第8讲 二次函数与一元二次方程 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程核心内容，系统梳理二次函数三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的转化方法，阐释二次函数与一元二次方程的关系（判别式判断交点个数、根与交点坐标的联系），讲解图象法求近似根（零点存在性定理、二分法逼近），构建从基础表达式到方程应用的递进学习支架。 资料以思维导图总览知识脉络，知识总结表对比核心要点，典例与分层练习结合。通过数形结合（抛物线图象理解方程根）培养几何直观，二分法求近似根训练推理能力，表格化呈现强化模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，提升综合应用能力。

第8讲 二次函数与一元二次方程 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化，能根据条件灵活选择合适的形式。 · 掌握二次函数与一元二次方程的关系，能利用判别式判断抛物线与 x 轴的交点个数，并利用交点坐标解决相关问题。 · 理解图象法求一元二次方程近似根的原理（零点存在性定理），能利用二分法思想逐步逼近精确解。 · 熟练运用二次函数的对称性、顶点坐标、交点坐标等解决综合问题（含参讨论、新定义等）。 · 体会数形结合、分类讨论、方程与函数相互转化的数学思想。 ✨ 核心思想：函数与方程紧密联系，通过图象直观理解方程的解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1 确定二次函数的表达式 1．二次函数表达式的三种形式 （1）一般式：为常数，且a≠0) （2）顶点式：为常数，且a≠0)·, （3）交点式：是抛物线与x轴的交点的横坐标）. 求二次函数表达式的方法：待定系数法. 2．三点式求法 如图1，已知二次函数图像上三个点的坐标，可设二次函数表达式为 (a≠0)，其中a、b、c是待定系数.由图像上三点的坐标，得到关于a、b、c的三元一次方程组，并通过求解方程组得到a、b、c的值. ( 图 1 图2 图3 ) 3．顶点式求法 如图2，已知二次函数图像的顶点坐标（或对称轴、最值），可设二次函数表达式为.此情况下，通常需要补充适当的条件，得到关于待定系数的方程（组），以此确定未知系数的值. 4．交点式求法 （1）如图3，已知抛物线与x轴的两个交点坐标及经过一点，可设二次函数表达式为，再列方程求解确定a的值； （2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标、对称轴及另一个点，选利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设二次函数表达式为，最后列方程求解确定a的值. ☆知识点2 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数的图像与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程根的关系 二次函数的图像与x轴（直线y=0)交点的横坐标是相应的一元二方程的实数根，反之亦然. 提醒 二次函数的图像与直线y=m的交点的横坐标就是一元二次方程的实数根，反之亦然. 2．二次函数的图像与x轴交点的情况和相应一元二次方程根的情况的关系 的取值 二次函数的图像与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 有两个交点 有一个交点 无交点 一元二次方程的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 提醒 抛物线与x轴的交点为和) A、B两点间的距离 .抛物线的对称轴为直线，，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。 例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C. （1）求A、B两点的坐标； （2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值. 解：(1）当y=0时解得 ．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)． (2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点， 解得 ．m的值为0或1． 3．用图像法求解一元二次方程 通过观察抛物线与直线交点情况确定一元二次方程的根的情况. ☆知识点3 借助二次函数的图像求解一元二次方程的近似根 1．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤 （1）画出二次函数的图像. （2）确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间． （3）列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负（或负正）过渡的地方。 当x由取到时，若对应的y值出现或，则中必有一个是方程的近似根， 再比较和.若，则是方程的近似根；若，则是方程的近似根.一般需要我们求近似根的方程的根往往是无理数，所以列表时不可能取到实数根的精确值. 2．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的常用方法 方法 结论 直接作出二次函数的图像 图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根 先将一元二次方程变为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根 先将一元二次方程变形为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根 例2 利用函数图像求一元二次方程的根的近似值．（结果精确到0.1） 解：方法一： 将原方程变形为 画出函数的图像，如图所示. 由图像可知，抛物线与x轴公共点的横坐标分别在-2与-1之间，3与4之间，大约为-1.4,3.4， 即方程的两实数根分别为 方法二：用取平均数的方法不断缩小根所在的范围，从而确定方程的根的近似值. 将原方程可变形为 如：由的图像可知，当x=3时,y>0；当x=4时,y<0. 取3和4的平均数3.5．当x=3.5时,y=-0.25，与x=3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25．当x=3.25时，y=0.9375,，与x=3.5时的函数值异号. 所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375．当x=3.375时,y=0.359375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间． 由此方法可得到原方程的一个根的近似值为3.4． 用同样的方法可得到原方程的另一个根的近似值为-1.4． 所以方程的实数根为 总结 用图像法求一元二次方程根的近似值 1．直接求解法：画出函数和y=-8的图像，它们公共点的横坐标的近似值即该方程根的近似值. 2．间接求解法：将方程适当整理为，可以像方法一那样画函数 的图像，图像与x轴公共点的横坐标的近似值即一元二次方程根的近似值；也可以像方法二那样通过画出图像并用取平均数的方法不断缩小横坐标的取值范围，进而算出方程根的近似值. ☆知识点4 二次函数与一元二次不等式之间的关系（拓展） 抛物线在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式的解集；抛物线在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式的解集。 二次函数与不等式及的关系如下表： 的 取值 抛物线 不等式的解集 或 全体实数 不等式的解集 无解 无解 学科网（北京）股份有限公司 的 取值 抛物线 不等式 的解集 无解 无解 不等式 的解集 或 全体实数 例3 已知二次函数 （1）当x取什么值时y=0？ （2）当x取什么值时，y>0？ （3）当x取什么值时,y<0？ 解析：先画出二次函数的图像，找出图像与x轴的交点，再根据交点横坐标及二次函数图像写出x的取值或取值范围. 解：如图，画出二次函数的图像. 根据图像可知： （1）当x=1或x=3时,y=0 （2）当x<1或x>3时,y>0; （3）当1<x<3时,y<0. 点拨：利用二次函数图像解一元二次不等式，关键是画出二次函数图像的示意图［常用“五点”法，如此题可选择（1,0）、（3,0）、（2,-1）、（0,3）、（4,3）五点］，确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标. 📊 知识总结表 类别 表达式 关键信息 与方程的关系 一般式 轴交点 (0,)，对称轴 令 得一元二次方程 顶点式 顶点 ，对称轴 最值即 ，方程解与 有关 交点式 与 轴交点 ， 直接给出方程的两个根 判别式 Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点 判断方程根的情况 韦达定理 ， 用于求对称轴、两根之和/积 已知根求系数或对称轴 图象法求根 二分法逼近 零点存在性定理 求近似根，精度可控 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】二次函数的三种形式 （第1—10题） 📌 方法总结： · 配方法：将一般式化为顶点式，关键是提取二次项系数后配方。 · 因式分解法：若 Δ ≥ 0，可分解为交点式，直接读出 x 轴交点。 · 根据题目条件选择最简形式：已知顶点用顶点式，已知交点用交点式。 · 注意：顶点式可直接读出顶点、对称轴和最值；交点式可直接读出方程的两个根。 1．（2025秋•广东校级月考）已知抛物线y＝x2﹣4x+3，求该抛物线的顶点． 2．（2024秋•合肥月考）将二次函数y＝（x﹣2）2﹣3x（x+1）化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 3．（2024秋•威海期末）已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）将函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式　 　 ； （2）补全表格，用描点法画出该函数的图象： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … … （3）①当y＞0时，x的取值范围　 　 ； ②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围　 　 ； ③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有实根，则m最大值是　 　 ． 4．（2024秋•潍坊期末）（1）用配方法解一元二次方程：2x2+4x﹣1＝0； （2）将二次函数y＝2x2+4x﹣1化为顶点式． 5．（2025秋•稷山县校级期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 6．（2025秋•蓟州区校级月考）把y＝（2﹣3x）（6+x）变成一般式，二次项系数为　 　 ，一次项系数为　 　 ，常数项为　 　 ． 7．（2024秋•蓬江区校级月考）将二次函数y＝x2﹣6x+1用配方法化成顶点式为 　 　 ． 8．（1）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是　 　 ． （2）抛物线y＝2x2+4mx+m的对称轴为直线x＝2，则抛物线的顶点坐标为　 　 ． 9．（2024秋•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上两点． （1）将y＝x2﹣2mx+m2﹣4写成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）若m＝0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 10．（2025秋•盐城期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 【考点2】抛物线与 x 轴交点 （第11—27题） 📌 方法总结： · 利用判别式判断交点个数，进而确定方程根的个数。 · 利用韦达定理求两根之和、积，用于求对称轴、参数范围等。 · 图象法：根据图象直接读出交点横坐标（近似值），或判断根的范围。 · 对称性：抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，可求对称轴或其中一个交点坐标。 11．（2024秋•建水县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点D，E为顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）在图中作出该函数的图象并回答： ①该抛物线的对称轴为直线　 　 ； ②当x　 　 时，y随x的增大而减小； 当x　 　 时，y随x的增大而增大； 当x　 　 时，抛物线的最大值为　 　 ． 12．（2026•乾县模拟）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 3 … y … 19 9 3 9 … 下列关于该二次函数的结论正确的是（　　） A．y有最小值3 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象的顶点在第一象限 D．函数图象与x轴只有1个交点 13．（2025•原州区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 14．（2025•登封市一模）在平面直角坐标系中，若将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是 　 　 ． 15．（2026春•濮阳校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，△ABQ中，∠BAQ＝90°，线段PQ把图形AQBP（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 　 　 ． 16．（2026•贵州）一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，把a，m，0，1这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：　 　 ． 17．（2024秋•吉林期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是　 　 ． 18．（2025秋•舟山期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的图象与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一动点，且满足∠PBC＝45°﹣∠ACO，则点P横坐标是　 　 ． 19．（2026•工业园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于点C、D，与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B．若AB+CD＝6，则四边形ABCD的面积为 　 　 ． 20．（2026•石门县校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，①3a+c＞0②a﹣b+c＞0③abc＜0④b+2a＝0⑤b2﹣4ac＞0⑥ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3，其中正确的序号有　 　 ． 21．（2025秋•昌邑区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如下表所示： x 6.15 6.18 6.21 6.24 y 0.02 ﹣0.01 0.02 0.11 则方程ax2+bx+c＝0有　 　 个根（填“0”，“1”或“2”）． 22．（2026•乌鲁木齐模拟）已知二次函数（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，求m的值； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，直接写出p的值． 23．（2026•德城区一模）已知抛物线y＝x2﹣ax+3（a为常数）经过点（3，0）． （1）求抛物线的对称轴． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜2＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+3（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为9，求n﹣m的最大值． 24．（2026•宁波模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0，b为常数）经过点（﹣1，﹣4），当x＝﹣2时，函数值为p，当x＝1时，函数值为q，p+q＝﹣7． （1）求函数表达式． （2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值． （3）有一条直线l1：y＝2x+t，向下平移9个单位长度得到直线l2．设m＜2＜n，抛物线的一段y＝ax2+bx+1（m≤x≤n）夹在两条直线l1，l2之间，求n﹣m的最大值． 25．（2025秋•郑州期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣1）2+c与x轴的交点为A（﹣2，0），B，与y轴交于点（0，﹣1）． （1）求抛物线的解析式； （2）横、纵坐标都是整数的点为整点． ①直接写出线段AB上整点的个数及坐标； ②将抛物线y＝a（x﹣1）2+c沿x轴翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段AB所围成的区域内（包含边界）整点的个数． 26．（2024秋•康县期末）如图，已知抛物线的方程y（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于B，C两点，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P（2，2）． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接BE，EC，求△BCE的面积； （3）在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小，求出点H的坐标． 27．（2025秋•播州区月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … （1）请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； （2）请写顶点坐标：　 　 ，a＝　 　 ； （3）当﹣x2+bx+c＝4时，写出方程﹣x2+bx+c＝4的解． 【考点3】图象法求一元二次方程的近似根 （第28—36题） 📌 方法总结： · 核心原理：连续函数在异号区间内必有零点。 · 操作步骤：①画函数图象或利用表格找出异号区间；②取中点并计算函数值；③缩小区间直至达到精度。 · 精度控制：每次缩小区间一半，区间长度即为最大误差。 · 注意：图象法只能得到近似解，但可任意控制精度。 28．（2025•朝阳区校级二模）表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中部分x和y的值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是　 　 （两相邻整数之间）． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 … 29．（2025秋•邳州市期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将其化成顶点式　 　 ，顶点坐标是　 　 ； （2）选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象； （3）结合该二次函数图象，直接写出方程x2﹣4x+3＝0的根　 　 ； （4）若该抛物线上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞2，则y1与y2的大小关系为　 　 ． x … … y … … 30．（2024秋•鄞州区校级月考）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1•y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解． 例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察如图，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6． 【任务】（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是　 　 ．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想 （2）先完成如表，并判断：方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间． x的值 ﹣2 ﹣1 0 3x2﹣x﹣1的值 （3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况． 31．（2025秋•郊区期中）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务． 探究利用函数图象解一元二次方程 我们知道，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，在求抛物线与x轴的交点坐标时，令ax2+bx+c＝0（a≠0），得到对应的一元二次方程． 当方程有两个不相等的实数根时，对应的抛物线与x轴会有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，对应的抛物线与x轴只有一个交点；当方程没有实数根时，对应的抛物线与x轴没有交点． 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，对应的就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的位置关系．若ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，则实数根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标． 反之，我们可以利用二次函数的图象与x轴的交点坐标，求其对应的一元二次方程的根． 我还发现，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根可以看作一条抛物线与一条直线交点的横坐标，如一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根可以看作抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点的横坐标． 理由如下： 如图，画出抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x． 由图象可知，抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点坐标分别为（﹣1，﹣2），（3，6）． … 任务： （1）上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是　 　 ．（从下面选项中选出两个即可） A．分类讨论思想 B．统计思想 C．数形结合思想 D．转化思想 （2）请补全小宣的推理过程． （3）一元二次方程2x2+x＝3的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是　 　 ，直线对应的函数解析式是　 　 ． 32．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 33．（2023秋•福田区校级同步）已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的部分对应值如表： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 5.6 3.1 1.5 ﹣0.9 ﹣1.8 若其图象的对称轴为直线x＝﹣2，则ax2+bx+c＝0的较小的根的取值范围是（　　） A．0.12＜x＜0.13 B．﹣0.13＜x＜﹣0.12 C．﹣4.13＜x＜﹣4.12 D．﹣3.89x＜﹣3.88 34．（2025春•李沧区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y＝ax2+bx+3 … ﹣5 0 3 3 0 … 下列结论：①点B的坐标是（2，3）；②这个函数的最大值大于4；③ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间；④当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时，y1＞y2.其中正确的为（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 35．（2025秋•山阳县期中）已知二次函数y＝x2+5x﹣3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围是　 　 ． x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 36．（2024秋•城关区校级期末）二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象如图所示，若方程2x2+4x﹣1＝0的一个近似根是x＝﹣2.2，则方程的另一个近似根为 　 　 ．（结果精确到0.1） 【考点4】创新及压轴题 （第37—39题） 📌 方法总结： · 含参讨论：根据判别式、顶点位置、对称轴等分类讨论参数取值范围。 · 新定义问题：如"孪生抛物线"等，转化为方程或不等式求解。 · 图象变换与组合：折叠后新函数图象的最值问题，注意对称性和分段函数。 · 综合策略：①求出基础函数解析式；②利用数形结合分析临界状态；③列出方程或不等式求解参数。 37．（2025•宜春模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax（x﹣2）+c（a为常数，且a＞0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）当﹣2＜x＜﹣1时，抛物线在x轴上方，当2＜x＜3时，抛物线在x轴下方，求a，c满足的关系式； （3）已知该二次函数图象上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若对于m﹣1＜x1＜m，m＜x2＜m+1，总有y1＜y2，求m的取值范围． 38．在如图所示的平面直角坐标系中，画出抛物线y＝x2﹣4x﹣6． （1）结合图象可知，当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是　 　 ； （2）结合图象及所学习的知识，估算方程x2﹣4x﹣6＝0的根为　 　 （精确到0.1）． 39．（2026•蚌埠三模）如图1，抛物线C1和C2的解析式分别为和，将抛物线C2向右平移2个单位长度得到抛物线C3． （1）求抛物线C3的解析式； （2）如图2，点A为抛物线C2的顶点，点M在抛物线C3上，且在x轴上方，过点A和M作x轴的垂线，与抛物线C1分别交于点B和N，求四边形ABNM面积的最大值； （3）已知结论：如果两个平面图形的宽度相同，被任意同一条竖线截得的线段都相等，则它们的面积相等．例如，如图3阴影部分图形，与梯形C′D′E′F′宽度相同，且它与梯形C′D′E′F′被任意一条竖直直线截得的线段PQ与P′Q′长度相等，所以阴影部分图形的面积等于梯形C′D′E′F′的面积．请根据以上信息求抛物线C1、C2和C3在第一象限围成图形（即图1的阴影部分）的面积． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•邹城市一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+3（t为任意实数）时，二次函数y＝ax2+bx+3有最大值为3，求t的值． 【练习2】（2026•双城区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣6x+k（k为常数）与x轴的一个交点是（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为　 　 ． 【练习3】（2024•济宁）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 　 　 ． 【练习4】（2023秋•海安市期中）一元二次方程ax2+bx+c＝0可以写成a（x+2）（x﹣5）＝0的形式，则二次函数y＝a（x﹣1）2+bx+c﹣b的对称轴是直线x＝　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 三种表达式互化：掌握配方法（一般式→顶点式）和因式分解法（一般式→交点式）。 判别式与交点个数：牢记 Δ > 0、Δ = 0、Δ < 0 分别对应两个、一个、零个交点。 韦达定理应用：熟练运用两根之和与积求对称轴、参数范围及与坐标轴交点距离。 图象法求近似根：理解零点存在性定理，掌握二分法逼近的步骤。 数形结合思想：通过函数图象直观理解方程的解，是解决综合题的关键。 【作业1】（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【作业2】（2025秋•天山区校级期末）对于二次函数y＝（x﹣4）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标是（4，2） D．与x轴有两个交点 【作业3】（2026•西城区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … 0 ﹣1.5 ﹣2 0 … 根据表格中的信息，得到了如下的结论： ①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式； ②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2； ④若y＞0，则x＞3； 其中所有正确的结论为（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【作业4】（2026•西安模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+m（m＞0）的图象与x轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的对称轴在y轴的左侧 B．0＜m＜1 C．图象的顶点在第四象限 D．图象与x轴的两个交点在y轴两侧 【作业5】（2025•青山区校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a是常数）上．以下四个结论： ①抛物线一定经过点（0，1）； ②抛物线的对称轴是直线x＝1； ③若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2； ④关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业6】（2026•遵义一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，下列说法错误的是（　　） x … ﹣1 1 3 5 7 … y＝ax2+bx+c … 0 6 m n 0 … A．该二次函数图象的对称轴是直线x＝3 B．当x＞4时，y随x的增大而减小 C．当﹣1≤x＜5时，y的取值范围为0≤y≤8 D．方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0有两个相等的实数根 【作业7】（2026春•长安区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积＝　 　 ． 【作业8】（2026•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 　 　 ． 【作业9】（2025•巴中自主招生）新定义：我们把抛物线y＝﹣ax2﹣bx+c，（其中a≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c称为“孪生抛物线”．例如：抛物线y＝﹣x2﹣5x+3的“孪生抛物线”为y＝x2+5x+3．已知抛物线（a为常数，且a＜0）的“孪生抛物线”为C2.抛物线C2的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则抛物线C1的表达式为 　 　 ． 【作业10】（2026春•市南区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＝0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④5a+2c＞0；⑤若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上两点，则当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＞y2其中正确的是　 　 ． 【作业11】（2026春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣1 1 3 … y … 4 ﹣4 ﹣4 … 则关于x的方程ax2+bx+c＝4的解为　 　 ． 【作业12】（2022秋•顺义区校级期中）已知：二次函数y＝mx2﹣（3m+2）x+2m+2． （1）证明图象与x轴必有交点； （2）若当m＞0时，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），A在B的左侧，若W是m的函数，且W＝x2﹣2x1，求这个函数解析式． 【作业13】（2024秋•榆阳区期末）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣2，求证：无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． 【作业14】（2026•临沂二模）二次函数y＝﹣x2+（k+1）x+k2﹣2k+4的图象与y轴的交点为A． （1）若点A的坐标为（0，3），求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若B（t﹣1，y1）、C（2t，y2）在函数图象上，总有y1＜y2，求t的取值范围； （3）判断二次函数y＝﹣x2+（k+1）x+k2﹣2k+4的图象与x轴正半轴是否一定有交点？ 【作业15】（2023秋•江油市期中）（1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，求： ①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标． ②抛物线的顶点坐标． ③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？ （2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． ①求实数k的取值范围． ②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【作业16】（2026•茌平区二模）已知二次函数y＝x2﹣（m+n）x+mn，其中m、n为两个不相等的实数． （1）当m＝1，n＝3时，求该函数图象的对称轴； （2）求证：该二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点； （3）若函数在x≤2时，y随x的增大而减小，且满足m＝2n﹣1，求n的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 二次函数与一元二次方程 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化，能根据条件灵活选择合适的形式。 · 掌握二次函数与一元二次方程的关系，能利用判别式判断抛物线与 x 轴的交点个数，并利用交点坐标解决相关问题。 · 理解图象法求一元二次方程近似根的原理（零点存在性定理），能利用二分法思想逐步逼近精确解。 · 熟练运用二次函数的对称性、顶点坐标、交点坐标等解决综合问题（含参讨论、新定义等）。 · 体会数形结合、分类讨论、方程与函数相互转化的数学思想。 ✨ 核心思想：函数与方程紧密联系，通过图象直观理解方程的解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1 确定二次函数的表达式 1．二次函数表达式的三种形式 （1）一般式：为常数，且a≠0) （2）顶点式：为常数，且a≠0)·, （3）交点式：是抛物线与x轴的交点的横坐标）. 求二次函数表达式的方法：待定系数法. 2．三点式求法 如图1，已知二次函数图像上三个点的坐标，可设二次函数表达式为 (a≠0)，其中a、b、c是待定系数.由图像上三点的坐标，得到关于a、b、c的三元一次方程组，并通过求解方程组得到a、b、c的值. ( 图 1 图2 图3 ) 3．顶点式求法 如图2，已知二次函数图像的顶点坐标（或对称轴、最值），可设二次函数表达式为.此情况下，通常需要补充适当的条件，得到关于待定系数的方程（组），以此确定未知系数的值. 4．交点式求法 （1）如图3，已知抛物线与x轴的两个交点坐标及经过一点，可设二次函数表达式为，再列方程求解确定a的值； （2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标、对称轴及另一个点，选利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设二次函数表达式为，最后列方程求解确定a的值. ☆知识点2 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数的图像与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程根的关系 二次函数的图像与x轴（直线y=0)交点的横坐标是相应的一元二方程的实数根，反之亦然. 提醒 二次函数的图像与直线y=m的交点的横坐标就是一元二次方程的实数根，反之亦然. 2．二次函数的图像与x轴交点的情况和相应一元二次方程根的情况的关系 的取值 二次函数的图像与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 有两个交点 有一个交点 无交点 一元二次方程的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 提醒 抛物线与x轴的交点为和) A、B两点间的距离 .抛物线的对称轴为直线，，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。 例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C. （1）求A、B两点的坐标； （2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值. 解：(1）当y=0时解得 ．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)． (2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点， 解得 ．m的值为0或1． 3．用图像法求解一元二次方程 通过观察抛物线与直线交点情况确定一元二次方程的根的情况. ☆知识点3 借助二次函数的图像求解一元二次方程的近似根 1．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤 （1）画出二次函数的图像. （2）确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间． （3）列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负（或负正）过渡的地方。 当x由取到时，若对应的y值出现或，则中必有一个是方程的近似根， 再比较和.若，则是方程的近似根；若，则是方程的近似根.一般需要我们求近似根的方程的根往往是无理数，所以列表时不可能取到实数根的精确值. 2．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的常用方法 方法 结论 直接作出二次函数的图像 图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根 先将一元二次方程变为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根 先将一元二次方程变形为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根 例2 利用函数图像求一元二次方程的根的近似值．（结果精确到0.1） 解：方法一： 将原方程变形为 画出函数的图像，如图所示. 由图像可知，抛物线与x轴公共点的横坐标分别在-2与-1之间，3与4之间，大约为-1.4,3.4， 即方程的两实数根分别为 方法二：用取平均数的方法不断缩小根所在的范围，从而确定方程的根的近似值. 将原方程可变形为 如：由的图像可知，当x=3时,y>0；当x=4时,y<0. 取3和4的平均数3.5．当x=3.5时,y=-0.25，与x=3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25．当x=3.25时，y=0.9375,，与x=3.5时的函数值异号. 所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375．当x=3.375时,y=0.359375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间． 由此方法可得到原方程的一个根的近似值为3.4． 用同样的方法可得到原方程的另一个根的近似值为-1.4． 所以方程的实数根为 总结 用图像法求一元二次方程根的近似值 1．直接求解法：画出函数和y=-8的图像，它们公共点的横坐标的近似值即该方程根的近似值. 2．间接求解法：将方程适当整理为，可以像方法一那样画函数 的图像，图像与x轴公共点的横坐标的近似值即一元二次方程根的近似值；也可以像方法二那样通过画出图像并用取平均数的方法不断缩小横坐标的取值范围，进而算出方程根的近似值. ☆知识点4 二次函数与一元二次不等式之间的关系（拓展） 抛物线在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式的解集；抛物线在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式的解集。 二次函数与不等式及的关系如下表： 的 取值 抛物线 不等式的解集 或 全体实数 不等式的解集 无解 无解 学科网（北京）股份有限公司 的 取值 抛物线 不等式 的解集 无解 无解 不等式 的解集 或 全体实数 例3 已知二次函数 （1）当x取什么值时y=0？ （2）当x取什么值时，y>0？ （3）当x取什么值时,y<0？ 解析：先画出二次函数的图像，找出图像与x轴的交点，再根据交点横坐标及二次函数图像写出x的取值或取值范围. 解：如图，画出二次函数的图像. 根据图像可知： （1）当x=1或x=3时,y=0 （2）当x<1或x>3时,y>0; （3）当1<x<3时,y<0. 点拨：利用二次函数图像解一元二次不等式，关键是画出二次函数图像的示意图［常用“五点”法，如此题可选择（1,0）、（3,0）、（2,-1）、（0,3）、（4,3）五点］，确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标. 📊 知识总结表 类别 表达式 关键信息 与方程的关系 一般式 轴交点 (0,)，对称轴 令 得一元二次方程 顶点式 顶点 ，对称轴 最值即 ，方程解与 有关 交点式 与 轴交点 ， 直接给出方程的两个根 判别式 Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点 判断方程根的情况 韦达定理 ， 用于求对称轴、两根之和/积 已知根求系数或对称轴 图象法求根 二分法逼近 零点存在性定理 求近似根，精度可控 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】二次函数的三种形式 （第1—10题） 📌 方法总结： · 配方法：将一般式化为顶点式，关键是提取二次项系数后配方。 · 因式分解法：若 Δ ≥ 0，可分解为交点式，直接读出 x 轴交点。 · 根据题目条件选择最简形式：已知顶点用顶点式，已知交点用交点式。 · 注意：顶点式可直接读出顶点、对称轴和最值；交点式可直接读出方程的两个根。 1．（2025秋•广东校级月考）已知抛物线y＝x2﹣4x+3，求该抛物线的顶点． 【分析】把抛物线y＝x2﹣4x+3的解析式整理成顶点坐标式，可得：y＝（x﹣2）2﹣1，根据顶点坐标式解析式即可得出抛物线的顶点坐标． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标是（2，﹣1） 【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的三种形式，熟知以上知识是解题的关键． 2．（2024秋•合肥月考）将二次函数y＝（x﹣2）2﹣3x（x+1）化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【分析】把y＝（x﹣2）2﹣3x（x+1）化为一般形式，即可得到答案． 【解答】解：y＝（x﹣2）2﹣3x（x+1）＝x2﹣4x+4﹣3x2﹣3x＝﹣2x2﹣7x+4； 其中二次项系数是﹣2、一次项系数是﹣7、常数项是4． 【点评】此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 3．（2024秋•威海期末）已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）将函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式y＝﹣（x﹣1）2+4　 ； （2）补全表格，用描点法画出该函数的图象： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … … （3）①当y＞0时，x的取值范围　﹣1＜x＜3　 ； ②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围　0＜y≤4　 ； ③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有实根，则m最大值是　4　 ． 【分析】（1）利用配方法把一般式配成顶点式； （2）分别计算自变量为﹣1、0、1、2、3时对应的函数值，然后利用描点法画出函数图象； （3）①写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可； ②分别确定自变量为﹣1和2对应的值，然后根据x＝1时函数有最大值求解； ③利用抛物线y＝﹣x2+2x+3与直线y＝m有交点时，方程方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有实根，从而得到m≤4． 【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0； 当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3； 当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4； 当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3； 当x＝3时，y＝﹣x2+2x+3＝0； 故答案为：0，3，4，3，0； 如图， （3）①当y＞0，x的取值范围为﹣1＜x＜3； 故答案为： ②当x＝﹣1时，y＝0； 当x＝2时，y＝3， 当x＝1时，y有最大值4， 当﹣1＜x＜2时，y的取值范围为0＜y≤4； 故答案为：0＜y≤4； ③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3变形为方程﹣x2+2x+3＝m， 当抛物线y＝﹣x2+2x+3与直线y＝m有交点时，方程方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有实根， 而抛物线的顶点的纵坐标为4， 所以m≤4， 即m的最大值为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 4．（2024秋•潍坊期末）（1）用配方法解一元二次方程：2x2+4x﹣1＝0； （2）将二次函数y＝2x2+4x﹣1化为顶点式． 【分析】（1）由配方法进行解方程，即可得到答案； （2）根据配方法的步骤可得． 【解答】解：（1）2x2+4x﹣1＝0， 2x2+4x＝1， x2+2x+1，即（x+1）2， ∴x+1， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣1； （2）y＝2x2+4x﹣1 ＝2（x2+2x）﹣1 ＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1 ＝2（x+1）2﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，正确的进行解题． 5．（2025秋•稷山县校级期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+6 ＝2（x2﹣2x+1）+4 ＝2（x﹣1）2+4， 即y＝2（x﹣1）2+4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，主要利用了配方法． 6．（2025秋•蓟州区校级月考）把y＝（2﹣3x）（6+x）变成一般式，二次项系数为　﹣3　 ，一次项系数为　﹣16　 ，常数项为　12　 ． 【分析】根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【解答】解：由题意得，∵y＝（2﹣3x）（6+x）， ∴y＝﹣3x2﹣16x+12， ∴二次函数的二次项系数：﹣3，一次项系数：﹣16，常数项：12． 故答案为：﹣3；﹣16；12． 【点评】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键． 7．（2024秋•蓬江区校级月考）将二次函数y＝x2﹣6x+1用配方法化成顶点式为 y＝（x﹣3）2﹣8　 ． 【分析】根据题意，用配方法将所给二次函数解析式化为顶点式即可． 【解答】解：由题知， y＝x2﹣6x+1＝x2﹣6x+9﹣8＝（x﹣3）2﹣8， 即顶点式为y＝（x﹣3）2﹣8． 故答案为：y＝（x﹣3）2﹣8． 【点评】本题主要考查了二次函数的三种形式，熟知配方法是解题的关键． 8．（1）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是　　 ． （2）抛物线y＝2x2+4mx+m的对称轴为直线x＝2，则抛物线的顶点坐标为　（2，﹣10）　 ． 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，再根据函数的性质求最值； （2）先根据对称轴求出m的值，再求出顶点坐标． 【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x2+3x）+4＝﹣（x）2， ∵﹣1＜0，顶点坐标为（，）， ∴抛物线开口向下，最大值为， 故答案为：； （2）∵抛物线y＝2x2+4mx+m的对称轴为直线x＝2， ∴x2， 解得m＝﹣2， ∴y＝2x2+4mx+m＝2x2﹣8x﹣2＝2（x2﹣4x）﹣2＝2（x﹣2）2﹣10， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣10）， 故答案为：（2，﹣10）． 【点评】本题考查二次函数的性质和二次函数的最值，关键是掌握二次函数的性质． 9．（2024秋•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上两点． （1）将y＝x2﹣2mx+m2﹣4写成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）若m＝0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 【分析】（1）利用配方法进行变形即可求解； （2）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，将点A、B的坐标代入求出y1＝﹣3，y2＝5，问题得解． 【解答】解：（1）由配方法可得：y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4； （2）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4， 解得：y1＝﹣3，y2＝5， ∴y1＜y2． 【点评】本题考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式、函数值的比较等知识．解题的关键是了解二次函数的三种形式，难度不大． 10．（2025秋•盐城期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，把x＝1，y＝5代入二次函数解析式，计算即可； （2）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）， 则12﹣6×1+m＝5， 解得：m＝10； （2）y＝x2﹣6x+10 ＝x2﹣6x+9+1 ＝（x﹣3）2+1． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 【考点2】抛物线与 x 轴交点 （第11—27题） 📌 方法总结： · 利用判别式判断交点个数，进而确定方程根的个数。 · 利用韦达定理求两根之和、积，用于求对称轴、参数范围等。 · 图象法：根据图象直接读出交点横坐标（近似值），或判断根的范围。 · 对称性：抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，可求对称轴或其中一个交点坐标。 11．（2024秋•建水县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点D，E为顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）在图中作出该函数的图象并回答： ①该抛物线的对称轴为直线x＝1　 ； ②当x　＞1　 时，y随x的增大而减小； 当x　＜1　 时，y随x的增大而增大； 当x　＝1　 时，抛物线的最大值为　4　 ． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）根据描点法作出该函数的图象，结合图象可得答案． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点C（0，3）代入，得﹣3a＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3． （2）作出该函数的图象如图所示： ①该抛物线的对称轴为直线x＝1； 故答案为：x＝1． ②当x＞1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大； 当x＝1时，抛物线的最大值为4． 故答案为：＞1；＜1；＝1；4． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（2026•乾县模拟）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 3 … y … 19 9 3 9 … 下列关于该二次函数的结论正确的是（　　） A．y有最小值3 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象的顶点在第一象限 D．函数图象与x轴只有1个交点 【分析】先利用表格中的点坐标求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【解答】解：由表格可知，当x＝﹣1时y＝9，x＝0时y＝3，x＝3时y＝9代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得， ， 解得， ∴二次函数解析式为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴该二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）， ∴函数有最小值为1，故选项A错误； ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项B错误； ∵顶点为（1，1）， ∴图象的顶点在第一象限，故选项C正确； ∴函数图象与x轴没有交点，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．（2025•原州区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 【分析】依据题意，可得抛物线随x的增大而增大，又当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0，进而在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0，故可得判断得解． 【解答】解：由题意，抛物线随x的增大而增大， 又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0， ∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0． ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19． 故选：B． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 14．（2025•登封市一模）在平面直角坐标系中，若将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是 　2024　 ． 【分析】由题意得，所得新函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣2023），令（x+1）（x﹣2023）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2023，则可得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2023﹣（﹣1）＝2024． 【解答】解：将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，所得新函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣2023）， 令（x+1）（x﹣2023）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2023， ∴所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2023﹣（﹣1）＝2024． 故答案为：2024． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（2026春•濮阳校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，△ABQ中，∠BAQ＝90°，线段PQ把图形AQBP（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 　1　 ． 【分析】依据题意，设PQ交x轴于点C，连接OQ，可得图形QBP的面积＝△BOQ的面积+△POQ的面积+图形POB的面积，图形QAP的面积＝△AOQ的面积+图形POA的面积﹣△POQ的面积，又抛物线y＝﹣x2+1关于y轴对称，从而图形POA的面积＝图形POB的面积，△AOQ的面积＝△BOQ的面积，进而两部分面积之差的绝对值是2S△POQ＝2OP•OA，又抛物线为y＝﹣x2+1，可得AO＝1，PO＝1，进而计算可以得解． 【解答】解：如图所示，设PQ交x轴于点C，连接OQ． 由题意得，图形QBP的面积＝△BOQ的面积+△POQ的面积+图形POB的面积， 图形QAP的面积＝△AOQ的面积+图形POA的面积﹣△POQ的面积， ∵抛物线y＝﹣x2+1关于y轴对称， ∴图形POA的面积＝图形POB的面积，△AOQ的面积＝△BOQ的面积． ∴两部分面积之差的绝对值是2S△POQ＝2OP•OA． ∵抛物线为y＝﹣x2+1， ∴令x＝0，则y＝1，故P（0，1）；令y＝﹣x2+1＝0，则x＝±1，故A（﹣1，0）． ∴AO＝1，PO＝1， ∴两部分面积之差的绝对值是2S△POQ＝2OP•OA＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 16．（2026•贵州）一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，把a，m，0，1这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：　0＜a＜m＜1　 ． 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与x轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【解答】解：一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0， 设，， 则两个函数都经过点（0，1），对称轴分别为和， ∵一元二次方程ax2+2x+1＝0的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0的两根分别是x3，x4， ∴x1，x2为抛物线y1与x轴的交点的横坐标，x3，x4为抛物线y2与x轴的交点的横坐标， ∵x1＜x3＜x4＜x2＜0， ∴抛物线y1与抛物线y2的对称轴均在y轴的左侧， ∴，， ∴a＞0，m＞0， ∴两条抛物线的开口向上， ∵x1＜x3＜x4＜x2＜0， ∴抛物线y1的开口大于抛物线y2的开口， ∴a＜m， ∵两条抛物线与x轴都有两个交点， ∴，， ∴a＜1，m＜1， 综上：0＜a＜m＜1． 故答案为：0＜a＜m＜1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 17．（2024秋•吉林期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4　 ． 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的解，即可解答． 【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝4． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 18．（2025秋•舟山期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的图象与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一动点，且满足∠PBC＝45°﹣∠ACO，则点P横坐标是　或﹣2　 ． 【分析】连接AC，取T（0，﹣1），连接BT交抛物线于P，证明∠OCB＝∠OBC＝45°，△ACO≌△TBO，可得∠ACB＝∠TBC＝45°﹣∠ACO，即∠PBC＝45°﹣∠ACO，求解直线BT为，再进一步解答即可；如图，△BTC关于直线BC对称的△BQC，证明∠TCQ＝90°，可得Q（2，﹣3），同理可得：BQ的解析式为：y＝3x﹣9，记直线与抛物线的交点为P′，再进一步求解即可． 【解答】解：令x＝0，则y＝﹣3， 令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）， 如图，连接AC，取T（0，﹣1），连接BT交抛物线于P， ∵C（0，﹣3），A（1，0），B（3，0）， ∴OA＝OT，OB＝OC，而∠BOC＝90°， ∴△ACO≌△TBO（SAS），∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠ACO＝∠TBO， ∴∠ACB＝∠TBC＝45°﹣∠ACO，即∠PBC＝45°﹣∠ACO， 设直线BT为y＝ex﹣1， ∴3e﹣1＝0， 解得：， ∴直线BT为， 联立得， 解得x＝3（舍去）或； ∵△BTC关于直线BC对称的△BQC， ∴CT＝CQ＝2，∠TCB＝∠QCB＝45°，∠QBC＝∠TBC， ∴∠TCQ＝90°， ∴Q（2，﹣3）， 同理可得：BQ的解析式为y＝3x﹣9，记直线与抛物线的交点为P′， ∴∠P′BC＝45°﹣∠ACO， 联立得﹣x2+4x﹣3＝3x﹣9， 解得x＝3（舍去）或x＝﹣2；， 综上：点P横坐标是或﹣2． 故答案为：或﹣2． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．（2026•工业园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于点C、D，与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B．若AB+CD＝6，则四边形ABCD的面积为 　9　 ． 【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴，从而可得AB长度，由抛物线的对称性可得点D，C的坐标，从而可得m的值，由四边形ABCD的面积为（AB+CD）•OA求解． 【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+m， ∴抛物线对称轴为直线x2， ∴AB＝4， ∵AB+CD＝6， ∴CD＝6﹣4＝2， ∴由抛物线的对称性可得点D坐标为（1，0），点C坐标为（3，0）， 将（1，0）代入y＝﹣x2+4x+m得0＝﹣1+4+m， 解得m＝﹣3， ∴OA＝3， ∴四边形ABCD的面积为（AB+CD）•OA6×3＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，二次函数图象与系数的关系． 20．（2026•石门县校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，①3a+c＞0②a﹣b+c＞0③abc＜0④b+2a＝0⑤b2﹣4ac＞0⑥ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3，其中正确的序号有　③④⑤　 ． 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴解得直线，继而得到a、b的关系式，由抛物线与x轴有2个交点可得b2﹣4ac＞0，根据左侧交点﹣1＜x＜0可判断抛物线大于0的范围，据此解题． 【解答】解：由图象得：抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴直线， ∴b＝﹣2a， ∴b+2a＝0， 故④正确； ∴ab＜0， 令x＝0代入y＝c＞0， ∴abc＜0， 故③正确； 令x＝﹣1代入y＝a﹣b+c＜0， 故②错误； ∵b＝﹣2a， ∴y＝a﹣b+c＝3a+c＜0， 故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 故⑤正确； ∵抛物线与x轴的左交点大于﹣1， ∴ax2+bx+c＞0的解集不在﹣1＜x＜3， 故⑥错误， 综上所述，③④⑤正确， 故答案为：③④⑤． 【点评】本题考查二次函数与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21．（2025秋•昌邑区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如下表所示： x 6.15 6.18 6.21 6.24 y 0.02 ﹣0.01 0.02 0.11 则方程ax2+bx+c＝0有　2　 个根（填“0”，“1”或“2”）． 【分析】首先观察表格里x对应的y值，发现当x在不同区间时，y值从负数变为正数，因为二次函数是连续的，所以在这些区间内必然存在使y＝0的x值．又因为二次函数的图象是抛物线，最多有两个不同的x值能让y＝0，所以可以得出方程ax2+bx+c＝0有2个根． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如下表所示： 由表格可知，当x＝6.15时，y＝0.02； 当x＝6.18时，y＝﹣0.01，y从正数变为负数． 当x＝6.18时y＝﹣0.01， 当x＝6.21时y＝0.02，y从负数变正数． 由于二次函数图象是抛物线，最多有两个不同的x值使y＝0， 所以方程ax2+bx+c＝0有2个根． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、方程与函数的关系；用到的思想是函数与方程思想；方法是利用二次函数的连续性判断函数值的正负变化来确定方程根的个数；解题关键是根据表格中函数值的正负变化，结合二次函数图象是抛物线（最多有两个不同的x值使y＝0来判断；易错点是忽略二次函数的连续性以及抛物线的特征，错误判断根的个数． 22．（2026•乌鲁木齐模拟）已知二次函数（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，求m的值； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，直接写出p的值． 【分析】（1）将（2，﹣1）代入计算即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）求出对称轴，再根据二次函数的对称性作答即可． 【解答】（1）解：∵点（2，﹣1）在该函数图象上， ∴， 解得：m＝1； （2）证明：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）解：二次函数的对称轴为直线， ∵该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2， ∴， 解得：p＝﹣1． ∴若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，则p＝﹣1． 【点评】本题考查二次函数与抛物线的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（2026•德城区一模）已知抛物线y＝x2﹣ax+3（a为常数）经过点（3，0）． （1）求抛物线的对称轴． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜2＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+3（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为9，求n﹣m的最大值． 【分析】（1）先求得抛物线的解析式，然后利用二次函数的性质求对称轴即可； （2）由题意可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到xC＝2xB，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出t的值即可； （3）先求出新函数的顶点坐标为（2，﹣1），当一条直线恰好经过抛物线的顶点（2，﹣1），即：y＝﹣1时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝9﹣1＝8；再画出图形，并根据图形求解即可． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2﹣ax+3（a为常数）经过点（3，0）． 把（3，0）代入y＝x2﹣ax+3，得：9﹣3a+3＝0， 解得：a＝4； ∴y＝x2﹣4x+3， ∴对称轴为直线． （2）由（1）知：抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3， 由题意可得： ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xC＝2xB， ∴， ∴， ∴代入y＝x2﹣4x+3，得：， ∴． （3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标（2，﹣1）， 当抛物线的一段y＝x2﹣4x+3（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为9，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（2，﹣1），即：y＝﹣1时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝9﹣1＝8，如图： ∴当x2﹣4x+3＝8时，解得：x1＝5，x2＝﹣1，即：n＝5，m＝﹣1 ∴n﹣m的最大值为：5﹣（﹣1）＝6． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 24．（2026•宁波模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0，b为常数）经过点（﹣1，﹣4），当x＝﹣2时，函数值为p，当x＝1时，函数值为q，p+q＝﹣7． （1）求函数表达式． （2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值． （3）有一条直线l1：y＝2x+t，向下平移9个单位长度得到直线l2．设m＜2＜n，抛物线的一段y＝ax2+bx+1（m≤x≤n）夹在两条直线l1，l2之间，求n﹣m的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解； （2）设B（m，t），可得C（2m，t），再根据二次函数的对称性可得，即得，进而代入到函数解析式解答即可求解； （3）由直线l1与抛物线相切时得t＝2，即得此时直线l1：y＝2x+2，得到直线l2：y＝2x﹣7，再由2x﹣7＝﹣x2+4x+1得x1＝4，x2＝﹣2，即得m＝﹣2，n＝4时n﹣m取最大值，代入计算即可求解； 【解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴y＝﹣x2+4x+1； （2）设B（m，t）， ∵点B恰为线段AC中点， ∴C（2m，t）， ∵抛物线y＝﹣x2+4x+1， ∴对称轴为直线x＝2， ∵点B、C关于对称轴对称， ∴， 解得， 当时，， ∴t的值为； （3）有一条直线l1：y＝2x+t，向下平移9个单位长度得到直线l2．设m＜2＜n，抛物线的一段y＝ax2+bx+1（m≤x≤n）夹在两条直线l1，l2之间， 当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，n﹣m的值最大，如图， ∴2x+t＝﹣x2+4x+1， 即x2﹣2x+t﹣1＝0， 由b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（t﹣1）＝0，解得t＝2， ∴此时直线l1：y＝2x+2， ∵直线l1：y＝2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2， ∴直线l2：y＝2x﹣7 由2x﹣7＝﹣x2+4x+1，解得x1＝4，x2＝﹣2， ∵m＜2＜n， ∴当m＝﹣2，n＝4时， ∴n﹣m的最大值＝4﹣（﹣2）＝6． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 25．（2025秋•郑州期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣1）2+c与x轴的交点为A（﹣2，0），B，与y轴交于点（0，﹣1）． （1）求抛物线的解析式； （2）横、纵坐标都是整数的点为整点． ①直接写出线段AB上整点的个数及坐标； ②将抛物线y＝a（x﹣1）2+c沿x轴翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段AB所围成的区域内（包含边界）整点的个数． 【分析】（1）将点A（﹣2，0），（0，﹣1）代入抛物线y＝a（x﹣1）2+c中求解，即可解题； （2）①根据（1）中解析式求出B点坐标，作出抛物线的函数图象，结合图象即可得到线段AB上都整点个数，以及整点的坐标； ②根据题意得到翻折后的抛物线的解析式，结合二次函数的图象与性质，即可求得新抛物线在x轴上方的部分与线段AB所围成的区域内（包含边界）整点的个数． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣1）2+c与x轴的交点为A（﹣2，0），B，与y轴交于点（0，﹣1）， 将点A（﹣2，0），（0，﹣1）代入抛物线y＝a（x﹣1）2+c中， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）①由（1）可得，抛物线的解析式为， 令 ， 解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴点B的坐标为（4，0），作出抛物线如图，由图可知，线段AB上有7个整点． 线段AB上整点的坐标为（﹣2，0），（﹣1，0），（0，0），（1，0），（2，0），（3，0），（4，0）； ②将抛物线沿x轴翻折，得到新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 当时，解得x1＝2，x2＝0， ∴新抛物线在x轴上方的部分与线段AB所围成的区域内（包含边界）整点的个数为10个． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数的图象与性质，轴对称性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 26．（2024秋•康县期末）如图，已知抛物线的方程y（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于B，C两点，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P（2，2）． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接BE，EC，求△BCE的面积； （3）在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小，求出点H的坐标． 【分析】（1）将P（2，2）代入y（x+2）（x﹣m），求出m的值，即可得出答案． （2）分别求出点B，C，E的坐标，再结合三角形的面积公式计算即可． （3）连接CE交抛物线的对称轴于点H，则点H即为所求．由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝1．利用待定系数法求出直线CE的解析式，再令x＝1求出y的值，进而可得答案． 【解答】解：（1）将P（2，2）代入y（x+2）（x﹣m）， 得， 解得m＝4， 经检验，m＝4为原方程的解且符合题意， ∴该抛物线的解析式为y． （2）令y＝0，得0， 解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴B（﹣2，0），C（4，0）， ∴BC＝6． 令x＝0，得y＝2， ∴E（0，2）． ∴△BCE的面积为6． （3）连接CE交抛物线的对称轴于点H，连接BH， 此时EH+BH＝EH+CH＝CE，为最小值， 则点H即为所求． 由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝1． 设直线CE的解析式为y＝kx+b， 将C（4，0），E（0，2）代入， 得， 解得， ∴直线CE的解析式为y， 当x＝1时，y， ∴点H的坐标为（1，）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．（2025秋•播州区月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … （1）请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； （2）请写顶点坐标：　（1，4）　 ，a＝　3　 ； （3）当﹣x2+bx+c＝4时，写出方程﹣x2+bx+c＝4的解． 【分析】（1）根据描点、连线，画二次函数图象即可； （2）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （3）根据图象和顶点坐标进行解答即可． 【解答】解：（1）根据描点、连线，画二次函数图象即可，如图，即为所求， （2）∵当x＝﹣1和x＝3时，y＝0， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当x＝1时，y＝4， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵当x＝0和x＝2时，函数值相等， ∴a＝3， 故答案为：（1，4），3； （3）根据图象y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为（1，4），可知二次函数方程﹣x2+bx+c＝4的解为x1＝x2＝1． 【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是关键． 【考点3】图象法求一元二次方程的近似根 （第28—36题） 📌 方法总结： · 核心原理：连续函数在异号区间内必有零点。 · 操作步骤：①画函数图象或利用表格找出异号区间；②取中点并计算函数值；③缩小区间直至达到精度。 · 精度控制：每次缩小区间一半，区间长度即为最大误差。 · 注意：图象法只能得到近似解，但可任意控制精度。 28．（2025•朝阳区校级二模）表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中部分x和y的值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是　﹣3＜x＜﹣2　 （两相邻整数之间）． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 … 【分析】根据函数的性质求解． 【解答】解：∵x＝﹣2和x＝0时，y＝﹣2， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵当x＝1时，y＞0，当x＝0时，y＜0， ∴根据函数的连续性，在0～1之间，存在一个数，使y＝0， 根据抛物线的对称性，在﹣3～﹣2之间，也存在一个数，使y＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是﹣3＜x＜﹣2， 故答案为：﹣3＜x＜﹣2． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的解，理解函数和方程的关系是解题的关键． 29．（2025秋•邳州市期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将其化成顶点式y＝（x﹣2）2﹣1　 ，顶点坐标是　（2，﹣1）　 ； （2）选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象； （3）结合该二次函数图象，直接写出方程x2﹣4x+3＝0的根x＝1或x＝3　 ； （4）若该抛物线上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞2，则y1与y2的大小关系为y1＞y2 ． x … … y … … 【分析】（1）利用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式； （2）根据对称轴为x＝2，可在对称轴两侧取整数点，描点画出图象即可； （3）方程的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标； （4）观察图象即可求解． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3 ＝（x2﹣4x+4﹣4）+3 ＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标是（2，﹣1）， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1，（2，﹣1）； （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … 描点、连线画出函数图象如图： ； （3）∵二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点为（1，0），（3，0）， ∴方程x2﹣4x+3＝0的根为x＝1或x＝3， 故答案为：x＝1或x＝3； （4）观察图象，若该抛物线上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞2，则y1＞y2． 故答案为：y1＞y2． 【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质、利用配方法求对称轴与顶点、利用五点法作图、分类讨论与数形结合的思想方法是解答此题的关键． 30．（2024秋•鄞州区校级月考）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1•y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解． 例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察如图，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6． 【任务】（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是AD ．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想 （2）先完成如表，并判断：方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间． x的值 ﹣2 ﹣1 0 3x2﹣x﹣1的值 （3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况． 【分析】（1）根据题意结合数学思想可得答案； （2）分别把x的值代入3x2﹣x﹣1即可填表，根据表格可得答案； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【解答】解：（1）根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想， 故答案为：AD； （2）填表如下： x的值 ﹣2 ﹣1 0 1 3x2﹣x﹣1的值 13 3 ﹣1 1 根据上表可得﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1； （3）∵y＝ax2+bx+2， ∴当x＝0时，y＝2， 又∵a＜0， ∴方程ax2+bx＝﹣2有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0． 【点评】本题考查了数学思想和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 31．（2025秋•郊区期中）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务． 探究利用函数图象解一元二次方程 我们知道，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，在求抛物线与x轴的交点坐标时，令ax2+bx+c＝0（a≠0），得到对应的一元二次方程． 当方程有两个不相等的实数根时，对应的抛物线与x轴会有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，对应的抛物线与x轴只有一个交点；当方程没有实数根时，对应的抛物线与x轴没有交点． 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，对应的就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的位置关系．若ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，则实数根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标． 反之，我们可以利用二次函数的图象与x轴的交点坐标，求其对应的一元二次方程的根． 我还发现，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根可以看作一条抛物线与一条直线交点的横坐标，如一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根可以看作抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点的横坐标． 理由如下： 如图，画出抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x． 由图象可知，抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点坐标分别为（﹣1，﹣2），（3，6）． … 任务： （1）上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是CD ．（从下面选项中选出两个即可） A．分类讨论思想 B．统计思想 C．数形结合思想 D．转化思想 （2）请补全小宣的推理过程． （3）一元二次方程2x2+x＝3的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是y＝2x2﹣3　 ，直线对应的函数解析式是y＝﹣x ． 【分析】（1）用图象解决问题运用的是数形结合思想，也是一种转化思想； （2）参照笔记中的分析过程可得；（3）理解笔记内容并类似转化可得出答案． 【解答】解：（1）上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是数形结合思想和转化思想． 故答案为：CD； （2）抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点的横坐标为（﹣1，0）（3，0）， ∴一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3． （3）一元二次方程2x2+x＝3的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是y＝2x2﹣3，直线对应的函数解析式是y＝﹣x．还可以有其他的写法，如这条抛物线对应的函数解析式是y＝2x2，直线对应的函数解析式是y＝3﹣x；这条抛物线对应的函数解析式是y＝2x2+x，直线对应的函数解析式是y＝3．故答案不唯一． 故答案为：y＝2x2﹣3，y＝﹣x． 【点评】本题考查了用函数图象解一元二次方程，关键是理解阅读材料中的内容． 32．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.32和0.41，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：由题意可得：当x＝2.26时，y＝﹣0.32，当x＝2.56时，y＝0.41， ∴当y＝0时，2.26＜x＜2.56， ∴选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，正确进行计算是解题关键． 33．（2023秋•福田区校级同步）已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的部分对应值如表： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 5.6 3.1 1.5 ﹣0.9 ﹣1.8 若其图象的对称轴为直线x＝﹣2，则ax2+bx+c＝0的较小的根的取值范围是（　　） A．0.12＜x＜0.13 B．﹣0.13＜x＜﹣0.12 C．﹣4.13＜x＜﹣4.12 D．﹣3.89x＜﹣3.88 【分析】由表格可发现y的值﹣1.5和0.9最接近0，再看对应的x的值即可得． 【解答】解：由表格可以看出， 当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0， 又∵二次函数图象的对称轴为 x＝﹣2， ∴当x取﹣4.13 与﹣4.12之间的某个数时，y＝0． ∴ax2+bx+c＝0的较小的根的取值范围是﹣4.13＜x＜﹣4.12， 故选：C． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 34．（2025春•李沧区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y＝ax2+bx+3 … ﹣5 0 3 3 0 … 下列结论：①点B的坐标是（2，3）；②这个函数的最大值大于4；③ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间；④当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时，y1＞y2.其中正确的为（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解． 【解答】解：将（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+3得， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4）， ∴对称轴为直线x＝1，函数的最大值为4， ∴点B的坐标是（2，3）；故①正确，②错误． 把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得，y＝3， 把x＝3代入y＝﹣x2+4x+2得，y＝0， ∴抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝2交点的横坐标在2与3之间， ∴ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间，故③正确； ∵当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时， ∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离， ∴y1＞y2．故④正确． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 35．（2025秋•山阳县期中）已知二次函数y＝x2+5x﹣3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ． x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【解答】解：方程x2+5x﹣3＝0的解即为函数y＝x2+5x﹣3的零点． 由表格数据可知，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0； 当x＝0.75时，y＝1.31＞0． 由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0， 因此方程的一个解x的取值范围是0.5＜x＜0.75． 故答案为：0.5＜x＜0.75． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 36．（2024秋•城关区校级期末）二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象如图所示，若方程2x2+4x﹣1＝0的一个近似根是x＝﹣2.2，则方程的另一个近似根为 　0.2　 ．（结果精确到0.1） 【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根． 【解答】解：由题意可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣2.2，0）， 又∵抛物线的对称轴为：x1， ∴另一个交点坐标为：（0.2，0）， 则方程的另一个近似根为x＝0.2， 故答案为：0.2． 【点评】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题 （第37—39题） 📌 方法总结： · 含参讨论：根据判别式、顶点位置、对称轴等分类讨论参数取值范围。 · 新定义问题：如"孪生抛物线"等，转化为方程或不等式求解。 · 图象变换与组合：折叠后新函数图象的最值问题，注意对称性和分段函数。 · 综合策略：①求出基础函数解析式；②利用数形结合分析临界状态；③列出方程或不等式求解参数。 37．（2025•宜春模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax（x﹣2）+c（a为常数，且a＞0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）当﹣2＜x＜﹣1时，抛物线在x轴上方，当2＜x＜3时，抛物线在x轴下方，求a，c满足的关系式； （3）已知该二次函数图象上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若对于m﹣1＜x1＜m，m＜x2＜m+1，总有y1＜y2，求m的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线对称轴方程直接求解； （2）可得到抛物线经过（3，0），将其代入抛物线解析式即可得到a，c满足的关系式； （3）当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，则x1＜x2，总有y1＜y2故当x＝m﹣1≥1时，y随x的增大而增大，则y1＜y2始终成立，解得m≥2；当x＝m﹣1＜1时，y随x的增大而减小，此时m＜2，如解图，要使y1＜y2，则x＝m﹣1和x＝m在对称轴两侧，且直线x＝m﹣1到直线x＝1的距离小于等于直线x＝m到直线x＝1的距离，即1﹣（m﹣1）≤m﹣1，即可求解． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax（x﹣2）+c（a为常数，且a＞0）． ∵二次函数y＝ax（x﹣2）+c＝ax2﹣2ax+c， ∴对称轴为直线； （2）∵当﹣2＜x＜﹣1时，抛物线在x轴上方，对称轴为直线x＝1， ∴由对称性可知当3＜x＜4时，抛物线也在x轴上方． ∵当2＜x＜3时，抛物线在x轴下方， ∴抛物线经过（3，0），即3a+c＝0； （3）由题意可得：当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵m﹣1＜x1＜m，m＜x2＜m+1， ∴x1＜x2，总有y1＜y2 ∴当x＝m﹣1≥1时，y随x的增大而增大，则y1＜y2始终成立， 解得m≥2； 当x＝m﹣1＜1时，y随x的增大而减小，此时m＜2， 如解图， 要使y1＜y2，则x＝m﹣1和x＝m在对称轴两侧，且直线x＝m﹣1到直线x＝1的距离小于等于直线x＝m到直线x＝1的距离， 即1﹣（m﹣1）≤m﹣1， 解得 ∴， 综上所述． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 38．在如图所示的平面直角坐标系中，画出抛物线y＝x2﹣4x﹣6． （1）结合图象可知，当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是　﹣10≤y＜6　 ； （2）结合图象及所学习的知识，估算方程x2﹣4x﹣6＝0的根为x＝﹣1.2或5.2　 （精确到0.1）． 【分析】利用列表、描点、连线的方法画出图形即可； （1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解． 【解答】解：列表： x … ﹣2 0 2 4 6 … y … 6 ﹣6 ﹣10 ﹣6 6 … 函数图象如图所示： ； （1）根据函数图象可知：当﹣2＜x＜3时，y的取值范围﹣10≤y＜6． 故答案为：﹣10≤y＜6． （2）由图象可知方程有两个根，一个在﹣2和﹣1之间，另一个在5和6之间． 当x＝﹣1.1时，y＝﹣0.39；当x＝﹣1.2时，y＝0.24； 因此，x＝﹣1.2是方程的一个近似根， 同理，x＝5.2是方程的另一个近似根． 故一元二次方程x2﹣4x﹣6的近似根为x＝﹣1.2或5.2． 故答案为：x＝﹣1.2或5.2． 【点评】本题主要考查的是二次函数的图象，图象法求一元二次方程的近似根，利用函数图象求得相应的一元二次方程的解是解题的关键． 39．（2026•蚌埠三模）如图1，抛物线C1和C2的解析式分别为和，将抛物线C2向右平移2个单位长度得到抛物线C3． （1）求抛物线C3的解析式； （2）如图2，点A为抛物线C2的顶点，点M在抛物线C3上，且在x轴上方，过点A和M作x轴的垂线，与抛物线C1分别交于点B和N，求四边形ABNM面积的最大值； （3）已知结论：如果两个平面图形的宽度相同，被任意同一条竖线截得的线段都相等，则它们的面积相等．例如，如图3阴影部分图形，与梯形C′D′E′F′宽度相同，且它与梯形C′D′E′F′被任意一条竖直直线截得的线段PQ与P′Q′长度相等，所以阴影部分图形的面积等于梯形C′D′E′F′的面积．请根据以上信息求抛物线C1、C2和C3在第一象限围成图形（即图1的阴影部分）的面积． 【分析】（1）首先利用抛物线平移“左加右减”的规律，将C2解析式中的x替换为x﹣2，化简后得到C3的解析式． （2）先通过配方法求出C2的顶点A的坐标；再设点M的横坐标为参数，分别求出M、N、B的坐标；因为AB和MN均垂直于x轴，所以四边形ABNM是梯形，根据梯形面积公式列出面积关于参数的二次函数，最后利用二次函数性质求最大值． （3）首先确定阴影部分的横坐标范围，取该范围内任意x，计算竖线截阴影部分的线段长度；再根据题干给出的结论，找到宽度相同、竖截线段长度相等的规则图形，计算该规则图形的面积即可得到阴影部分面积． 【解答】解：（1）利用抛物线平移“左加右减”的规律， 由配方得， 得抛物线C3的解析式为， 即． （2）由条件知A（1，1），B（1，3），则AB＝2． 设点M的横坐标为t，则2＜t＜4， 点N的纵坐标为﹣t2+4t，点M的纵坐标为﹣t2+6t﹣8， ∴MN＝（﹣t2+4t）﹣（﹣t2+6t﹣8）＝8﹣2t， ∴， 故四边形ABNM面积的最大值为4． （3）由抛物线的对称性可知，阴影部分关于直线x＝2对称， 阴影部分面积等于直线x＝2左边的阴影部分面积的2倍． 任取一条直线x＝x0（0＜x0＜2）， 则截阴影部分图形所得线段长度为． 记直线x＝2与阴影部分的交点分别为H（2，4），G（2，0）， 则直线OH的解析式为y＝2x， ∴直线x＝x0截△OGH所得线段长度也为2x0． ∴所求图形面积． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•邹城市一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+3（t为任意实数）时，二次函数y＝ax2+bx+3有最大值为3，求t的值． 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，即区间端点或顶点处的函数值情况． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． 把x＝2，y＝3代入y＝ax2+bx+3， 得：4a+2b+3＝3， 整理得：b＝﹣2a， ∴对称轴为直线； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且， 由（1）可得，b＝﹣2a， ∵，， ∴， ∴a＝﹣3， ∴b＝6， ∴解析式为y＝﹣3x2+6x+3． （3）由（2）可得：二次函数解析式为y＝﹣3x2+6x+3， ∴当x＝1时，y有最大值为6， ∵当t≤x≤t+3时，y有最大值为3， ∴t≤1≤t+3不成立， ∴t＞1或者t+3＜1： ①当t＞1时，y随x的增大而减小， 当x＝t时，y有最大值为3， 把x＝t，y＝3代入y＝﹣3x2+6x+3得：﹣3t2+6t+3＝3， 解得t＝0或2， ∵t＞1， ∴t＝2， ②当t+3＜1，即t＜﹣2时，y随x的增大而增大， 当x＝t+3时，y有最大值为3， 把x＝t+3，y＝3代入y＝﹣3x2+6x+3得：﹣3（t+3）2+6（t+3）+3＝3， 解得t＝﹣3或﹣1， ∵t＜﹣2， ∴t＝﹣3， 综上所述，t＝2或﹣3． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 【练习2】（2026•双城区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣6x+k（k为常数）与x轴的一个交点是（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为　（7，0）　 ． 【分析】将抛物线化为顶点式可得y＝x2﹣6x+k＝（x﹣3）2+k﹣9，根据对称即可求解． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣6x+k（k为常数）与x轴的一个交点是（﹣1，0）， ∵y＝x2﹣6x+k＝（x﹣3）2+k﹣9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3， ∵抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为3+[3﹣（﹣1）]＝7， ∴它与x轴的另一个交点的坐标为（7，0）． 故答案为：（7，0）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 【练习3】（2024•济宁）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 k≥3　 ． 【分析】根据解析式的平移规律可得平移后得到的抛物线为y＝x2﹣6x+12﹣k，抛物线与x轴有公共点，可知Δ＝b2﹣4ac≥0，由此得到关于k的不等式，解不等式即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度得y＝x2﹣6x+12﹣k， ∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴（﹣6）2﹣4×1×（12﹣k）≥0， 解得k≥3， 故答案为：k≥3． 【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换．根据题意得到关于k的不等式是解题的关键． 【练习4】（2023秋•海安市期中）一元二次方程ax2+bx+c＝0可以写成a（x+2）（x﹣5）＝0的形式，则二次函数y＝a（x﹣1）2+bx+c﹣b的对称轴是直线x＝　　 ． 【分析】根据根与系数的关系得到a＜0，根据二次函数的性质即可得到次函数y＝a（x﹣1）2+4的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），当x＝1时，函数有最大值4． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0可以写成a（x+2）（x﹣5）＝0的形式， ∴函数y＝ax2+bx+c可以写成y＝a（x+2）（x﹣5）， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（5，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+bx+c﹣b， ∴二次函数y＝a（x﹣1）2+bx+c﹣b的对称轴是直线x1， 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，求得二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 三种表达式互化：掌握配方法（一般式→顶点式）和因式分解法（一般式→交点式）。 判别式与交点个数：牢记 Δ > 0、Δ = 0、Δ < 0 分别对应两个、一个、零个交点。 韦达定理应用：熟练运用两根之和与积求对称轴、参数范围及与坐标轴交点距离。 图象法求近似根：理解零点存在性定理，掌握二分法逼近的步骤。 数形结合思想：通过函数图象直观理解方程的解，是解决综合题的关键。 【作业1】（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算△AOB的面积． 【解答】解：由题意可得：二次函数的对称轴为直线， ∵对称轴公式为，a＝1， ∴，解得b＝﹣4， 又∵二次函数图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0， 解得c＝4， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+4， 将A（1，m）代入解析式，得m＝12﹣4×1+4＝1， ∴A（1，1），B（3，1）， ∴AB＝3﹣1＝2，原点O到直线AB的距离为1， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 【作业2】（2025秋•天山区校级期末）对于二次函数y＝（x﹣4）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标是（4，2） D．与x轴有两个交点 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：y＝（x﹣4）2+2＝x2﹣8x+18a＝1＞0，开口向上，A选项错误，不符合题意； 对称轴为：x＝4，B选项错误，不符合题意； 顶点坐标为（4，2），C选项正确，符合题意； 函数的最小值为2，与x轴没有交点，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 【作业3】（2026•西城区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … 0 ﹣1.5 ﹣2 0 … 根据表格中的信息，得到了如下的结论： ①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式； ②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2； ④若y＞0，则x＞3； 其中所有正确的结论为（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【分析】根据表格数据求出顶点坐标，即可判断①②；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断③；根据函数的图象和性质可以判断④． 【解答】解：∵x＝﹣1和x＝3时的函数值相同，都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， 当x＝1时，y＝﹣2， ∴抛物线的顶点为（1，﹣2）， ∴y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式， 所以①正确； ∵由表格可知x＝1时函数的值最小， ∴抛物线的开口向上， 故②错误； ∵x＝0与x＝2关于对称轴对称， ∴x＝0时，y＝﹣1.5，x＝2时，y＝﹣1.5， ∴ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2， 故③正确； ∵抛物线的开口向上，x＝﹣1和x＝3时，y＝0， ∴若y＞0，则x＞3或x＜﹣1， 故④错误； 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 【作业4】（2026•西安模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+m（m＞0）的图象与x轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的对称轴在y轴的左侧 B．0＜m＜1 C．图象的顶点在第四象限 D．图象与x轴的两个交点在y轴两侧 【分析】利用二次函数的对称轴公式、判别式、顶点坐标、交点符号的判断方法，结合m＞0的条件，依次判断每个选项即可得到结论． 【解答】解：在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+m（m＞0）的图象与x轴有两个交点， 对于二次函数y＝x2﹣2mx+m（m＞0），可得a＝1，b＝﹣2m，c＝m， ∵函数图象与x轴有两个交点 ∴判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×m＝4m2﹣4m＝4m（m﹣1）＞0， ∵m＞0， ∴m﹣1＞0，即m＞1， 选项A：二次函数对称轴为，对称轴在y轴右侧，A错误； 选项B：由推导得m＞1，B错误； 选项C：顶点横坐标为m＞0，将x＝m代入函数得顶点纵坐标y＝m2﹣2m•m+m＝﹣m2+m＝﹣m（m﹣1）， ∵m＞1， ∴y＜0，顶点横坐标为正，纵坐标为负，因此顶点在第四象限，C正确； 选项D：设函数与x轴交点横坐标为x1，x2，则，说明x1，x2同号，两个交点在y轴同侧，D错误． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 【作业5】（2025•青山区校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a是常数）上．以下四个结论： ①抛物线一定经过点（0，1）； ②抛物线的对称轴是直线x＝1； ③若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2； ④关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意和二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1， ∴当x＝0时，y＝1，即抛物线一定经过点（0，1），故①正确，符合题意； 抛物线的对称轴是直线x＝1，故②正确，符合题意； 当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2；故③错误，不符合题意； 关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的Δ＝（﹣2a）2﹣4a＝4a2﹣4a＝（2a﹣1）2﹣1，当a时，Δ＝0，此时该方程有两个相等的实数根，故④错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【作业6】（2026•遵义一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，下列说法错误的是（　　） x … ﹣1 1 3 5 7 … y＝ax2+bx+c … 0 6 m n 0 … A．该二次函数图象的对称轴是直线x＝3 B．当x＞4时，y随x的增大而减小 C．当﹣1≤x＜5时，y的取值范围为0≤y≤8 D．方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0有两个相等的实数根 【分析】先利用二次函数的对称性求出对称轴，再求出二次函数的解析式，结合二次函数的性质逐一判断选项即可． 【解答】解：A、∵当x＝﹣1和x＝7时，y都等于0， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 故A选项不符合题意； B、设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣7）， 将x＝1，y＝6代入，得6＝a×（1+1）×（1﹣7）， 解得， ∴抛物线开口向下， 又∵对称轴为x＝3， ∴当x＞3时，y随x的增大而减小， ∵4＞3， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小， 故B选项不符合题意； C、将解析式展开得，顶点横坐标为x＝3， 可得顶点纵坐标，即抛物线最大值为8， 当x＝﹣1时y＝0，x＝5与x＝1关于x＝3对称， 故x＝5时y＝6＞0， ∵抛物线开口向下， ∴当﹣1≤x＜5时，0≤y≤8， 故C选项不符合题意； D、∵该函数解析式为， 且由上述表格，得x＝5时， ∴方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0即为， 整理得x2﹣6x+7＝0， 其判别式Δ＝（﹣6）2﹣4×1×7＝8＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业7】（2026春•长安区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积＝　2　 ． 【分析】先分别令y＝0、x＝0，求出抛物线与x轴交点A、B和y轴交点C的坐标，算出底边AB的长度，点C纵坐标即为△ABC底边AB对应的高，最后利用三角形面积公式底×高计算面积． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2， ∵x＝0时，y＝2， ∴抛物线与y轴的交点坐标为：C（0，2）； ∵当y＝0时，﹣x2+2＝0， ∴， ∴与x轴的交点坐标是（，0），（，0）； ∴△ABC的面积为：22＝2． 故答案是：2． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业8】（2026•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 m＜1　 ． 【分析】当y＝0时，x2+2x+m＝0，则方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数解时，二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个公共点，根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：当y＝0时，x2+2x+m＝0， ∵方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数解时，二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个公共点， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0， 解得m＜1， 即实数m的取值范围为m＜1． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 【作业9】（2025•巴中自主招生）新定义：我们把抛物线y＝﹣ax2﹣bx+c，（其中a≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c称为“孪生抛物线”．例如：抛物线y＝﹣x2﹣5x+3的“孪生抛物线”为y＝x2+5x+3．已知抛物线（a为常数，且a＜0）的“孪生抛物线”为C2.抛物线C2的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则抛物线C1的表达式为 　　 ． 【分析】先求出抛物线C2为y＝ax2+2ax+a+4，可得A（﹣1，4），设B（x1，0），C（x2，0），得出，从而求得，由△ABC为直角三角形，可得，再列出方程求解即可． 【解答】解：∵已知抛物线（a为常数，且a＜0）的“孪生抛物线”为C2， 依据“孪生抛物线”的定义得：抛物线C2为y＝ax2+2ax+a+4＝a（x+1）2+4， ∴A（﹣1，4）， 设B（x1，0），C（x2，0）， 当y＝0时，得：ax2+2ax+a+4＝0， ∴， ∴， 由抛物线的对称性得AB＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或a＝0（不合题意，舍去）， ∴抛物线， 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点发，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，理解新定义的意义是解决本题的关键． 【作业10】（2026春•市南区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＝0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④5a+2c＞0；⑤若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上两点，则当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＞y2其中正确的是　①②③④　 ． 【分析】根据抛物线开口，对称轴判断a，b，c的符号即可判断①，将（﹣2，0）代入解析式，结合函数图象即可判断②，根据抛物线与y＝2有交点判断③，将b＝﹣2a代入4a﹣2b+c＝0得出c＝﹣8a，进而判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，即可判断⑤． 【解答】解：根据抛物线开口向下，可知a＜0， 因为抛物线对称轴是直线x＝1， 所以，即b＝﹣2a＞0， 抛物线与y轴的交点在正半轴， 所以c＞0，故abc＜0，①正确； 因为抛物线对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（4，0）， 所以与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得， 4a﹣2b+c＝0，②正确； 由图象可知，当y＝2时，对应的自变量值有两个，即方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，③正确； 把b＝﹣2a代入4a﹣2b+c＝0得，c＝﹣8a，则5a+2c＝5a﹣16a＝﹣11a＞0，④正确； 当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，说明点（x1，y1）离对称轴远， 因为抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 所以y1＜y2，⑤错误； 综上可知，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数有关知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业11】（2026春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣1 1 3 … y … 4 ﹣4 ﹣4 … 则关于x的方程ax2+bx+c＝4的解为x1＝﹣1，x2＝5　 ． 【分析】由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x2，图象经过点（﹣1，4），结合抛物线的对称性可得二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（5，4），则可得关于x的方程ax2+bx+c＝4的解为x1＝﹣1，x2＝5． 【解答】解：由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x2，图象经过点（﹣1，4）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（5，4）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝4的解为x1＝﹣1，x2＝5． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝5． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业12】（2022秋•顺义区校级期中）已知：二次函数y＝mx2﹣（3m+2）x+2m+2． （1）证明图象与x轴必有交点； （2）若当m＞0时，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），A在B的左侧，若W是m的函数，且W＝x2﹣2x1，求这个函数解析式． 【分析】（1）写出与这个二次函数相对应的一元二次方程是mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0，根据△≥0，得到方程有两个实数根，得到这个二次函数的图象与x轴必有交点． （2）先把方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0左边分解因式，再求解方程的两个解，根据题意分别确定x1，x2，再代入函数关系式即可得到答案． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝mx2﹣（3m+2）x+2m+2， ∴m≠0， ∴Δ＝[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）＝9m2+12m+4﹣8m2﹣8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， ∴△≥0， ∴y＝mx2﹣（3m+2）x+2m+2的图象与x轴必有交点， （2）证明：∵当m＞0时，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），A在B的左侧， ∴x1＜x2， 当mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0时， ∴[mx﹣2（m+1）]（x﹣1）＝0，其中m＞0， 解得：x1＝1，， ∴W＝x2﹣2x1． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，利用因式分解法解一元二次方程，二次函数与x轴的交点坐标问题，本题解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的紧密联系． 【作业13】（2024秋•榆阳区期末）已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣2，求证：无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． 【分析】根据抛物线与x轴的交点的纵坐标都为0，即可将函数转化为方程0＝x2+mx+m﹣2，然后只要求出该方程有两个不等的实数根，即可证明结论成立． 【解答】证明：∵二次函数y＝x2+mx+m﹣2， ∴当y＝0时，0＝x2+mx+m﹣2， 此时Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0， ∴方程0＝x2+mx+m﹣2有两个不相等的实数根， ∴无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程与二次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【作业14】（2026•临沂二模）二次函数y＝﹣x2+（k+1）x+k2﹣2k+4的图象与y轴的交点为A． （1）若点A的坐标为（0，3），求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若B（t﹣1，y1）、C（2t，y2）在函数图象上，总有y1＜y2，求t的取值范围； （3）判断二次函数y＝﹣x2+（k+1）x+k2﹣2k+4的图象与x轴正半轴是否一定有交点？ 【分析】（1）根据题意，由待定系数法求解即可； （2）由（1）中得到表达式，根据抛物线图象与性质得到当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合题意得到不等式|t﹣1﹣1|＞|2t﹣1|求解即可； （3）根据抛物线与x轴交点情况就是y＝0时对应的一元二次方程解的情况，先判断二次函数对应方程解的情况，再由求根公式求出一元二次方程的解，判断始终有一个根恒大于零即可． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴3＝k2﹣2k+4， 则（k﹣1）2＝0， 解得k＝1， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）由（1）知y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵a＝﹣1＜0，对称轴为x＝1， ∴抛物线开口向下，则当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 当B（t﹣1，y1）、C（2t，y2）在函数图象上，总有y1＜y2时，|t﹣1﹣1|＞|2t﹣1|， 解得﹣1＜t＜1； （3）令y＝0，则﹣x2+（k+1）x+k2﹣2k+4＝0， 即x2﹣（k+1）x﹣（k2﹣2k+4）＝0， ∵Δ＝[﹣（k+1）]2+4（k2﹣2k+4） ＝k2+2k+1+4k2﹣8k+16 ＝5k2﹣6k+17 ， ∵，且， ∴或， 当时，； 当时，； 综上所述，二次函数y＝﹣x2+（k+1）x+k2﹣2k+4的图象与x轴正半轴一定有交点． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 【作业15】（2023秋•江油市期中）（1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，求： ①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标． ②抛物线的顶点坐标． ③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？ （2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． ①求实数k的取值范围． ②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【分析】（1）①分别令x＝0，y＝0即可求得交点坐标； ②把函数解析式转化为顶点坐标形势，即可得顶点坐标； ③根据图象即可得知x的范围； （2）①利用根的判别式进行求解即可； ②由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，再结合条件进行求解即可． 【解答】解：（1）①由题意，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（3，0）； 令x＝0，则y＝﹣3， ∴抛物线与y轴交点为（0，﹣3）； ②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； ③如图所示： 由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0； （2）①∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0， 解得：k 即k的取值范围是：k； ②∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1， ∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1， 解得k＝3， 即k的值是3． 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用． 【作业16】（2026•茌平区二模）已知二次函数y＝x2﹣（m+n）x+mn，其中m、n为两个不相等的实数． （1）当m＝1，n＝3时，求该函数图象的对称轴； （2）求证：该二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点； （3）若函数在x≤2时，y随x的增大而减小，且满足m＝2n﹣1，求n的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值． 【分析】（1）把m＝1，n＝3代入，再化为顶点式，即可得答案； （2）根据一元二次方程根的判别式得出一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn＝0有两个不相等的实数根，即可得出结论； （3）根据二次函数的性质，结合m＝2n﹣1得出，设顶点纵坐标为h，根据顶点坐标公式得出，根据二次函数的性质即可得答案． 【解答】（1）解：二次函数y＝x2﹣（m+n）x+mn，其中m、n为两个不相等的实数． ∵m＝1，n＝3， ∴y＝x2﹣（1+3）x+1×3＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2． （2）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+n），c＝mn， ∴Δ＝[﹣（m+n）]2﹣4×1×mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m﹣n）2， ∵m，n是不相等的实数， ∴（m﹣n）2＞0，即Δ＞0， ∴一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn＝0有两个不相等的实数根， ∴该二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点． （3）若函数在x≤2时，y随x的增大而减小，且满足m＝2n﹣1， ∵二次函数解析式为y＝x2﹣（m+n）x+mn，1＞0， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵函数在x≤2时，y随x的增大而减小， ∴， ∵m＝2n﹣1， ∴， ∴， 设顶点纵坐标为h， ∴ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当n≥1时，h随n的增大而减小， ∴时，h最大为， ∴n的取值范围为，函数顶点纵坐标的最大值为． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $