精品解析：天津市耀华中学红桥学校2026--2027学年高三上学期开学检测数学试卷

数学红桥耀华26秋高三开学考试卷 耀华中学红桥学校2026.8高三数学开学检测 一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分） 1. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得解. 【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B 2. 已知 ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式与分式不等式求得集合，可得结论. 【详解】解二次不等式，可得，则， 解分式不等式，可得，则， 因为，所以是的充要条件. 故选：C. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值法进行判断即可. 【详解】，解得且， 令，则， 故函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除C选项； ，排除D选项； ，故可排除A选项. 故选：B 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数与对数函数的单调性与1，2比较大小即可得出答案． 【详解】因为， ，， 所以. 故选：A. 5. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量y与x正相关 B. 线性回归方程中 C. 时，残差为0.02 D. 可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只） 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用表中的数据分析即可求解；对于B，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于C，利用预测值和残差的定义即可求解；对于D，利用回归方程即可求出预测值. 【详解】对于A，从数据看随的增加而增加，所以变量y与x正相关，故A正确； 对于B，由表中数据知， 所以样本中心点为， 将样本中心点代入中得，故B错误； 对于C，线性回归方程为， 所以，，故C正确； 对于D，当时该商场5G手机销量约为（千只），故D正确. 故选：B. 6. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合.当时，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得有周期，则可得，结合可得，再利用函数对称性，可得，代入计算即可得解. 【详解】将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合， 则有周期，则有，即， 又，故，即， 当时，，则在上单调递减， 由，则，即， 则. 7. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦，余弦公式将函数化简，然后根据变量的取值范围和余弦函数的图像即可求解. 【详解】 ． 当时，． 在内有且仅有2个零点，，． 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点坐标，求出直线方程，进而求得坐标，然后利用垂直的斜率关系列出的齐次方程，解之即得. 【详解】依题意，由双曲线的对称性，不妨让在轴的上方，如图， 把代入中，利用，解得：，故， 所以直线的方程为，整理得，所以， 由得，整理得，所以， 两边同除以，得，解得（负根舍去），故. 故选：B 9. 陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，设此时球形材料的半径为，由勾股定理求出外接球的半径，即可求出其体积. 【详解】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小， 设此时球形材料的半径为，由题意得，解得， 所以球形材料的体积最小值为. 故选：D. 二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上） 10. 若复数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】法一：． 法二：∵，∴， ∴. 11. 二项式的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】写出的通项公式，再列式计算，代入即可得系数. 【详解】已知的通项公式为，令，得，所以展开式中的系数为. 故答案为： 12. 已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程先确定其焦点坐标，由两直线的位置关系得出方程，再由直线与圆的位置关系、弦长公式计算即可. 【详解】由抛物线知其焦点， 又与直线垂直，则的斜率为， 所以的方程为，即， 整理圆的方程为， 即圆心为，半径为， 根据点到直线的距离公式得圆心到的距离， 所以该圆与相交所得的弦长为. 故答案为：. 13. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率. 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲获胜的概率， 事件表示“甲第一局获胜”，则， 所以. 故答案为：， 14. 已知梯形中，为的中点，为与的交点，，则__________；若，则的余弦值为__________. 【答案】 ①. ##1.25 ②. ## 【解析】 【分析】(1)利用向量的共线定理即可求解；(2)利用向量的运算结合数量积求夹角公式求出所成的角的余弦值即可求解. 【详解】 根据题意，梯形中，， 为中点， 则 ， 所以，所以,. 是所成的角，设所成的角为， 则，所以， ， 所以，所以， ， 则的余弦值为. 故答案为：；. 15. 函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】转化为函数与直线的图象有2个交点，画出函数的图象，分、、讨论，结合图象可得答案. 【详解】有2个不相等的实数根，即函数与直线的图象有2个交点， 当时，函数与直线的图象有2个交点，符合题意； 当时，由是函数与直线的图象的1个交点， 只需函数与直线有1个交点即可， 当直线与函数相切时， 设切点为，可得，且，， 可得， 因为与的图象只有1个交点， 可得是的解， 所以时直线与的图象有2个交点，符合题意； 当时，由，可得， 要使与的图象有2个交点， 只需在只有一解即可， 可得，解得. 综上所述，实数a的取值范围是或. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为函数与直线的图象交点个数问题，考查了学生的抽象思维能力. 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上． 16. 在中，角所对的边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可求答案； （2）利用正弦定理求出，结合余弦定理可求答案； （3）先利用倍角公式求出，再利用和角公式可求答案. 【小问1详解】 因为, 根据正弦定理得， 整理得, 根据余弦定理, 可得， 又因为,（是的内角）, 所以. 【小问2详解】 由正弦定理，得， 由（1）知，结合， 由余弦定理得，. 【小问3详解】 由已知得， ， . 17. 如图所示，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是等腰梯形，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 依题意，，，所以． 因为，则有，所以． 又，所以平面． 则以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面内过点且垂直于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，，， 所以，， 所以，，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系应用空间向量数量积为0得出线线垂直，进而应用线面垂直判定定理得出线面垂直； （2） 先求出平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （3）先得出平面的一个法向量结合（2）应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 设平面的一个法向量为， 则即解得 令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆C上，且直线的斜率与直线的斜率之积为． （1）求椭圆C的方程； （2）M为C的上顶点，直线l交C于E，Q（异于A，B）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求M到l的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用斜率积及点在椭圆上列式计算求解得出椭圆方程； （2）先设直线方程，再联立方程组得出韦达定理，应用，进而得出，计算得出，最后计算得距离的最大值. 【小问1详解】 因为，，由题意得，， 解得，，所以椭圆方程为． 又因为点在椭圆C上，所以，解得，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由E，Q不同于A，B，当直线l垂直于y轴时，与异号，不满足题意， 所以直线l不与y轴垂直，设其方程为，，， 联立，得， ，即， 则，． 又因为，， 所以，，直线的斜率， 由在C上，得，即， 因此， 因为，所以， 由 ，解得， 所以直线l的方程为，所以直线l过定点． 又因为，则当时，点M到直线l的距离取得最大值， 即点M到直线l的距离的最大值为． 19. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，． （1）求数列与的通项公式； （2）的前项和为，求证：； （3）求． 【答案】（1）， （2） 由已知 左式，右式， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式列出方程组，解之即可求解； （2）结合已知条件可得，则，由（1）可知，进而得证； （3）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设，，， 由已知，， ，解为， ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知， ① ② 为， . 20. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若存在，使得．证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由函数， 可得， 设，由， 可得， 则， 又由，可得， ∴函数为单调递增函数， ∴，即， ∴， 由（2）知，当时，，， ∴， 即， ∴， 代入可得： ， 则， ∴， 又因为时，， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）对求导，再结合导数的几何意义求切线方程即可； （2）方法一：构造函数，结合导数分和两种情况进行讨论即可求得k的范围； 方法二：构造函数，只需在时恒成立即可 又，且所以要使当时，，必须满足，即，再根据这个结论进行验证即可； 方法三：利用参变分离的方法，构造函数，，最后需要结合洛必达法则求解； （3）由，可得，利用函数为单调递增函数，可得，所以，结合（2）得，代入化简得，又因为时，所以得. 【小问1详解】 当时，， ∴ 又∴ ∴切线方程为； 【小问2详解】 方法一： 设 只需在时恒成立即可 又，且 所以要使当时，， 必须满足，即． 下面证明时满足题意： ①当时，由，， 令， 由（1）知，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； ②当时，， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 方法二： 设， 则， 令，则， 当时，， ，在上单调递增， 即在上单调递增， 所以所以在上单调递增， 所以， 所以符合题意； 当时，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即在上恒成立， 所以， 所以符合题意； 当时，在上恒成立， 在上单调递增， 即在上单调递增，又因为 当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时， 综上所述，实数的取值范围是． 方法三：参变分离得： 令，， ∵，∴ ∴在区间上单调递减 ∴ ∴ ∴在区间上单调递减 ∴ ∴ ∴在区间上单调递减 ∴ 由洛必达法则可得： 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】利用导数解决函数中的恒成立问题，常用以下两种方法： ①参变分离法：参变分离法是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边，从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离； ②含参讨论法：含参讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学红桥耀华26秋高三开学考试卷 耀华中学红桥学校2026.8高三数学开学检测 一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分） 1. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量y与x正相关 B. 线性回归方程中 C. 时，残差为0.02 D. 可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只） 6. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合.当时，，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上） 10. 若复数，则______． 11. 二项式的展开式中的系数为___________. 12. 已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为________. 13. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是________． 14. 已知梯形中，为的中点，为与的交点，，则__________；若，则的余弦值为__________. 15. 函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上． 16. 在中，角所对的边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 17. 如图所示，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是等腰梯形，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆C上，且直线的斜率与直线的斜率之积为． （1）求椭圆C的方程； （2）M为C的上顶点，直线l交C于E，Q（异于A，B）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求M到l的距离的最大值． 19. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，． （1）求数列与的通项公式； （2）的前项和为，求证：； （3）求． 20. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若存在，使得．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $