第14章 全等三角形 单元质量检测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册 -

人教版八年级上册数学《全等三角形》单元质量检测试卷 姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，在中，，为角平分线，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠后点 B落在点 E 处，判断的依据是（      ） A． B． C． D． 3．如图，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图是嘉洪测量水池两点，距离的方案，下列说法不正确的是（   ） ①先确定直线，过点作于点； ②在上取，两点，使得 △ ； ③过点作于点； ④ ※ 于点； ⑤测量 ☆ 的长度，即的长． A．△代表 B．※代表连接 C．☆代表 D．该方案运用的判定方法是 7．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（    ） A．9 B．6 C．3 D．4.5 8．如图，在与中，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，AE平分交BC于点E，于点D，如果，，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论： ①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等； ③∠BOC＝； ④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn；⑤AD＝． 其中正确的结论是（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，，以点A为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线交于点H． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为_________. 14．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于_____． 15．如图，在和中，，．（1）若添加条件________，则可用“”判定；（2）若添加条件________，则可用“”判定． 16．在中，线段是的角平分线，是边上的中线，垂直于，已知：，，，则长是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（8分）如图，在中，，，平分交于点，，垂足为点，若，求的长．    18．（10分）小明和小宇想用刚学过的数学知识来测量科艺楼的高，他们设计的测量方案是小明站在科艺楼与旗杆之间的空地上点P处，不断尝试调整位置，使得站在点P处看向旗杆顶部点M时，视线与水平线的夹角，小明转身面向科艺楼，看向科艺楼顶部点A时的视线与水平线的夹角，此时，小宇测量发现点P到科艺楼的距离和旗杆的部分的高度都是6米，测量旗杆与楼之间的距离米，小明眼睛到地面是米，请你计算科艺楼的高．    19．（12分）先按要求作图，再进行计算： (1)如图， 中， ． ①在内求作点 ，使得点到两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，则求的度数； (2)若，，，现经过顶点画一条直线，将分割成两个三角形，使其中一个三角形是有一边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 20．（12分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离 测量结果 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：_______方案二：_______． (2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 21．（10分）公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 22．（10分）如图，点A，F，C，E在同一直线上，且，，，求证：．    23．（12分）已知：，． (1)作图：作射线，使射线与交于点，且．（请用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)请根据你的作图，说明的道理． (3)若在中，，，则的面积为_________． 24．（12分）（1）基础夯实：如图1，垂足分别为D、E，，，则的长为_____． （2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线上．的边、上，，点E，F在内部的射线上，且，求证： （3）拓展应用：如图3，在中，，点D在边上，点E在线段上，若，则_____． 25．（12分）教材呈现：如图是北师版八年级下册数学教材第28页的部分内容． 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E． 求证：． 证明：∵，，垂足分别为D，E． ∴． ∵．， ∵ （全等三角形的对应边相等）． 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 定理 在一个角的内都，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． (1)感知：请利用教材中图1，证明定理“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．”（写出已知、求证和证明过程） (2)探究；如图2，在中，平分交于D，于E，于F，的两边分别与相交于M、N两点，且，请直接写出三条线段的等量关系 ． (3)拓展应用：如图3，在中，，，，平分交于D，，，则四边形的周长 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《人教版八年级上册数学《全等三角形》单元质量检测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B B C C A D 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】本题考查了角平分线的性质、点到直线的距离以及动点最值问题．掌握角平分线上点到角两边距离相等的性质，以及“垂线段最短”这一基本原理是解题的关键．首先通过面积公式，解得．再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。因此，过点D作于点E，则．根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，当P与垂足E重合时，取得最小值，且最小值等于垂线段的长度． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， 如图，过D作于点E， ∵为角平分线， ∴， ∵点到直线的垂线段最短， ∴当P与E重合时有最短，此时， ∴线段的最小值是4． 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，折叠的性质，根据长方形的性质和折叠的性质可证明，再由可证明，据此可得答案． 【详解】解：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可得解．解答本题的关键是明确题意，找准对应角，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，，故①③正确； ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确． 故选：D    5．B 【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中，斜边， ∴要利用“”判定，则应添加条件直角边或， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的实际应用，先根据方案补全作图步骤，在说明作图理由即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：①先确定直线，过点作于点； ②在上取，两点，使得；故A正确，不符合题意； ③过点作于点； ④ 作射线交于点，故B错误，符合题意 ⑤测量的长度，即的长，故C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该方案运用的判定方法是，故D正确，不符合题意； 故选：B． 7．C 【分析】作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案． 【详解】解：过点C作CN⊥OA， ∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6， ∴S△COM=， ∴， ∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB， ∴CN=CM=3． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键． 8．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明，则，又，进而求出的度数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9．A 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质定理，然后根据线段的和差得到求解即可． 【详解】∵平分，，， ∴． ∵， ∴， 故选A． 10．D 【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC＝90°＋∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE＋CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn，故④错误，根据求得的性质即可得到⑤正确． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠OBC＋∠OCB＝90°−∠A， ∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝90°＋∠A；故③正确； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF， ∵， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， ∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF，故①正确； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，如图所示： ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴S△AEF＝S△AOE＋S△AOF＝AE•OM＋AF•OD＝OD•（AE＋AF）＝mn；故④错误； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确． ∴AM＝AD，BM＝BN，CD＝CN， ∵AM＋BM＝AB，AD＋CD＝AC，BN＋CN＝BC， ∴AD＝（AB＋AC−BC）故⑤正确， 综上分析可知：正确的有①②③⑤，共4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 11．D 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作已知角的角平分线．也考查了平行线的性质，三角形外角的性质．利用基本作图得平分，再利用平行线的性质得，所以，然后根据三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】解：由作法得平分，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 12．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 13． 【分析】作，根据角平分线的性质定理求出，再根据题意可知，然后结合点所在象限得出答案即可． 【详解】如图所示，过点A作，于点E， ∵平分，，， ∴． ∵点A到y轴的距离是4， ∴． ∵点A在第二象限， ∴点A的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，角平分线性质等，求点的坐标的常用方法是从该点向坐标轴作垂线，求出相应线段的长度，再结合象限特征得出答案． 14．8 【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等于8． 【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， CD＝8， ∴点D到斜边AB的距离等于CD ∴D到斜边AB的距离为8． 故答案为∶8． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用角平分线的性质即可，比较简单，属于基础题． 15． 【分析】要使，利用“”只差一条边即可；要使，利用“”差一个角对应相等即可求解． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ， 添加的条件是：； ， ， 即． 在和中， ， ， 添加的条件是：． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，理解判定三角形全等的“”和“”是解答关键． 16．4 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．过D点作于F点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长． 【详解】解：过D点作于F点，如图， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵线段是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：4． 17． 【分析】如图．过点作于首先证明，解直角三角形分别求出，即可解决问题．本题考查角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：如图．过点作于．   平分，，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ． 18．米 【分析】首先证明，再利用证明，得到，再利用线段的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵（米），（米）， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 答：科艺楼AB高是米． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 19．(1)①图见解析；② (2) 条 【分析】（1）根据题意，作图方法如图所示（见详解），因为即点既在线段的垂直平分线上，也在的角平分线线上，，，根据三角形内角和即可求出答案； （2）构造等腰三角形，必须过的顶点，由此可知满足顶点与任意一边即可，满足腰相等即可求出答案． 【详解】（1）解：①如图所示， 点到两点的距离相等， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵到两边的距离相等， ∴点在的角平分线线上， 即点既在线段的垂直平分线上，也在的角平分线线上，作图如上所示， 点P即为所求点； ②∵点在线段的垂直平分线上， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案是：所求点 在如图所示位置；． （2）解：如图所示， 经过顶点画一条直线，将分割成两个三角形，使其中一个三角形是有一边长为的等腰三角形， ∴当 时，是边长为的等腰三角形，满足条件； 当 时，是边长为的等腰三角形，满足条件； 当 时，是边长为的等腰三角形，满足条件； 当 时，是边长为的等腰三角形，都能得到符合题意的等腰三角形． ∴这样的直线最多可画 条． 故答案是： 条． 【点睛】本题主要考查三角形图形变换，利用尺规作图，结合三角形的内角和求角度，理解三角形的性质，垂直平分线，角平分线，等腰三角形的知识是解题的关键． 20．(1)②，③ (2) 计算过程： 方案一： 为的中点， ， ， ， 在和， ； ． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质解决实际问题，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由题意，结合三角形全等的判定定理求解即可得到答案； （2）由（1）中方案一的求解过程，得到，再由全等三角形的性质即可得到水潭的宽度． 【详解】（1）解：方案一： 为的中点， ， ， ， 在和， ； 为的中点， ， ， ， 在和， ； 综上所述，方案一：②； 在和， ； 则方案二：③； 故答案为：②，③； （2）略 21．应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米． 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是根据题意，，则，根据垂直的性质，则，则，根据等量代换，，全等三角形的判定和性质，则，得到，，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵、两所学校到的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米． 22． 证明：， ， 又， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【分析】利用平行线的性质可得，再利用全等三角形的判定及性质可得，再利用平行线的判定即可求证结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 23．(1) 如图，射线即为所求． (2) 如图，连接， (3)． 【分析】（）根据角平分线的基本作法作图； （）连接，通过证明即可； （）过作于点，则，然后由面积公式即可求解； 本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由作图可知：，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过作于点， 由作图可知平分， ∵，即， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 24．（1）3； （2）证明：如图2所示： ，，且， ， ， ， 在和中， ， （3） 【分析】（1）由，，得，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）由，推导出，由，得，而，即可根据“”证明； （3）在上截取，连接，由，得，而，即可根据“”证明，则，由，设，则求得，则，所以，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解： 如图1：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：3； （2）略 （3）解：如图3， 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 即 ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查同角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质、数形结合及类比等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 25．(1) 已知：如图，于D，于E，且， 求证：平分． 证明：∵于D，于E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即：平分； (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等证明即可； （2）证明，，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求，再求解即可； （3）过点D作于E，根据（2）求出，根据角平分线的定义求出，根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边可得，根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半可得，然后求出，进而可以解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：， 证明如下：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3，过点D作于E， 同（2）可得， ∵，平分交于D， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $