5.2解一元一次方程2026-2027学年人教版七年级数学上册

5.2解一元一次方程 用合并同类项解一元一次方程 知识点 /1解一元一次方程——合并同类项 1.解下列方程时，合并同类项不正确的是 ( ) A.5x-4x=1,合并同类项,得x=1 B.3x-5x=-2,合并同类项,得-2x=-2 C.2x-3x-4x=1,合并同类项,得x=1 D. 合并同类项，得 2.一题多解一元一次方程8y+y=9+9的解为 ( ) A. y=-2 B. C. y=0 D. y=2 3.在有理数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为a⊕b=-2a+3b.如1⊕5= -2×1+3×5=13,则x⊕4x=20的解为 . 4. >教材P121T1变式解下列方程: (1)-3x+6x=18; (2)2x-7x+8x=9-12+1; 知识点 2 用合并同类项解一元一次方程的应用 5.[2026绍兴柯桥区期末]如图，两个长方形重叠部分的面积等于大长方形面积的 ，等于小长方形面积的 .已知阴影部分的面积为9 cm²，则重叠部分的面积为 cm². 6.教材P121T3变式[2025北京石景山区期末]某工人制作1个A零件、1个B零件、1个C零件所用的时间之比为1：2：3，他制作2个A零件、3个B零件、4个C零件共用10工时.若他要制作14个A零件、10个B零件、12个C零件，则需要的时间是 工时. 7.新考向·数学文化[2026 无锡锡山区期末]在我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”.内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯. 用移项解一元一次方程 知识点 1 解一元一次方程——移项 1.易错题[2026汕头潮南区期末]如图是解一元一次方程的过程，“□”所代表的内容是 ( ) A. +2x B. - 2x C. D. 2. [2026泸州龙马潭区期末]解方程-3x+5=2x-1时，移项正确的是 ( ) A.3x-2x=-1+5 B.-3x-2x=5-1 C.3x-2x=-1-5 D.-3x-2x=-1-5 3.已知y=-2x+1,若y=-2,则x的值为 ( ) A.5 C. B. D. 4.[2026邯郸丛台区期末]已知关于x的方程2x+a=1-x与方程2x-3 =1的解互为相反数，则a的值为 . 5.教材P124T1 变式解下列方程: (1)2x-8=10-3x; (2)7x-3=4x+6; 知识点 2 用移项解一元一次方程的应用 6.新考向·数学文化[2025德阳中考]在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何.”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16 文钱.问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少.设买鸡的人数为x，则x为( ) A.5 B.7 C.8 D.9 7.[2026榆林横山区月考]甲、乙两个粮仓原来的小麦质量之比是3：5，给甲粮仓运进2吨小麦，从乙粮仓运出4 吨小麦，现在甲、乙两个粮仓小麦的质量相同，则甲粮仓原来的小麦质量是多少吨? 过素养 综合创新应用 8.运算能力[2026安庆大观区期中]观察下列两个等式： 给出定义如下：我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为(a，b)，如：数对(2, ),(5, )都是“共生有理数对”. (1)数对(-2,1), 中是“共生有理数对”的是 ) ; (2)若(a,3)是“共生有理数对”,则a的值为 ; (3)若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”. 用去分母解一元一次方程 知识点/1解一元一次方程——去分母 1.》易错题 [2026漳州长泰区期中]在解方程 时，去分母后正确的是 ( ) A.2(y+2)-7-y=1 B.2(y+2)-(7-y)=1 C.2(y+2)-(7-y)=4 D.4(y+2)-2(7-y)=4 2.>教材P147T4变式已知代数式 的值比代数式 的值大1，则x的值为 3.新考向·过程性学习 [2023 衢州中考]小红在解方程 时，第一步出现了错误： 解:2×7x=(4x-1)+1, (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处； (2)写出你的解答过程. 4.教材P129T1 变式解下列方程: 课时检测 知识点 2 用去分母解一元一次方程的应用 5.新考向·数学文化[2025北京十一学校期中]《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱，三年共得100钱，则出租的田有 亩. 6.》一题多解 小王步行，预计用相同的时间往返于甲、乙两地，去时的速度是6km/h，结果早到20 min,返回时,速度为4k m/h,结果晚到了5min，求甲、乙两地的路程. . 7.小军同学利用去分母解关于x的方程 时，方程右边的-1视频解题没有乘2，因而求得方程的解为x=3，则m的值和方程的正确解分别为 ( ) A.2,x=2 B.2,x=3 C.3,x=2 D.3,x=3 8.[2026宣城六中期中]已知关于x的方程 的解是整数，则满足条件的所有整数 m的值的和为 . 9.》一题多解若关于x的方程 无论k取何值，它的解总是x=2，则m+n的值为 . 10.解下列方程： 11.[2025南京鼓楼区期末改编]用A 型和B 型机器生产同样的产品，已知5 台A型机器生产一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器生产一天的产品装满11 箱后还剩1个. (1)若每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，则每箱装多少个产品? (2)每台A型机器与B型机器每天生产的产品数量能相等吗?用你学过的数学知识做出解释. 综合创新应用 12.模型观念[2025北京中考]北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10 cm，图1中 BC 的长是门条长的 ，AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高. 一题多变 不解方程，利用方程结构的一致性确定方程的解 方法指导 解决此类题的方法是通过方程变形将两个形式相似的一元一次方程建立联系，结合已知方程的解求另一方程的解，核心是抓住方程结构的一致性与解的对应关系. 1.直接根据方程结构的一致性求解[2026信阳平桥区期末] 已知关于x的一元一次方程 2025x-m的解为x=20,那么关于y的一元一次方程 为y=的解() A.21 B. - 20 C.16 一题练透 一元一次方程与字母参数 已知关于x的方程 (1)若m=-1,则该方程的解是x=0 ; (2)若x=5是方程的解，求 的值； (3)某同学在解该方程时，误将“ ”看作“ ”,得到方程的解为x=1，求m的值； (4)若该方程的解与方程 的解相同，求m的值； (5)若该方程的解与方程7x=﹣2(x+3)的解互为相反数，求m的值； (6)若该方程有正整数解，则整数m的最小值是 6 . 5.2解一元一次方程 用合并同类项解一元一次方程 知识点 /1解一元一次方程——合并同类项 1.解下列方程时，合并同类项不正确的是 (C) A.5x-4x=1,合并同类项,得x=1 B.3x-5x=-2,合并同类项,得-2x=-2 C.2x-3x-4x=1,合并同类项,得x=1 D. 合并同类项，得 2.一题多解一元一次方程8y+y=9+9的解为 (D) A. y=-2 B. C. y=0 D. y=2 3.在有理数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为a⊕b=-2a+3b.如1⊕5= -2×1+3×5=13,则x⊕4x=20的解为x=2 . 4. >教材P121T1变式解下列方程: (1)-3x+6x=18; 解:合并同类项,得3x=18. 系数化为1,得x=6. (2)2x-7x+8x=9-12+1; 解:合并同类项,得3x= -2. 系数化为1，得 解：合并同类项，得2x=5. 系数化为1，得 解：合并同类项，得 系数化为1，得 知识点 2 用合并同类项解一元一次方程的应用 5.[2026绍兴柯桥区期末]如图，两个长方形重叠部分的面积等于大长方形面积的 ，等于小长方形面积的 .已知阴影部分的面积为9 cm²，则重叠部分的面积为 1 cm². 6.教材P121T3变式[2025北京石景山区期末]某工人制作1个A零件、1个B零件、1个C零件所用的时间之比为1：2：3，他制作2个A零件、3个B零件、4个C零件共用10工时.若他要制作14个A零件、10个B零件、12个C零件，则需要的时间是 35 工时. 7.新考向·数学文化[2026 无锡锡山区期末]在我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”.内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯. 解：设塔的顶层有x盏灯， 由题意得,x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381,解得x=3. 答：塔的顶层有3盏灯. 用移项解一元一次方程 知识点 1 解一元一次方程——移项 1.易错题[2026汕头潮南区期末]如图是解一元一次方程的过程，“□”所代表的内容是 (A) A. +2x B. - 2x C. D. 2. [2026泸州龙马潭区期末]解方程-3x+5=2x-1时，移项正确的是 (D) A.3x-2x=-1+5 B.-3x-2x=5-1 C.3x-2x=-1-5 D.-3x-2x=-1-5 3.已知y=-2x+1,若y=-2,则x的值为 (B) A.5 C. B. D. 4.[2026邯郸丛台区期末]已知关于x的方程2x+a=1-x与方程2x-3 =1的解互为相反数，则a的值为 7 . 5.教材P124T1 变式解下列方程: (1)2x-8=10-3x; (2)7x-3=4x+6; 解:(1)移项,得2x+3x=10+8. 合并同类项，得55x=18. 系数化为1，得 (2)移项,得7x-4x=6+3. 合并同类项，得3x=9. 系数化为1,得x=3. 解:(3)移项,得 合并同类项，得 系数化为1，得y=-6. (4)移项,得 合并同类项，得 系数化为1，得 知识点 2 用移项解一元一次方程的应用 6.新考向·数学文化[2025德阳中考]在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何.”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16 文钱.问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少.设买鸡的人数为x，则x为(D) A.5 B.7 C.8 D.9 7.[2026榆林横山区月考]甲、乙两个粮仓原来的小麦质量之比是3：5，给甲粮仓运进2吨小麦，从乙粮仓运出4 吨小麦，现在甲、乙两个粮仓小麦的质量相同，则甲粮仓原来的小麦质量是多少吨? 解：设甲粮仓原来的小麦质量为3x吨，则乙粮仓原来的小麦质量为5x吨.根据题意，得3x+2=5x-4,解得x=3,所以3x=9. 答：甲粮仓原来的小麦质量是9吨. 过素养 综合创新应用 8.运算能力[2026安庆大观区期中]观察下列两个等式： 给出定义如下：我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为(a，b)，如：数对(2, ),(5, )都是“共生有理数对”. (1)数对(-2,1), 中是“共生有理数对”的是 (3, ) ; (2)若(a,3)是“共生有理数对”,则a的值为 2,一 ; (3)若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”. 解：(3)因为4是“共生有理数对”中的一个有理数，所以分4是定义中的“a”或“b”两种情况讨论： 当这个“共生有理数对”是(x，4)时，,x-4=4x +1,解得 此时“共生有理数对”是 当这个“共生有理数对”是(4,y)时,4-y=4y+1,解得 ，此时“共生有理数对”是(4， ). 综上所述，这个“共生有理数对”是( 或(4, )). 用去分母解一元一次方程 知识点/1解一元一次方程——去分母 1.》易错题 [2026漳州长泰区期中]在解方程 时，去分母后正确的是 (C) A.2(y+2)-7-y=1 B.2(y+2)-(7-y)=1 C.2(y+2)-(7-y)=4 D.4(y+2)-2(7-y)=4 2.>教材P147T4变式已知代数式 的值比代数式 的值大1，则x的值为 3.新考向·过程性学习 [2023 衢州中考]小红在解方程 时，第一步出现了错误： 解:2×7x=(4x-1)+1, (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处； (2)写出你的解答过程. 解:(1)如图. 解:2×7x=(4x-1)+1,.. (2)去分母,得2×7x=(4x-1)+6, 去括号,得14x=4x-1+6. 移项,得14x-4x=-1+6. 合并同类项,得10x=5. 系数化为1，得 4.教材P129T1 变式解下列方程: 解:去分母,得2(x-1)﹣(3x﹣1)=8. 去括号,得2x-2-3x+1=8. 移项,得2x﹣3x=8+2﹣1. 合并同类项，得-x=9. 系数化为1,得x=-9. 解:去分母,得6﹣(x﹣1)=2(3x﹣1). 去括号,得6-x+1=6x-2. 移项,得-x-6x=-2-6-1. 合并同类项,得-7x=-9. 系数化为1，得 课时检测 解:去分母,得6x-2(x+2)=12-3(x-1). 去括号,得6x-2x-4=12-3x+3. 移项,得6x-2x+3x=12+3+4. 合并同类项,得7x=19. 系数化为1，得 解：原方程可化为 去分母,得30x-6=2(20x-8). 去括号,得30x﹣6=40x﹣16. 移项,得30x-40x=6-16. 合并同类项,得-10x=-10. 系数化为1,得x=1. 知识点 2 用去分母解一元一次方程的应用 5.新考向·数学文化[2025北京十一学校期中]《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱，三年共得100钱，则出租的田有 亩. 6.》一题多解 小王步行，预计用相同的时间往返于甲、乙两地，去时的速度是6km/h，结果早到20 min,返回时,速度为4k m/h,结果晚到了5min，求甲、乙两地的路程. 解：设甲、乙两地的路程是 xkm，根据题意，得返回时比去时多用了25 min，则 解得x=5. 答：甲、乙两地的路程是5km. 7.小军同学利用去分母解关于x的方程 时，方程右边的-1视频解题没有乘2，因而求得方程的解为x=3，则m的值和方程的正确解分别为 (C) A.2,x=2 B.2,x=3 C.3,x=2 D.3,x=3 8.[2026宣城六中期中]已知关于x的方程 的解是整数，则满足条件的所有整数 m的值的和为 0 . 9.》一题多解若关于x的方程 无论k取何值，它的解总是x=2，则m+n的值为 -1 . 10.解下列方程： 解:去分母,得10(x﹣1)﹣4(2x+1) =5(3x+1) - 20. 去括号,得10x﹣10﹣8x﹣4=15x+5﹣20. 移项及合并同类项，得﹣13x=﹣1. 系数化为1，得 解:去分母,得6(x+4)-30(x-5)=10(x+3)-5(x-2). 去括号,得6x+24-30x+150=10x+30-5x+10. 移项,得6x-30x-10x+5x=30+10-24-150. 合并同类项,得-29x=-134. 系数化为1，得 11.[2025南京鼓楼区期末改编]用A 型和B 型机器生产同样的产品，已知5 台A型机器生产一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器生产一天的产品装满11 箱后还剩1个. (1)若每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，则每箱装多少个产品? (2)每台A型机器与B型机器每天生产的产品数量能相等吗?用你学过的数学知识做出解释. 解：设每箱装x个产品， (1)由题意，得 解得x=12. 答：每箱装12个产品. (2)每台A型机器与B型机器每天生产的产品数量不能相等.理由如下： 假设每台 A型机器与B型机器每天生产的产品数量相等， 由题意，得 解得x=-23. 因为x是正数，所以x=-23不符合题意，所以每台A型机器与B型机器每天生产的产品数量不能相等. 综合创新应用 12.模型观念[2025北京中考]北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10 cm，图1中 BC 的长是门条长的 ，AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高. 解：设胸腹高为x cm，则单根膀条长为5x cm，AB =CD =x cm,头部高为 x cm,尾部高为2x cm，所以这只风筝的骨架的总高为4x cm，门条AD的长为(5x﹣10) cm, 所以 则 解得x=20,所以4x=80. 答：这只风筝的骨架的总高为80 cm. 一题多变 不解方程，利用方程结构的一致性确定方程的解 方法指导 解决此类题的方法是通过方程变形将两个形式相似的一元一次方程建立联系，结合已知方程的解求另一方程的解，核心是抓住方程结构的一致性与解的对应关系. 1.直接根据方程结构的一致性求解[2026信阳平桥区期末] 已知关于x的一元一次方程 2025x-m的解为x=20,那么关于y的一元一次方程 的解 为y= A.21 B. - 20 C.16 (C) 方法指导 解决此类题的方法是通过方程变形将两个形式相似的一元一次方程建立联系，结合已知方程的解求另一方程的解，核心是抓住方程结构的一致性与解的对应关系. 1.直接根据方程结构的一致性求解[2026信阳平桥区期末] 已知关于x的一元一次方程 2025x-m的解为x=20,那么关于y的一元一次方程 的解 为y= A.21 B. - 20 C.16 (C) 一题练透 一元一次方程与字母参数 已知关于x的方程 (1)若m=-1,则该方程的解是x=0 ; (2)若x=5是方程的解，求 的值； 解：把x=5代入方程，得 去分母,得3(15-m)-2(5+m)=5. 去括号,得45–3m–10–2m=5. 移项及合并同类项，得-5m=-30. 系数化为1,得m=6. 当m=6时, (3)某同学在解该方程时，误将“ ”看作“ ”,得到方程的解为x=1，求m的值； 解：由题意，得x=1是方程 的解，所以 去分母,得15(3-m)-10(1+m)=36. 去括号,得45-15m-10-10m=36. 移项及合并同类项，得-25m=1. 系数化为1，得 (4)若该方程的解与方程 的解相同，求m的值； 解：解方程 得x=4, 所以x=4是方程 的解. 把x=4代入，得 解得 (5)若该方程的解与方程7x=﹣2(x+3)的解互为相反数，求m的值； 解：解方程7x=-2(x+3),得 解方程 得 因为原方程的解与方程7x=-2(x+3)的解互为相反数， 所以 解得 (6)若该方程有正整数解，则整数m的最小值是 6 . 学科网（北京）股份有限公司 $