第5章一元一次方程专项训练2026-2027学年人教版七年级数学上册

活动 1 生活中的阶梯计价问题 1. [2025济宁兖州区期末]某市居民生活用水采用阶梯计价的收费方式，收费标准如下表，李阿姨家11月份用水5m³，缴纳水费11元.若李阿姨家12月份缴纳水费38.8元，则李阿姨家12 月份的用水量是 m³. 月用水量/m³ 费用/(元/m³) 0~10 a 10以上 a+0.6 2. [2025天津和平区期末]某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯计价的收费方式，收费标准如表.设居民的月用电量为x千瓦·时. 月用电量/(千瓦·时) 费用/[元/(千瓦·时)] 0~240 0.55 241 ~400 0.75 400以上 1.5 (1)月用电量不超过240千瓦·时，则应缴电费 元;月用电量超过400 千瓦·时,则应缴电费 元.(用含x的代数式表示) (2)若某户居民月用电量为312千瓦·时，则应缴电费多少元? (3)若某户居民某月缴费210元，则该户居民该月的用电量为多少? 活动 2 木杆挂重物问题 3.>跨学科·物理 在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个等重的钩码做实验.如图所示，在轻质木杆O处用一根细线将木杆悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码的质量是50 g.若OA=20cm,OB=40 cm,挂3个钩码可使轻质木杆在水平位置平衡.设重物的质量为 xg，根据题意可列方程为 ( ) A.20x=40×50×3 B.40x=20×50×3 C.3×20x=40×50 D.3×40x=20×50 4.小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图简易杆秤，其中秤盘质量为10g，重物质量为 mg，秤砣质量为 100 g，秤纽与秤盘的水平距离为lcm，秤纽与零刻度线的水平距离为a cm，零刻度线与末刻度线的水平距离为50 cm.当秤盘不放重物，秤砣在零刻度线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为500g的重物，秤砣从零刻度线移至末刻度线时，杆秤平衡. (1)l与a的数量关系是 . (2)列方程求解：小明在秤盘上放了一个笔记本，秤砣位于零刻度线右侧15 cm处时，杆秤平衡，求笔记本的质量. 5.某省居民生活用电采取阶梯计价的收费方式，收费标准如下表. 收费方式 年用电量/(kW·h) 费用/[元/(kW·h)] 第一阶梯 0~2 760 0.538 第二阶梯 2 761 ~4 800 0.588 第三阶梯 4 800 以上 0.838 小聪家去年12 月份的用电量为500 kW·h,电费为319元，则小聪家去年全年的用电量为 ( ) A.5250kW·h B.5100 kW·h C.4 900 kW·h D.4850kW·h 6.[2025南平建瓯期末]某小区停车场24 小时开放，根据车流量情况和汽车驶入和离开的时段分段收费，如下表所示. 停车时段 收费方式 8:00~20:00 15元/时(最高收取费用80元) 20:00~次日8:00 5元/时(最高收取费用30元) 备注：停车时间10分钟内不收取费用，超过10分钟且未满1小时按照1小时收费，以此类推，如：停车时间为1小时10分钟按照2 小时收费. (1)小明某日9：00 驾驶汽车驶入该小区停车场停车a(a为整数)小时，在当日20：00~24：00的某一时刻离开，求小明此次的停车费用.(用含a的代数式表示) (2)在(1)的基础上，若小明此次的停车费用为95元，求小明的汽车离开的时间. 7. 模型观念 [2026天津五中月考]根据以下素材，探索未完成的任务. 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2025年采用“阶梯收费”. 素材2 第一阶梯(月用水量不超过14 吨)：水费为4.3元/吨，其中自来水费为3.35 元/吨，污水处理费为0.95 元/吨. 第二阶梯(月用水量超过14 吨且不超过21 吨)：水费为5.97 元/吨，其中自来水费为5.02元/吨,污水处理费为0.95元/吨.第三阶梯(月用水量超过21 吨)：水费为11元/吨，其中自来水费为10.05 元/吨，污水处理费为0.95 元/吨. 问题解决 任务1 确定污水处理费 某用户 2025 年 12 月份所缴水费中，自来水费为66.98元，则该用户12 月份需缴污水处理费多少元? 任务2 确定水费 某用户2025年11月用水a吨，则应缴水费多少元? 任务3 确定 用水量 如果该用户2025年5，6月份共用水42 吨(6月份的用水量超过5月份的用水量)，共缴水费209.01元,则该用户5,6 月份各用水多少吨? 【回顾与思考】在列方程解决实际问题时，你认为最关键的是什么? 分析应用题常用的方法 类型/1画示意图分析法 1.老师在黑板上出了一道题：A，B两地相距46km，甲骑自行车从A 地前往B 地，速度为15km/h，1 h后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为40 km/h.乙出发多长时间后能追上甲? 为了更好地理解题意，老师设出未知数x，并画出了如下线段图. 请你按照老师的思路写出完整的解答过程. 追问：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米? 类型 2 列表分析法 2. [2026重庆巴川中学月考]受连日暴雨影响，某地A，B两个村庄突发泥石流灾害，急需从市中心C，D两个储备仓库调运救灾物资.已知两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨，从C仓库运往A，B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从D仓库运往A，B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨. (1)若从C 仓库运往A 村 10 吨物资，则从D仓库运往B村的物资为 7 吨. (2)设从C仓库调运x吨救灾物资去A村，完成表格中的填空. 运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨 C仓库 x 15-x D 仓库 18-x x-3 (3)结合(2)，调运结束后结算时发现，支付给C，D两个仓库的运费相差220元，求从C仓库运往A村的物资是多少吨. 方程的应用——数轴上的动点问题 1. [2026泰州期末]如图,数轴上的三点 M,O,N表示的数分别为-6，0，18，点P 为数轴上一动点，如果点P 以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M 和点 N分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度也向左运动.若t秒时，点P 到点M，N的距离相等,则t的值为 . 2.[2026上海黄浦区期末]如图，将一条数轴在原点O和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示-11，点视频解题B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距29 个单位长度.动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，其在点O 到点 B之间的速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，其在点 B到点O之间的速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动时间为t秒. (1)动点P从点A运动到点 C需要多少时间? (2)P，Q两点相遇时，求相遇点M对应的数. (3)当t为何值时，P，O两点之间的距离与Q，B两点之间的距离相等? 3.[2026泉州泉港区期末]在数学活动课上，老师用两个单位长度不同的数轴甲、乙模拟双向公路(如图).数轴甲和数轴乙平行放置，数轴甲的正方向向左，数轴乙的正方向向右.当数轴甲的原点O与数轴乙的原点 对齐时，数轴甲上表示2 的点与数轴乙上表示-3的点恰好对齐. 数轴甲上的动点P从点A(表示-4)出发，以每秒2个单位长度(数轴甲的单位长度)的速度向左运动，在点 P 运动过程中，数轴乙上的点P'与点 P 始终对齐.数轴乙上的动点Q'从点B'(表示3)出发，以每秒1个单位长度(数轴乙的单位长度)的速度向右运动，已知数轴甲上的点B 与点B'对齐，且在点 Q'运动过程中，数轴甲上的点 Q 与 Q'始终对齐.设运动时间为t秒. (1)数轴乙上表示12 的点与数轴甲上表示 -8的点对齐； (2)在数轴甲上，当点P，Q重合时，求t的值； (3)在数轴甲上，当点P，Q之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (4)在数轴甲上，当点 P，O之间的距离与点Q，B之间的距离的和为 10 个单位长度时，求点P表示的数. 解释版 活动 1 生活中的阶梯计价问题 1. [2025济宁兖州区期末]某市居民生活用水采用阶梯计价的收费方式，收费标准如下表，李阿姨家11月份用水5m³，缴纳水费11元.若李阿姨家12月份缴纳水费38.8元，则李阿姨家12 月份的用水量是 16 m³. 月用水量/m³ 费用/(元/m³) 0~10 a 10以上 a+0.6 2. [2025天津和平区期末]某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯计价的收费方式，收费标准如表.设居民的月用电量为x千瓦·时. 月用电量/(千瓦·时) 费用/[元/(千瓦·时)] 0~240 0.55 241 ~400 0.75 400以上 1.5 (1)月用电量不超过240千瓦·时，则应缴电费 0.55x 元;月用电量超过400 千瓦·时,则应缴电费 (1.5x﹣348) 元.(用含x的代数式表示) (2)若某户居民月用电量为312千瓦·时，则应缴电费多少元? (3)若某户居民某月缴费210元，则该户居民该月的用电量为多少? 解:(2)根据题意,得0.55×240+0.75×(312-240) =186(元). 答：应缴电费186元. (3)因为0.55×240=132(元),0.55×240+0.75×(400﹣240)=252(元),132 ﹤210 ﹤252,所以240<x<400. 根据题意,得0.55×240 +0.75(x-240) =210,解得x=344. 答：该户居民该月的用电量为344千瓦·时. 活动 2 木杆挂重物问题 3.>跨学科·物理 在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个等重的钩码做实验.如图所示，在轻质木杆O处用一根细线将木杆悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码的质量是50 g.若OA=20cm,OB=40 cm,挂3个钩码可使轻质木杆在水平位置平衡.设重物的质量为 xg，根据题意可列方程为 ( A ) A.20x=40×50×3 B.40x=20×50×3 C.3×20x=40×50 D.3×40x=20×50 4.小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图简易杆秤，其中秤盘质量为10g，重物质量为 mg，秤砣质量为 100 g，秤纽与秤盘的水平距离为lcm，秤纽与零刻度线的水平距离为a cm，零刻度线与末刻度线的水平距离为50 cm.当秤盘不放重物，秤砣在零刻度线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为500g的重物，秤砣从零刻度线移至末刻度线时，杆秤平衡. (1)l与a的数量关系是l=10a . (2)列方程求解：小明在秤盘上放了一个笔记本，秤砣位于零刻度线右侧15 cm处时，杆秤平衡，求笔记本的质量. 解:(2)由题意,得(10+500)·l=(a+50)×100,因为l=10a,所以(10+500)×10a=(a+50)×100,所以a=1,所以l=10. 设笔记本的质量为 xg， 由题意,得(10 +x)×10 = (1+15)×100,解得x=150,所以笔记本的质量为150 g. 5.某省居民生活用电采取阶梯计价的收费方式，收费标准如下表. 收费方式 年用电量/(kW·h) 费用/[元/(kW·h)] 第一阶梯 0~2 760 0.538 第二阶梯 2 761 ~4 800 0.588 第三阶梯 4 800 以上 0.838 小聪家去年12 月份的用电量为500 kW·h,电费为319元，则小聪家去年全年的用电量为(C ) A.5250kW·h B.5100 kW·h C.4 900 kW·h D.4850kW·h 6.[2025南平建瓯期末]某小区停车场24 小时开放，根据车流量情况和汽车驶入和离开的时段分段收费，如下表所示. 停车时段 收费方式 8:00~20:00 15元/时(最高收取费用80元) 20:00~次日8:00 5元/时(最高收取费用30元) 备注：停车时间10分钟内不收取费用，超过10分钟且未满1小时按照1小时收费，以此类推，如：停车时间为1小时10分钟按照2 小时收费. (1)小明某日9：00 驾驶汽车驶入该小区停车场停车a(a为整数)小时，在当日20：00~24：00的某一时刻离开，求小明此次的停车费用.(用含a的代数式表示) (2)在(1)的基础上，若小明此次的停车费用为95元，求小明的汽车离开的时间. 解：(1)由题意可知，小明此次的停车费用为80+5(a-11)=(5a+25)(元). (2)由题意可知,5a+25=95,解得a=14,14–11=3(时), 故小明的汽车离开的时间为23：00. 7. 模型观念 [2026天津五中月考]根据以下素材，探索未完成的任务. 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2025年采用“阶梯收费”. 素材2 第一阶梯(月用水量不超过14 吨)：水费为4.3元/吨，其中自来水费为3.35 元/吨，污水处理费为0.95 元/吨. 第二阶梯(月用水量超过14 吨且不超过21 吨)：水费为5.97 元/吨，其中自来水费为5.02元/吨,污水处理费为0.95元/吨.第三阶梯(月用水量超过21 吨)：水费为11元/吨，其中自来水费为10.05 元/吨，污水处理费为0.95 元/吨. 问题解决 任务1 确定污水处理费 某用户 2025 年 12 月份所缴水费中，自来水费为66.98元，则该用户12 月份需缴污水处理费多少元? 任务2 确定水费 某用户2025年11月用水a吨，则应缴水费多少元? 任务3 确定 用水量 如果该用户2025年5，6月份共用水42 吨(6月份的用水量超过5月份的用水量)，共缴水费209.01元,则该用户5,6 月份各用水多少吨? 解:任务1 因为3.35×14=46.9(元),3.35×14+7×5.02=82.04(元),46.9<66.98<82.04,所以该用户12月份的用水量超过14吨且不超过21吨. 设该用户12月份的用水量为x吨，根据题意,得3.35×14+5.02(x-14) =66.98,解得x=18,所以18×0.95=17.1(元). 答：该用户12月份需缴污水处理费17.1元.任务2 当a小于或等于14时，应缴水费4.3a 元；当a大于14且a小于或等于21时，应缴水费14×4.3+5.97(a-14)=(5.97a-23.38)(元); 当a大于2l时,应缴水费14×4.3+7×5.97+11(a-21)=(11a-129.01)(元). 任务3 设该用户5月份的用水量为y吨，则6月份的用水量为(42-y)吨. 因为6月份的用水量超过5月份的用水量，所以y小于21. 当y小于或等于14时,4.3y+11(42-y) -129.01=209.01, 解得y≈18.5>14,不满足题意,舍去; 当y大于14且y小于21时,5.97y-23.38+11(42-y)-129.01=209.01, 解得y=20,所以42﹣20=22(吨),满足题意. 答：该用户5，6月份分别用水20吨和22吨. 【回顾与思考】在列方程解决实际问题时，你认为最关键的是什么? 分析应用题常用的方法 类型/1画示意图分析法 1.老师在黑板上出了一道题：A，B两地相距46km，甲骑自行车从A 地前往B 地，速度为15km/h，1 h后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为40 km/h.乙出发多长时间后能追上甲? 为了更好地理解题意，老师设出未知数x，并画出了如下线段图. 请你按照老师的思路写出完整的解答过程. 追问：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米? 解：设乙出发 xh后能追上甲. 根据题意,得40x=15x+15×1,解得x=0.6. 答：乙出发0.6h后能追上甲. 追问：设乙出发 yh后，在返回途中与甲相遇.根据题意,得40y+15×1+15y=46×2,解得y=1.4, 所以15×(1+1.4)=36(km). 答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地36 km. 类型 2 列表分析法 2. [2026重庆巴川中学月考]受连日暴雨影响，某地A，B两个村庄突发泥石流灾害，急需从市中心C，D两个储备仓库调运救灾物资.已知两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨，从C仓库运往A，B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从D仓库运往A，B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨. (1)若从C 仓库运往A 村 10 吨物资，则从D仓库运往B村的物资为 7 吨. (2)设从C仓库调运x吨救灾物资去A村，完成表格中的填空. 运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨 C仓库 x 15-x D 仓库 18-x x-3 (3)结合(2)，调运结束后结算时发现，支付给C，D两个仓库的运费相差220元，求从C仓库运往A村的物资是多少吨. 解：(3)由(2)及题意，知支付给C仓库的运费为60x+20(15-x)=(40x+300)(元), 支付给D仓库的运费为40(18–x) +30(x–3) =(630-10x)(元). 当支付给C仓库的运费多时,40x+300﹣(630﹣10x) =220,解得x=11,符合题意; 当支付给D仓库的运费多时,630–10x–(40x+300) =220,解得x=2.2,由(2)可知x大于3. 因为2.2<3，所以不符合题意，舍去. 所以从C仓库运往A村的物资是11吨. 方程的应用——数轴上的动点问题 1. [2026泰州期末]如图,数轴上的三点 M,O,N表示的数分别为-6，0，18，点P 为数轴上一动点，如果点P 以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M 和点 N分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度也向左运动.若t秒时，点P 到点M，N的距离相等,则t的值为4或24 . 2.[2026上海黄浦区期末]如图，将一条数轴在原点O和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示-11，点视频解题B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距29 个单位长度.动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，其在点O 到点 B之间的速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，其在点 B到点O之间的速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动时间为t秒. (1)动点P从点A运动到点 C需要多少时间? (2)P，Q两点相遇时，求相遇点M对应的数. (3)当t为何值时，P，O两点之间的距离与Q，B两点之间的距离相等? 解:(1)11÷2+10÷1+8÷2=19.5(秒). 答：动点P从点A运动到点C需要19.5秒. (2)由题意知，点M在点O与点B之间，设点M到点O的距离为x.根据题意,得11÷2+x÷1=8÷1+(10-x)÷2,解得x=5，所以点M对应的数为5. (3)P，O两点之间的距离与Q，B两点之间的距离相等有4种情况： ①当动点P在点O与点A之间，动点Q在点C与点B之间时,11-2t=8-t,解得t=3; ②当动点P在点O与点B之间，动点Q在点C与点B之间时,(t-5.5)×1=8-t,解得t=6.75; ③当动点P在点O与点B之间，动点Q在点B与点O之间时,(t-5.5)×1=2(t-8),解得t=10.5; ④当动点P在点B与点C之间，动点Q 在点O与点A之间时,10+2(t-15.5)=t-13+10,解得t=18.综上,t的值为3或6.75或10.5或18. 3.[2026泉州泉港区期末]在数学活动课上，老师用两个单位长度不同的数轴甲、乙模拟双向公路(如图).数轴甲和数轴乙平行放置，数轴甲的正方向向左，数轴乙的正方向向右.当数轴甲的原点O与数轴乙的原点 对齐时，数轴甲上表示2 的点与数轴乙上表示-3的点恰好对齐. 数轴甲上的动点P从点A(表示-4)出发，以每秒2个单位长度(数轴甲的单位长度)的速度向左运动，在点 P 运动过程中，数轴乙上的点P'与点 P 始终对齐.数轴乙上的动点Q'从点B'(表示3)出发，以每秒1个单位长度(数轴乙的单位长度)的速度向右运动，已知数轴甲上的点B 与点B'对齐，且在点 Q'运动过程中，数轴甲上的点 Q 与 Q'始终对齐.设运动时间为t秒. (1)数轴乙上表示12 的点与数轴甲上表示 -8的点对齐； (2)在数轴甲上，当点P，Q重合时，求t的值； (3)在数轴甲上，当点P，Q之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (4)在数轴甲上，当点 P，O之间的距离与点Q，B之间的距离的和为 10 个单位长度时，求点P表示的数. 解:(2)t的值为0.75. (3)在数轴甲上，因为点P，Q之间的距离为4个单位长度，所以| ①当 时，即 解得t=2.25;②当 时，即 解得t=-0.75(不合题意,舍去).综上,t=2.25. (4)由题意得，在数轴甲上，点P，O之间的距离为l-4+2t|，在数轴乙上，点Q'，B'之间的距离为t，所以在数轴甲上，点Q，B之间的距离为 根据题意，得 ①当t的值大于或等于0且小于2时,|-4+2t|=4-2t,所以 解得t=-4.5(不合题意,舍去);②当t大于或等于2时,|-4+2t|=2t﹣4,所以 解得t=5.25.综上,点P表示的数为-4+2×5.25=6.5. 学科网（北京）股份有限公司 $