精品解析：天津市第四中学2026-2027学年高三年级上学期9月开学学情调查数学试题

2027届高三暑假数学学科学情调查 一、单选题：本题共15小题，每小题6分，共90分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A、B，再求. 【详解】， ∴. 故选：C 2. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由零点存在性定理运算即可得解. 【详解】由题意，函数是增函数并且是连续函数， 因为，，， ， 所以， 所以函数的零点在区间． 故选：B． 5. 下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（ ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的运算性质得①正确，利用相关系数的性质得②错误，利用条件概率公式和相互独立事件的判断方法可得③正确，利用百分位数的求法可得④错误，即可求解． 【详解】对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4， 则数据，，…，的方差为，标准差为，所以命题①正确； 对于命题②，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以命题②错误； 对于命题③，因为，得到，则事件与事件相互独立，所以命题③正确； 对于命题④，将数据从小到大排序为， 因为，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误. 6. 已知偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是(　　) A. f(a＋1)≥f(b＋2) B. f(a＋1)＜f(b＋2) C. f(a＋1)≤f(b＋2) D. f(a＋1)＞f(b＋2) 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数f(x)＝loga|x－b|为偶函数， 则f(－x)＝f(x)， 而f(－x)＝loga|－x－b|＝loga|x＋b|， 所以loga|x－b|＝loga|x＋b|，即|x－b|＝|x＋b|， 所以b＝0，故f(x)＝loga|x|. 因为当x∈(－∞，0)时，f(x)＝loga|x|＝loga(－x)， 其中y＝－x为减函数， 而已知f(x)在(－∞，0)上单调递增， 所以0＜a＜1，故1＜a＋1＜2， 而b＋2＝2，故1＜a＋1＜b＋2. 又因为偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以在(0，＋∞)上单调递减，故f(a＋1)＞f(b＋2)，选D. 点睛：1、函数 为偶函数，求解析式中字母的值有两种方法：①；②特殊的实数；2、对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 7. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可求出，由即可求出的值. 【详解】根据正态分布的概率密度函数的对称性可知， 则， 故选:B. 【点睛】本题考查了正态分布密度曲线的性质，考查了转化思想，属于基础题. 8. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2． 当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1． 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或，解得或． 故应选：D． 9. 已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 10. 已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用奇偶性把不等式化为，再由单调性脱去函数符号转化为二次不等式，最后与定义域限定的区间取交集. 【详解】由为奇函数且在上单调递减知在上单调递减， 则化为， 由单调性得，即，解得或； 由定义域得且， 即且，故； 两式取交集得或. 11. 第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与负相关 B. 当时，残差为0.2 C. 可以预测当时销量约为2.1万只 D. 线性回归方程中 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关， 故正确，A不符合题意； 对于选项B，由表中数据知，， 所以样本中心点为，将样本中心点代入中得， 所以线性回归方程为， 所以，残差，故错误，B符合题意； 对于选项C，当时销量约为（万只），故正确，C不符合题意； 对于选项D，由B选项可知，故正确，D不符合题意. 故选：B. 12. 函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由可得，则，设，，利用导数求得最小值即可求解. 【详解】由可得， 由可得， 所以 设，，则， 记，则恒成立， 所以即在上单调递增， 且， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以的最小值为， 故选：C. 13. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了100人，得到如下列联表： 男生 女生 总计 更喜欢“冰墩墩” 30 10 40 更喜欢“雪容融” 30 30 60 总计 60 40 100 参考公式：，其中. 附表： 则下列说法中正确的是（ ） A. 有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关” B. 有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关” D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关” 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件求出观测值，同观测值表中的进行检验，即可得出答案. 【详解】由题意可得：， 所以有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”. 故选：A. 14. 若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以 ①， 又因为切点在直线上，所以，即 ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 15. 已知函数若方程有两个不相等的实数解，，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先做出函数的图象，然后利用方程有两个不相等的实数解，即函数与有两个不同的焦点，从而得到的取值范围，然后分别求出两个根，将用表示出来，然后再求最值即可. 【详解】作出函数的图象，如图 因为方程有两个不相等的实数解，，且 所以或，则有且， 解得，， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分. 16. 已知，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 17. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数式与对数式互化关系及指数运算法则求解即得. 【详解】由，得，即，所以. 故答案为： 18. 已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】（－4，4] 【解析】 【分析】由题意可得≤2，且在[2，＋∞）上的最小值大于零，从而可得解不等式组可得答案 【详解】二次函数的对称轴为x＝， 由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0， 即解得－4<a≤4． 故答案为：（－4，4] 19. 已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为X，则X的数学期望__________；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式可求第一空；利用条件概率可求第二空. 【详解】由题知，三次罚球命中的次数，所以； 记事件为“该运动员没有全部命中”， 记事件 “恰好命中两次”， 则，， 由条件概率知. 故答案为：； 20. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解. 【详解】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为： 21. 已知函数若存在实数，使得方程有4个不同实根且，则的取值范围是_________；的值为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；是方程的两根，则可求得，即，，是方程的两个根，化简结合韦达定理得，进而可求的值. 【详解】由，即 由结合图象可知的取值范围是， 是方程的两根，即， 故，即， 由题意得，是方程的两个根，即方程的两个根， 所以，则 故答案为：，. 三、解答题：本题共24分，第一小问6分，第二小问12分，第三小问6分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22. 已知函数是偶函数，. （1）求的解析式； （2）若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）通过求得，验证即可； （2）将的表达式化简为，，利用换元法得，，最后分类讨论求函数最值即可； （3）由题知方程无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数的值域即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，. 所以， 解得，经验证符合题意， 所以； 【小问2详解】 由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为； 【小问3详解】 由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三暑假数学学科学情调查 一、单选题：本题共15小题，每小题6分，共90分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（ ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是(　　) A. f(a＋1)≥f(b＋2) B. f(a＋1)＜f(b＋2) C. f(a＋1)≤f(b＋2) D. f(a＋1)＞f(b＋2) 7. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与负相关 B. 当时，残差为0.2 C. 可以预测当时销量约为2.1万只 D. 线性回归方程中 12. 函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 13. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了100人，得到如下列联表： 男生 女生 总计 更喜欢“冰墩墩” 30 10 40 更喜欢“雪容融” 30 30 60 总计 60 40 100 参考公式：，其中. 附表： 则下列说法中正确的是（ ） A. 有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关” B. 有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关” D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关” 14. 若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. e 15. 已知函数若方程有两个不相等的实数解，，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分. 16. 已知，且，则的最小值为_____________. 17. 已知，则______. 18. 已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________． 19. 已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为X，则X的数学期望__________；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为__________． 20. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 21. 已知函数若存在实数，使得方程有4个不同实根且，则的取值范围是_________；的值为__________. 三、解答题：本题共24分，第一小问6分，第二小问12分，第三小问6分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22. 已知函数是偶函数，. （1）求的解析式； （2）若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $