． 【答案】 【详解】因为角的终边在直线上， 所以可取角终边上的点，所以. 所以． 22．（25-26高三下·江西南昌·阶段检测）平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． (1)求和的值； (2)若，化简并求值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可； （2）利用诱导公式化简，并结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）由题意，角的终边在射线上，可取角的终边上一点为， 则，. （2）由， 由（1）可知：， 所以. 23．（25-26高三下·贵州遵义·期中）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可. （2）根据任意角三角函数的定义求解，然后代入原式计算即可. （3）先对原式进行化简，然后再代入求解即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）根据任意角三角函数定义可得. . （3）由（2）可得.    原式. 24．（25-26高三下·上海·期中）（1）已知，化简并求值：． （2）已知，求值： 【答案】（1）（2）3 【分析】（1）根据二倍角的正切公式及诱导公式化简即可得解； （2）根据齐次式弦化切即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为， 所以. 1．（26-27高三上·广东·开学考试）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 2．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简得到，代入计算得到答案. 【详解】因为，， ， 所以， 所以. 3．（25-26高三下·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由,得; 同除以,得 由得, 代入化简得, 即, 解得， 则. 4．（2026高三·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 解得. 5．（25-26高三下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到， 所以. 6．（25-26高三下·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察所求角与已知角的数量关系，利用三角函数诱导公式转化求解. 【详解】已知，则，故B正确. 7．（25-26高三下·四川乐山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式变形和同角三角函数关系可得答案 【详解】， 因为，所以，故 因为，所以， 故. 8．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简目标式，结合齐次式弦切互化的方法计算结果. 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 9．（2026高三下·浙江·学业考试）（多选）在中，下列恒等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由以及诱导公式即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故B错误； 对于C选项， 因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故C错误； 对于D选项，因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故D正确. 10．（25-26高三下·浙江温州·期末）（多选）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】AB选项，利用诱导公式进行计算；C选项，利用齐次式化弦为切进行求解；D选项，两边平方后进行求解 【详解】A选项，若，则，A错误； B选项，若，则，B正确； C选项，若， 则，C错误； D选项，若，则， 即，，，D正确. 11．（25-26高三·全国·暑假作业）（多选）已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D， ，故D正确． 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则的值为____. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 13．（26-27高三上·贵州遵义·开学考试）已知，，则__________. 【答案】 【分析】利用诱导公式分别化简已知条件和待求表达式，再结合同角三角函数平方关系与角的象限确定符号求解可得. 【详解】，所以. ， 所以. 则. 14．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知，且，则的值为______　. 【答案】 【分析】根据角之间的互余、互补关系，把所求角变形为，结合给定范围求出对应角正弦值，代入化简即可求得结果. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 所以. 15．（25-26高三下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义依次求解即可； （2）根据诱导公式化简，再将（1）的结论代入计算即得. 【详解】（1）由点得，，. 则，，； （2）原式. 将代入，可得原式=. 16．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知. (1)求：及的值； (2)求的值； (3)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）利用齐次式法求解即得. （2）利用诱导公式化简，结合同角公式求解. （3）利用同角公式化简求解. 【详解】（1）当时，； . （2）当时，. （3）当，为第二象限角时，， . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 知识点1：同角三角函数基本关系 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝. 2.对同角三角函数基本关系式的理解 注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． 3．常用的等价变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tanα＝⇒ 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·广西桂林·阶段检测）若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 知识点2：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 题型一：弦切互化问题 题型二：sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 题型三：齐次式的计算 题型四：诱导公式的应用 题型五：诱导求值与变形 题型六：同角公式、诱导公式的综合应用 题型一：弦切互化问题 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，且为第二象限角，则（　　） A．－ B．－ C． D． 2．（25-26高三上·山东·学业考试真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 5．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知，，则___________． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 8．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：齐次式的计算 9．（2026高三·全国·专题练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 10．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·陕西汉中·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 题型四：诱导公式的应用 13．（25-26高三下·北京·期末）若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知. (1)化简 (2)若是第二象限角，且，求的值. 15．（25-26高三下·黑龙江伊春·期中）化简 16．（26-27高三上·全国·课堂例题）化简：． 题型五：诱导求值与变形 17．（2026高三·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 18．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 20．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型六：同角公式、诱导公式的综合应用 21．（25-26高三下·江苏镇江·期末）已知角的终边在直线上，则________． 22．（25-26高三下·江西南昌·阶段检测）平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． (1)求和的值； (2)若，化简并求值． 23．（25-26高三下·贵州遵义·期中）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 24．（25-26高三下·上海·期中）（1）已知，化简并求值：． （2）已知，求值： 1．（26-27高三上·广东·开学考试）（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 3．（25-26高三下·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 4．（2026高三·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·四川乐山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 9．（2026高三下·浙江·学业考试）（多选）在中，下列恒等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·浙江温州·期末）（多选）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高三·全国·暑假作业）（多选）已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则的值为____. 13．（26-27高三上·贵州遵义·开学考试）已知，，则__________. 14．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知，且，则的值为______　. 15．（25-26高三下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 16．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知. (1)求：及的值； (2)求的值； (3)若为第二象限角，求的值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $