湖南省衡阳市衡阳县第五中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

衡阳县五中2026年秋9月月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点关于y轴的对称点坐标为( ) A. B. C. D. 2.已知过原点的直线l与圆相交，则直线l的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知是直线l的方向向量，直线l经过点，则点到直线l的距离为( ) A. B. C. D. 4.设，两直线与垂直，则ab的最大值为( ) A. B. C.1 D.2 5.已知向量，，则( ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，已知点，，圆.若圆C上存在点M，使得，则实数a的值不可能是( ) A. B.0 C. D. 7.如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线PA，PB的中点，，记，，，则( ) A. B. C. D. 8.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E，F分别为CD，PC的中点，则直线PE与平面ABF所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知向量，，则下列结论中正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.不存在实数λ，使得 D.若，则 10.已知圆，圆，则下列结论正确的是( ) A.无论k取何值，圆心始终在直线上 B.若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C.若圆O与圆的公共弦长为，则或 D.当时，两圆的外公切线长为 11.如图，平面ABCD，，，，，，，则( ) A. B.平面ADE C.平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为 D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知圆与圆没有公共点，则实数r的取值范围为______. 13.点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是___________. 14.如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱AB，AC，AD都在平面的同侧，若顶点B，C到平面的距离均为，则顶点D到平面的距离是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知圆，点A坐标为，B为圆C上一动点，AB的中点为M. （1）当点B在圆C上运动时，求点M的轨迹方程； （2）过点的直线l与M的轨迹相交于P，Q两点，且，求直线l的方程. 16.（15分）已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且. （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程. 17.（15分）如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与直线AF所成角的余弦值； （3）求点F到平面的距离. 18.（17分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 19.（17分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：. （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. （3）在线段AB上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出AH的长度；若不存在，请说明理由. 答案与解析 1.答案：A 解析：根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点，可得点关于y轴的对称点坐标为.故选A. 2.答案：C 解析：圆的圆心为，半径，设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径，所以有.故选C. 3.答案：B 解析：由题意，直线l的方向向量，，则，，，所以点到直线l的距离为，故选B. 4.答案：A 解析：因为直线与垂直，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号.故选A. 5.答案：A 解析：由，，得，，所以，所以. 6.答案：D 解析：设，由题意可知 ，即是圆与圆的交点，由两圆位置关系可知圆心距满足：，即.故选D. 7.答案：D 解析：由题可知，由得，.因为点C，D分别是母线PA，PB的中点，所以，，则.故选D. 8.答案：C 解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，.因为F，E分别为PC，CD的中点，所以，，所以，，.设平面ABF的法向量为，则设，则，，所以平面ABF的法向量为.设直线PE与平面ABF所成角为，.故选C. 9.答案：ACD 解析：对于A项，由可得，解得，故A项正确；对于B项，由可得，解得，故B项错误；对于C项，假设存在实数λ，使得，则，所以不存在实数λ，使得，故C项正确；对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.故选ACD. 10.答案：ACD 解析：对于A，圆的圆心为，始终在直线上，A正确； 对于B，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，B错误； 对于C，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到该直线的距离，又，所以，解得或，C正确； 对于D，当时，圆心距为3，则圆O与圆外切，半径差为1，所以外公切线长为，D正确. 11.答案：BCD 解析：根据题意可知AE，AB，AD两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，，则，，，所以，所以BD，EC不垂直，故A错误；依题意，是平面ADE的一个法向量，又，可得，则，又因为直线平面ADE，所以平面ADE，故B正确；设为平面BDE的一个法向量，则令，，可得，而即底面ABCD的一个法向量，设平面EBD与平面ABCD夹角为，则，故C正确；设直线CE与平面BDE所成角为，，则，故D正确.故选BCD. 12.答案： 解析：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为1，则.因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含.若外离，则解得；若内含，则解得.综上，实数r的取值范围为. 13.答案： 解析：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线方程为，即.圆的方程：，圆心的坐标为，半径，依题意知圆心到直线的距离，即，解得，即.故答案为. 14.答案： 解析：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，.，，设平面的法向量为，则点B到平面的距离为①，点C到平面的距离为②，由①②可得，，所以点D到平面的距离为. 15.答案：（1） （2）或 解析：（1）因为，所以点A在圆C外. 设，由于AB的中点是M，所以， 所以，整理得， 所以点M的轨迹方程为. （2）因为点M的轨迹方程为， 所以M是以为圆心，5为半径的圆， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 由解得或，满足. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 由于，， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得， 所以直线l的方程为，即. 综上所述，直线l的方程为或. 16.答案：（1） （2）或 解析：（1）因为直线的方程为，所以斜率为. 若直线在y轴上的截距为，且， 则直线的斜率为1，故直线的方程为. 由得 故直线和的交点坐标为. （2）由（1）知直线与的交点为， 由题意知直线的斜率存在且不为0，设为， 则直线的方程为，与两坐标轴的交点分别为，，且，，则. 因为直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为， 所以，解得或， 故直线的方程为或， 即直线的方程为或. 17.答案：（1）证明见解析 （2） （3） 解析：（1）由是直三棱柱，得，， 又点E，F分别为棱的中点， 所以，， 则四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， 故平面. （2）直三棱柱中，故可以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 于是，. 设直线与直线AF所成角为， 则， 故直线与直线AF所成角的余弦值为. （3），则，， 设平面的法向量为， 则令，则 为平面的一个法向量， 则点F到平面的距离. 18.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：由题意可知，平面ABCD，以A为坐标原点，以AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以，即. （2）因为底面ABCD为平行四边形，所以，，故. 因为点E是PD的中点，故，所以. 设平面AEC的法向量为， 所以所以取，可得 所以平面AEC的一个法向量为. 由题意可知，平面ABC的一个法向量为， 因此， 故两法向量的夹角为，经观察，二面角为钝角， 所以二面角的大小为. 19.答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在，AH的长度为 解析：（1）证明：由题意知，在三棱柱中，平面ABC，平面ABC，则，. 又，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，. （2），，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则 令，得， 设直线AB与平面所成的角为， 则， 与平面所成角的正弦值为. （3）存在.由题意知，，，， 假设存在满足题意的点， 设（），则， 得解得即， 设平面的一个法向量为， 则令，解得 . 又平面的一个法向量为， . 整理得，由，得. 即当点H为AB的中点时，平面与平面所成角的余弦值为， 此时.即AH的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $