2026-2027学年人教版九年级数学上册阶段综合提升试题（ 第25～26章 ）

阶段综合提升试题（ 第25~26章 ） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 3．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 4．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 6．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 7．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 8．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 9．如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 10．在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 12．已知函数，当时，y的取值范围____________． 13．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 14．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 15．对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为______． 16．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为______． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知是方程的一个根，求的值． 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 20．抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 21．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 22．如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 23．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24．足球训练中，球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式． (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为0.5~2.75米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 25．抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B B C C C D A 1．D 根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2．A 将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 解：将代入，得，解得． 3．A 根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 4．B 设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解一元二次方程即可． 解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 5．B 根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 6．C 结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 7．C 根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 8．C 利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 9．D 先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 10．A 先利用待定系数法求出二次函数的解析式，据此可判断①和②；再根据二次函数的对称性和增减性判断③和④即可． 解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 11．4 通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 12． 首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 13．，/， 利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 14．8 根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 15．3或 本题考查了解一元二次方程因式分解法，实数的运算，解题的关键是分两种情况：当时；当时；然后根据定义的新运算分别进行计算，即可解答． 解：分两种情况： 当时， ※， ， ， ， 或， （舍去），； 当时， ※， ， ， ， ； 综上所述：的值为3或， 故答案为：3或． 16． 连结交于，如图，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，则，，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出点坐标． 解：连结交于，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ，， 把，代入 得， 解得舍去，， ，， 故点坐标为：， 故答案为：． 17．(1)， (2)， （1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18． 利用一元二次方程的解的定义得到，则可变形为，通分得到原式，然后把代入计算即可． 解：是方程的一个根， ， ， ． 19．(1) (2) （1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 20．（1）；（2）；（3） （1）将两点代入即可求解； （2）由二次函数的性质可得出顶点坐标； （3）利用二次函数的性质“左加右减，上加下减”即可求解； 解：（1）∵抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：， （2）由（1）知对称轴为 即y轴， ∴当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为 ， （3）向上平移1个单位长得到： ， 再向左平移2个单位长得到： ， 化简得： ， ∴抛物线C1的解析式为. 21．(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 （1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． （1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 22．（1）（2）顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1（3）（3，3）或（－1，3） （1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c中，列方程组求b、c的值即可． （2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴． （3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标． 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c得 ，解得 ． ∴此抛物线的解析式为． （2）∵ ∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1． （3）设点B的坐标为（a，b），则 由解得b=3或b=－3． ∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1， ∴b=－3舍去． ∴由x2－2x=3解得x1=3，x2=－1 ∴点B的坐标为（3，3）或（－1，3）． 23．(1)① (2) (3) （1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 24．(1) (2)球会被守门员扑到 (3)球不能射进“死角区” （1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入，得， ， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，， ， 球会被守门员扑到． （3）射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时， 抛物线的顶点坐标为，即， 则抛物线为， 当时，， ， 球不能射进“死角区” 25．(1) (2) (3)， （1）解∶∵抛物线过、， ∴， 解得：，， 抛物线解析式为； （2）解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴． （3）解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， 此时，即． 学科网（北京）股份有限公司 $