湖南省长沙市明德中学2026-2027学年高二上学期9月阶段测试数学试卷

**基本信息** 高二年级数学阶段测试卷立足基础，融入禁毒知识竞赛、AI应用培训等真实情境，通过函数性质分析、立体几何动态问题等设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，实现知识巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、统计等|第3题以禁毒竞赛成绩错记考查平均数中位数，体现数学眼光观察现实| |多选题|3/18|函数图像、立体几何|第11题正方体动态点问题，融合空间观念与创新意识| |填空题|3/15|倾斜角、概率独立、函数零点|第13题转盘概率独立，考查数学思维的严谨性| |解答题|5/77|直线与圆、统计、解三角形、立体几何、函数综合|第16题AI竞赛频率分布直方图，培养数据意识；第19题新集合定义，深化逻辑推理|

数学参考答案 一、选择题 1 2 又 5 7 8 9 10 11 B D 0 A D AC ABC ACD 11.【详解】对A选项，截面如图 D 在直角三角形ADP中，AP=1,AD=2,所以PD=√AP2+AD2=V5, 所以矩形CDPH的面积Scmm=CD·PD=25,故A正确； 对B选项，因为=号8a=厅，设点aM到平面CDPT的距离为，如图： 设过C点作C,W⊥CH交CH于N. 因为在正方体中，CD⊥平面BCC,B,CNc平面BCC,B,所以CD⊥CN 又因为CW⊥CH,CH∩CD=C,CH,CDC平面CDPH,所以C,N⊥平面CDPH 所以C,W就是C1点到平面CDPH的距离，当且仅当M与C1重合时，M到平面CDPH的距离h有最大值， 在直角三角形CCN中，GW=CGo∠CCN= 「5，所以=4 8ms写：-5x-有B错误 1 44 所以三棱锥P-DCM的体积V-cM=M-pco= 5 对C选项，连接M,PH⊥平面BCCB,PM=√5，所以M=1 6 在侧面BCCB中，动点M到定点H的距离为1，动点M在一段圆弧上，如图： ●M 由圆的几何性质，线段C1M≥C1H-1=√C1B?+B1H2-1=V5-1,故C正确： 对D选项，取棱AD的中点F,连接FD,FQ,再过M点作MEHF2, 因为DF‖CQ,因此DF⊥平面CDPH. 又因为MEHF2,FQlICD,所以MEIICD,且M是动点， 所以MEH平面CDPH或MEc平面CDPH,且DF⊥平面CDPH, D 故∠DME就等于DM与平面DPC所成角. B 在直角三角形DME中，AE=x,x∈[0,5]，sin∠nME=Ag Mx2+4 E 当x=0时，sin∠DME=0； 1 当x∈(0,5]时，Vx2+4 4在(0，V]单调递增，所以。 1+ 综上所述，sin∠DME∈ 5 3 即DM与平面DPC所成角正弦值的取值范围为 故D正确。 三、填空题 12.(-m,-小(V3,+∞） 13. 2 14.1 【详解】+(b-2)的最小值，等价于点(0,2)到动直线cosx·a+b+cox2x=0的距离平方的最小值， 点(0,2)到动直线cosx.a+b+cox2x=0的距离平方记为d2, 则d_(eos2x+2_2osr+1,令t=cosx+1el.2]. cos x+l cosx+1 试卷第1页（共4页） 有4=(2t1)1 故所求的最小值为1， 且当t=cos2x+1=1,即cos2x=0,即b=1时可取到 代入原函数得f)=co82x+0心osx+b,有零点x三满足条件 四、解答题 15.【详解】(1)因为A(2,0),B(1,3), 所以也中点坐标为[》又直线松的制车：03】 1-2 所以线段AB的垂直平分线1的斜率为：=} 3 即1的直线方程为(-引 化简得x-3y+3=0 (2)由垂径定理得，圆心在AB的垂直平分线l上， x-3y+3=0 联立方程得： x+2y-2=0'解得 y=1:所以圆心坐标为(0,1)， x=0 所以半径r=V(2-0+(0-1)=V5,所以圆的标准方程为x2+(y-1=5, 所以圆C的一般式方程x2+y2-2y-4=0 16.【详解】(1)(0.005+m×2+0.035+0.040)×10=1,解得m=0.010: (2)x=10×(0.005×55+0.010×65+0.040×75+0.035×85+0.010×95)=78.5, 故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为78.5： 0na8s*6-4,0n8a0ps6-2 0.005 (3) 则这6名员工中成绩在[60,70)的有4人，设这四人分别为a、b、c、d, 这6名员工中成绩在[50,60)的有2人，设这两人人分别为A、B, 则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：ab、c、ad、aA、 aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB,共15种， 其中这2名员工的成绩都在[60,70)内情况有： ab、c、cd、bc、bd、cd,共6种： 敬这2名员工的参赛成绩都在60,70)内的概率为ξ=号 17*,【详解】(1)因为bsinB-asinA=bsinc(1-0) 由正弦定理，得b2-a2-bc(1-) 整理得b2+c2-a2=bc 由余弦定理，得0sA=C=月 2bc 又AeO,),所以A= (2)由AD=+2Ac,得3AD=AB+2AC=(AD+DB+2(4D+DC) 化简得到：BD=2DC 从顶SaBn-子SaA8c=台x对besinA=是bc 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,可得b2+c2-bc=9 试卷第2页（共4页） 因为b2+c2≥2bc,所以9≥2bc-bc=bc≤9 当且仅当b=c=3时取等号。 从而SAABD=5bc≤3y5 6 2 所以△ABD面积的最大值为 18.【详解】(1)【答案】L)证明：如图，连结CD,因为E为矩形CCDD两条对角线的交点，所以E 为CD的中点 取DD的中点M,连结AM,MB,则MBCD,且MB=CD, D 因为AB/ICD,所以ABME. 因为BE/平面AADD,BEC平面ABEM,平面ABEM平面AADD=AM 所以BE∥AM,且ABME,所以四边形ABEM是平行四边形， 所以AB=MB=CD (2)因为直四棱柱ABCD-AB,CD中，且ADL CD: 故以D为原点，{DA,DC,DD}为正交基底建立如图空间直角坐标系。 则4(0.0)，B(220).设44-c,则A0.0c4(20c)MQ0,引 所8弧=(-22c.8=0,2.0).4M=（20,) AB.=0, 2y=0 设平面ABE的一个法向量=(x,y,),则 即 AMn=0, -2x+52=0 令x=C,则z=4,y=0,所以i=(c,0,4) 设直线BD,与平面ABE所成角为O, 测n0=-osBD,列F后+8E+16 2c V15 15 化简整理得c4-36c2+128=0,得c2=4或c2=32,解得c=2或4√2 所以A4=2或A4,=4V2 (3)取CC1的中点N,CD的中点F,连结BF,EF,NF 由(1)证明过程可知，平面ABE截四棱柱的截面为四边形ABM, 截得下面部分为直三棱柱ADM-BFE和四棱锥B-CFEN 设AB=a,AD=b,AA=c,则CD=2a 所以三棱柱ADM-BFB的体积乃=S.ADN DF=)AD-DM:Dr=bca=c, 2 2 四棱锥B-CBN的体积片-NBF-}FC.BF-c, 3 所以下面部分的体积为=乃+巧=气。 而四棱柱ABCD-ABC2的体积V=(a+2am)bc=abc 2 所以上面部分的体积为”=2c-5。 abc 13 abc 2 12 12 试卷第3页（共4页） 13 abc13 所以上、下两部分的体积之比为 _12 v 5 cbc 12 19.【详解】(1)由题，由(x-0)(c-1)≤0，可得0≤x≤1，故Ea=[0,1]: (2)注意到f()=x(x-2t)≥0，且x=0、x=2t是f(x)的零点， 由题意，y=f(x)在[0,2]上的最大值为f(2),最小值为f(0)=0, ①当t=0时，f(x)=x2在[0,2]上严格增，即f(O)≤f(x)≤f(2), 从而[f(x)-f(0)][f(x)-f(2]≤0对x∈o,2恒成立，即[0,2]=Ea.2; ②当t<0时，f(x)=x2-2r在[0,2]上严格增，同①分析有[0,2]二Eo2: ③当t>0时，f(x)在[0，+∞)上的表达式为f(x)= -x2+2tx,0≤x≤2t x2-2tx,x>2t 在[0,2]中的最大值为f(t)=t,最小值为f(0)=0, 若t≥2，则f(x)在[0,2]上严格增，同①分析有[0,2]=Ea2, 若t∈(0,1)，则2t∈(0,2)，在[2,2]上的最大值为f(2)=4t-4=4-4t, 所以f(2)≥f()满足要求，即4(1-t)≥P即te(0,22-2, 若te1,2),则2t∈[2,4)，此时=f(t)>f(2)=4t-4≥0恒成立， 故(2)不是[0,2]上的最大值，不满足要求，舍去， 综上，实数t的取值范围是(-∞，22-2U[2,+0): (3)充分性： 当y=f(x)是奇函数时，若x∈Eab,则[f(x)-f(a][f(x)-f(b)]≤0， 即[-f(-x)-f(@][-f(-x)-fb]≤0， 即[f(-x)+f(a][f(-x)+f(b)]≤0，所以-x∈a: 必要性： 由实数a和b的任意性，取a=-t,b=t(t>0), 显然x=t和x=-t满足f(x)-f(-t)f(x)-∫(t)≤0， 即t∈E-、-t∈E-t,则必有-te Fn、t∈f, 2f(t)[f(t)+f(仁)]≤0 即有 2f(-)[f()+f()]≤0 若f(t)+f(-t)<0,则f(t)≥0，f(-)≥0， 由同向相加性，可得∫(t)+f(-t)≥0，矛盾， 若f(t)+∫(-t)>0,则f(t)≤0，f(-)≤0，即∫(t)+f(-)≤0，矛盾， 所以f(t)+f(-)=0, 同理可证，当t<0时，取a=t,b=-t,有f(t)+f(-t)=0, 取a=0,b=1,则0eEo,有0∈o,即2f(0)[f(0)+f(]≤0： 取a=-1,b=0,则0∈E-1,有0∈F-1m,即2f(0)儿f(0)+f(-l]≤0： 由于ft)+f(-)=0,故2f(0)[f(0)-f)]≤0， 由同向相加性，得4f(0)≤0，即f(0)=0, 因此，对于任意实数x，均有f(-x)=-f(x),即y=f(x)是定义在R上的奇函数 试卷第4页（共4页） 明德中学2026年下学期阶段测试 高二年级数学试卷 2026年9月 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（ ） A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大 4．已知直线：，：．且，则实数（ ） A． B．-1 C．-2 D．2 5．若，，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A． B． C．8 D．4 7．在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数．则（ ） A．函数为单调递减函数 B． C．若恒成立，则 D．函数与函数的图象所有交点纵坐标之和为20 二、多选题（本小题共3小题，共18分。全答对得6分，有错得0分，答对部分得部分分。） 9．已知，，则（ ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 11．如图，若正方体的棱长为，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．平面截该正方体的截面面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．若，则线段长度最小值为 D．若点为棱中点，点在线段上移动（含端点），则与平面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设直线的倾斜角为，且，则直线的斜率的取值范围是_____________． 13．甲、乙两个转盘均标有数字1，2，甲转盘指向1的概率为p；乙转盘指向1的概率为q，其中．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向1”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则 ． 14．已知函数有零点，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。） 15．（13分）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 16．（15分）2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； (3)在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 17．（15分）在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值； 18．（17分）如图，在直四棱柱中，四边形 是梯形，，， 为矩形两条对角线的交点，且平面. (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求； (3)平面将该四棱柱分成上､下两部分，求上､下两部分的体积之比. 19．（17分）已知函数的定义域为，对于给定实数和，定义集合． (1)若，求； (2)设，若，求实数的取值范围； (3)设集合，证明：“对于任意给定实数和，若，均有”的充要条件是“是奇函数”． 试卷第4页（共17页） - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $