2026-2027学年苏科版数学 九年级上册第一次月考重难点学情自测卷二（范围：第1-2章）

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷二（范围：第1-2章） 一、选择题（共20分） 1．一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 3．反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是(　　) A． B． C． D． 4．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 6．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 8．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 9．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 10．某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题（共16分） 11．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 12．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 13．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为______． 14．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 15．已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 16．通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）是距离（单位：）的反比例函数．已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为；当小张同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为__________． 17．如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 18．若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1) (2) 20．解答下列各题： (1)计算：． (2)已知点，在反比例函数的图象上，试求a的值． 21．某公司今年1月份盈利2万元，今年3月份盈利万元，假设每月盈利的平均增长率相同． (1)求每月盈利的平均增长率； (2)预计今年4月份盈利多少万元？ 22．已知反比例函数的图象经过点． (1)求a的值． (2)当时，求y的取值范围． 23．小明利用数学画图软件，进行了如下操作： （Ⅰ）生成反比例函数的图像； （Ⅱ）过点生成轴的垂线，过点生成轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点，，生成直线． 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题． (1)求，两点的坐标，以及直线的函数表达式． (2)在（1）的基础上，当在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值？（直接写出结果） 24．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 25．【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷二（范围：第1-2章） 一、选择题（共20分） 1．一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 2．已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 3．反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接把点代入反比例函数，求出k的值，进而可得出结论， 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A、∵，不符合题意； B、∵，不符合题意； C、∵，不符合题意； D、∵，符合题意． 4．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 5．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 6．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 7．若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，即当腰长为，当底边长为，进而求解即可． 【详解】解：当腰长为时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，即， 解得，， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，即， 解得， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或，故只有B符合． 8．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 【答案】C 【分析】根据“总利润 =单件利润 销售量”建立方程，求解后根据题目限制条件对根进行取舍． 【详解】解：由题意，设台灯的定价应为元（）． 销售单价上涨了元． 因为售价每上涨元，月销售量就减少个， 所以月销售量减少了个， 月销售量为：， 要实现每月元的销售利润， 可得， 整理方程得，， 因式分解得：， 解得：， ． ，不符合题意，舍去． 因此，台灯的定价应为元． 9．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于，交轴于， ∵、两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 10．某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】优秀人数=参加测评人数优秀率，即优秀人数为；乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上，因此，即乙、丁的优秀人数相等；甲、丙的点分别与反比例函数图像对比，通过比较的大小即可判断哪所学校优秀人数最多． 【详解】解：设反比例函数表达式为，由于乙、丁两点在该反比例函数图象上，故对乙、丁两所学校都有，即乙、丁两校的优秀人数相等； 对于甲校，过点甲作轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与甲相同，纵坐标大于甲的纵坐标，因此甲校的，即甲校优秀人数小于； 对于丙校，过点丙作轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与丙相同，纵坐标小于丙的纵坐标， 因此丙校的，即丙校优秀人数大于； 综上：丙校的优秀人数 > 乙校（丁校）的优秀人数 > 甲校的优秀人数，即优秀人数最多的是丙校． 二、填空题（共16分） 11．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 12．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 因式分解得，， ∴，或， 解得：，， ∴输出的的值为或． 13．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 14．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根， 将代入方程得， ， 可得：， 把代入， 可得：原式． 15．已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， ． 16．通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）是距离（单位：）的反比例函数．已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为；当小张同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为__________． 【答案】5 【分析】设反比例函数，利用已知条件求出比例系数，再代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数， 已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为， ，解得， ， 又时，， 所以，此时信号强度为． 17．如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 18．若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】由正比例函数和反比例函数的中心对称性得，因此所求式子的值等于，再根据推导的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵ 正比例函数和反比例函数都关于原点对称， ∴ 交点关于原点对称，得，即； ∴ ，只需计算的取值范围； 联立和，得，整理得，因此，且，保证两个交点存在； 联立和，得，因此，； 由条件，得，两边平方得； ∵ ，，两边同乘，不等号方向不变，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 结合分两种情况讨论： ①当时，，均为正数，取倒数后不等号反向，得，两边乘得，即； ②当时，，得，两边乘得，即； 综上，的取值范围是或． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 20．解答下列各题： (1)计算：． (2)已知点，在反比例函数的图象上，试求a的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，求反比例函数值，灵活运用所学知识是解题的关键． 21．某公司今年1月份盈利2万元，今年3月份盈利万元，假设每月盈利的平均增长率相同． (1)求每月盈利的平均增长率； (2)预计今年4月份盈利多少万元？ 【答案】(1) (2)6．75万元 【分析】（1）设每月盈利的平均增长率为，根据1月份和3月份的盈利情况建立方程求解即可； （2）4月份盈利等于3月份盈利加上3月份盈利乘以每月盈利的平均增长率，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每月盈利的平均增长率为， 由题意得， 解得 或 （不合实际，舍去）， 答：每月盈利的平均增长率为； （2）解：（万元）， 答：预计今年4月份盈利万元． 22．已知反比例函数的图象经过点． (1)求a的值． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解析式，计算即可． （2）计算对应的函数值，根据函数的增减性，确定函数值的范围即可． 本题考查了图象过点，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， 把点代入， 得， 解得． （2）解：当时，； 当时，． ∴在时，随的增大而减小， 当时， ． 23．小明利用数学画图软件，进行了如下操作： （Ⅰ）生成反比例函数的图像； （Ⅱ）过点生成轴的垂线，过点生成轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点，，生成直线． 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题． (1)求，两点的坐标，以及直线的函数表达式． (2)在（1）的基础上，当在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值？（直接写出结果） 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为； (2)或 【分析】（1）由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为，结合反比例函数解析式，即可求出坐标，再设直线的解析式为，并将A、B代入即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴将代入得，， ∴点的坐标为， 将代入得： 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、代入解析式中， 得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：由图象可得，反比例函数图像在一次函数图像上方时，对应的取值范围为或． 24．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 25．【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 【答案】(1)函数图象如图； (2)托盘中砝码的质量为 (3)托盘应该向左移动 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例解析式是解题的关键． （1）根据列表数据描点连线得函数图象，利用待定系数法求解析式； （2）将代入（1）中解析式，求出y值即可； （3）根据函数解析式求出托盘移动前和移动后与支点的距离，作差即可． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图象如图所示． 由图象可得与是反比例函数关系， 设 当时， ，解得 ． （2）解：当时，代入，得， 托盘中砝码的质量为； （3）解：设托盘移动前和移动后与支点的距离分别为． 移动前托盘中的砝码质量为 ． 移动后托盘中的砝码质量为 ， 托盘应该向左移动． 学科网（北京）股份有限公司 $