精品解析：天津市第二中学2026-2027学年高三年级上学期假期知识阶段性回顾数学试题

2026-2027（一）天津二中高三年级假期知识阶段性回顾 数学学科试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. ， B. ， C. 设，为向量，则“”是“”的必要不充分条件 D. “，”是“”的充分不必要条件 3. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列有关线性回归分析的六个命题： ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关性系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1； ⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； ⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好. 其中真命题的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 设是数列的前n项和，若，则（ ） A. 4045 B. 4043 C. 4041 D. 2021 7. 若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 在正方体中，下列说法错误的是（ ） A. B. 与所成角为 C. 平面 D. 与平面所成角为 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 已知i是虚数单位，复数满足，则______. 11. 若在展开式中，若奇数项的二项式系数之和为，则含的系数是_____________. 12. 中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 13. 在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为_______，病人有症状时患疾病的概率为_______（症状只在患有疾病，，时出现） 14. 在平行四边形中，分别是线段的中点.记，，用和表示__________.；若延长交于点，则平行四边形面积的最大值为__________. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题（本题包含5道题，共75分） 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 已知函数（其中常数）． （1）若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； （2）若，，求函数的值域及零点． 18. 如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）利用（2）的结论证明：． 20. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027（一）天津二中高三年级假期知识阶段性回顾 数学学科试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可根据交集运算求解. 【详解】由题知，， 又集合，所以. 故选：B 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. ， B. ， C. 设，为向量，则“”是“”的必要不充分条件 D. “，”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：根据指数函数的值域性质判断；选项B：通过举特殊值的方法验证；选项C：根据平面向量数量积的公式，先推导的等价条件，再判断其与的充分性和必要性关系；选项D：结合不等式性质确定充分性和必要性. 【详解】对A，根据指数函数的性质，对任意实数，都有，不存在使得，A错误； 对B，取，此时，，不成立，B错误； 对C，由（为两向量夹角）， 若，则，即或，故； 反之若，则，满足，因此二者是充要条件，C错误． 对D，若，根据不等式性质显然可得，充分性成立； 反之无法推出，例如，满足但，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，D正确 . 3. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可 【详解】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意， 对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意， 对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意， 对于D，因为，所以是奇函数，所以不合题意， 故选：C 4. 下列有关线性回归分析的六个命题： ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关性系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1； ⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； ⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好. 其中真命题的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据线性回归方程的几何体特征及残差，相关指数的概论，逐一分析四个选项的正误，可得结论. 详解：①线性回归直线必过样本数据中心点，故①正确； ②回归直线方程在散点图中可能不经过任意样本数据点，故②错误； ③当相关性系数时，则两个变量正相关，故③正确； ④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1或，故④错误； ⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故⑤错误； ⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，故⑥错误， 真命题的个数为，故选B. 点睛：本题以命题的真假判断为截体，考查了相关关系，回归分析、残差、相关指数等知识点，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，难度不大，属于基础题. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求解. 【详解】因为，， ， 所以. 6. 设是数列的前n项和，若，则（ ） A. 4045 B. 4043 C. 4041 D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】根据计算可得； 【详解】解：因为， 所以； 故选：A 7. 若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 8. 在正方体中，下列说法错误的是（ ） A. B. 与所成角为 C. 平面 D. 与平面所成角为 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误. 【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直 线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、、， 对于A选项，，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，则， 所以，与所成角的大小为，B对； 对于C选项，设平面的法向量为，， 则，取，则， 则，所以，， 又因为平面，所以，平面，C对； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，则， 所以，， 所以，与平面所成角为为，D错. 故选：D. 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合双曲线的图形，过作轴，根据题设条件分别表示出，，然后利用斜率公式得到关于的等式，进而即可求解. 【详解】 如图，过作轴，交轴于点， 因为，所以，所以； 因为为等腰三角形，所以，所以； 因为是双曲线的左顶点，所以，所以， 因为点在过且斜率为的直线上，所以直线的斜率为，即； 在中，； 所以，即，即，所以的离心率为. 故选：B. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 已知i是虚数单位，复数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化简复数，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 11. 若在展开式中，若奇数项的二项式系数之和为，则含的系数是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，奇数项的二项式系数之和为，求出，然后求出展开式的通项，利用的指数为，求出参数的值，然后将参数的值代入通项，即可求出含项的系数. 【详解】由题意可知，奇数项的二项式系数之和为，解得， 展开式的通项为， 令，得，因此，展开式中含的系数为. 故答案为. 【点睛】本题考查二项展开式中奇数项系数和的问题，同时也考查了二项展开式中指定项系数的求解，一般利用展开式通项来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 12. 中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得解. 【详解】已知，可得， 根据余弦定理， 将，，代入上式：， 化简得：，，解得：(边长为正，舍去负根). 13. 在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为_______，病人有症状时患疾病的概率为_______（症状只在患有疾病，，时出现） 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果. 【详解】由题意可知：，，， ，，， 由全概率公式可知： ， 即任意一位病人有症状的概率为， 由贝叶斯公式可知： ， 即病人有症状时患疾病的概率为. 故答案为：，. 14. 在平行四边形中，分别是线段的中点.记，，用和表示__________.；若延长交于点，则平行四边形面积的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用中点与共线条件，将点 的位置用参数 表示，并通过向量共线建立方程解出 与 ，从而确定 与 的表达式；再将已知的 的值代入，结合与的夹角关系转化为关于 x, y的方程；最后使用基本不等式求出 xy的最大值，进而得到平行四边形面积的最大值. 【详解】如图，因为 是 中点，所以 ，. 又 是 AE 中点，故 ，. 设 ，则 . 由 共线，，即 ， 得 ，，，故 . 又 ，. 设 ，，则， 代入得 . 由基本不等式 ，得 ，当且仅当时等号成立. 平行四边形面积 ，故 . 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】当时，利用导数分析函数的单调性，可判断①②的正误；利用函数的最值与导数的关系可判断③的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数有两个极值点，①对； 对于②，当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，②错； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， 因为，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③对； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①③④. 三、解答题（本题包含5道题，共75分） 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 17. 已知函数（其中常数）． （1）若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； （2）若，，求函数的值域及零点． 【答案】（1），； （2）；. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可. 【小问1详解】 由， 若函数的最小正周期是，则，即，所以， 令，解之得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知：，若，则， 则时，有，则， 故，函数值域为， 而在上，只有，即， 即函数的零点为. 18. 如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，则， 且，∴且， 则四边形为平行四边形，． 又平面平面， 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明即可； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值； （3）向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则 即令，则，得到平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 解：，， 点到平面的距离． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）利用（2）的结论证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明： 由（2）知，，即，当且仅当时取等号， 则当时，，，…，， 因此， 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由不等式恒成立，分离参数构造函数，再求出函数的最大值即得. （3）结合（2）的结论得，，再利用不等式的性质推理即得. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，，令， 依题意，，恒成立， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以. 【小问3详解】 略. 20. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2）（i）； （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得， 所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且， 所以，解得． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $