数学活动：用“矩形”画双曲线和用简易密度计测量密度（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数“乘积为定值”的本质，通过“矩形面积相等时边长关系”“密度计漂浮时浸入深度与密度关系”两个问题导入，引导学生从几何与物理现象中提炼关系，建立函数模型，衔接概念到应用的学习支架。 特色在于跨学科实践与核心素养培养，补全矩形边长表格并画图验证双曲线（发展几何直观），推导密度计数据建立反比例模型（提升推理能力），落实模型意识。让学生感受数学应用价值，提升数形结合能力，为教师提供生动的跨学科教学案例，丰富课堂探究活动。

数学活动　用矩形“画”双曲线和用简易密度计测量密度 1.掌握反比例函数“乘积为定值”的本质，能通过矩形边长补全、密度计数据推导建立反比例函数模型，并绘制对应图象. 2.经历“计算—画图—建模”的探究过程，提升数形结合与从实际问题中抽象数学模型的能力. 3.感受反比例函数在几何、物理中的应用价值，激发用数学解释生活现象的兴趣. 1.从“矩形面积相等”“密度计浮力平衡”中提炼“乘积为定值”的关系，建立并验证反比例函数模型.（重点） 2.理解面积相等的矩形对角顶点的连线是反比例函数图象的一支，理解反比例函数中系数k的几何意义.（难点） 知识链接：今天我们探究两个结合学科与生活的问题，用反比例函数解答： ①多个面积相等的矩形，一边变长，邻边会怎么变？边长是否符合“乘积为定值”？连接这些矩形对角顶点会画出什么曲线？ ②密度计漂浮在不同液体中，密度越大浸入深度越浅，这种“一增一减”的关系，能否用反比例函数表示？ 探究点一：用矩形画双曲线 1.补全边长表格（推导反比例关系） 任务：这里有10个面积相等的矩形（面积固定为2），已知其中一边的长度，你能算出邻边的长度吗？比如一边长是1，邻边长就是2；一边长是3，邻边长是多少？ （学生补全表格，得出“一边长x×邻边长y＝2”，即y＝） 2.画图验证双曲线（实践操作） 请大家在方格纸上先画一个公共角∠A（90°），以∠A的两条边为矩形的邻边，依次画出这10个面积相等的矩形；标记每个矩形中∠A的对角顶点，再用平滑的曲线把这些点连起来. 观察思考：这条曲线的形状是不是和我们学过的反比例函数图象（双曲线）一致？ 归纳总结：面积相等的矩形，两邻边长满足反比例函数关系（面积为定值），其对角顶点的连线就是反比例函数图象的一支（因为边长都是正数，所以只取第一象限的分支）. 探究点二：用简易密度计测量密度 1.推导函数关系（物理＋数学建模） 物理原理告诉我们：密度计漂浮时，浮力等于自身重力，即浮力＝ρ液体gV排＝ρ液体gh浸入S底面积＝mg； 把已知的密度计质量（7.2g）、底面积（1cm2）代入，就能得到　ρh＝7.2（这是一个定值），整理后就是h＝　——这正是反比例函数的形式. 2.补全数据表格（验证模型） 用h＝补全密度计在不同液体中的浸入深度数据，如液体密度是0.8g/cm3时，浸入深度就是＝9（cm）；对比补全的数据和实际测量值，会发现误差很小——说明“浸入深度h与液体密度ρ”的反比例关系是成立的. 归纳总结：简易密度计的浸入深度与液体密度满足反比例函数h＝，这是物理原理与数学函数的结合应用. 1.下表是简易密度计在不同液体中的部分测量数据，已知浸入深度h（cm）与液体密度ρ（g·cm－3）满足反比例函数关系： 液体 白醋 酒精 豆浆 牛奶 洗衣液 糖水 ρ（g·cm－3） 1.05 0.78 1.03 1.02 1.20 1.35 h（cm） ？ 9.23 ？ 7.06 6.0 ？ 根据表格和反比例函数关系，下列说法正确的是（　B　） A.该反比例函数解析式为h＝ B.白醋对应的浸入深度约为6.86cm C.豆浆对应的浸入深度约为8.0cm D.液体密度越小，密度计浸入深度越浅 2.面积为12的矩形，一边长为x（x＞0），邻边长为y.当x从3增大到6时，y的值如何变化？结合反比例函数的特征说明原因. 解：反比例函数中k＝12＞0，在第一象限内，y随x的增大而减小.故当x从3增大到6时，y的值逐渐减小. 1.反比例函数：xy＝k（定值）→y＝，图象为双曲线（一增一减） 2.实际应用 　　　　　　 　　　　　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $