课时作业7用空间向量研究垂直问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课时作业7用空间向量研究垂直问题 一、选择题 1如图所示，在正方体ABCD-AB,CD中，O是底面正方形ABCD的中心， M是DD的中点，N是AB,的中点，直线NO,AM的位置关系是( D A D A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直 2.已知=(0,11)，6=(，1,0），c=(0,)分别是平面a,B,y的法向量，则 a,B,y三个平面中互相垂直的有( A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 3.两平面a,B的法向量分别为i=(3,-12）,立=(-2，-y,),若a上B,则y+2 的值是( ) A.-3 B.6 C.-6 D.-12 4.已知AB=(L,5-2),BC=(3,12),若AB1BC,BF=(x-1y-3),且BP1 平面ABC,则实数x,y,2分别为( ) 4015 B2-2,4 C77,4 5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，若AB=(1,5,2),AD=(-2,,1) ，AP=(L,-1,2),则直线PA与底面ABCD的关系是( A.成30°角 B.垂直 C.成45°角 D.成60°角 6.设i=(-2,2),下=(6，-4,5)分别是平面a,P的法向量，若a1B,则实数t 的值是() A.4 B.-4 C.8 D.-8 7多选题已知点A,00),B(0,10),C(0,0)点D,且BD14C, CD⊥AB,AD=BC,则点D的坐标可以为( A.（-1,-1,-1) B(4,1) 8.(多选题)下列命题是真命题的有( A若直线！的方向向量ā=(1，-12)，直线m的方向向量 -2L-.g m垂直 B若直线1的方向向量a=(0l,-),平面a的法向量i=(（,-l,-),则1L@ c若平面a,B的法向量分别为%=(0,13)，元=(L,02),则a‖B D.若平面a经过三点A,0,-),B(0,10),C(-山2,0)，向量i=(4,)是平 面a的法向量，则u+t=1 二、填空题 9.设A是空间内一定点，万为空间内任一非零向量，则满足AM·i=0的点M 构成的图形是 10有的个头向品=(L-2.平有9防个法的是5-气对动 若a1B,则x-y= 1.已知AB=(2,10,-4),BC=(6,2,2),若AB⊥BC,BP=(c,八，6)，且 BP⊥平面ABC,则BP= 12在△ABC中，A,-2,-),B(0,3,),C(2,2,若向量元是与AB共线的 单位向量，则向量方的坐标为 :若向量i与平面ABC垂直，且 园=√21，则i的坐标为 三、解答题 13.已知在正方体ABCD-4B,CD,中，E为CC的中点，求证：平面B,ED⊥平 面BBD 14.如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=V2, AF=1,M是线段EF的中点.求证：AM⊥平面BDF E 15.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为BC的中点，PO⊥平面ABC ，垂足O落在线段AD上，已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (I)证明：AP⊥BC: (②)在线段AP上是否存在点M,使得平面AMC⊥平面BMC？若存在，求出 AM的长；若不存在，请说明理由. C A O B 参考答案 1.C2.A 3B解折：因为i=(3,-1,2),=(-2,-,1分别为a,P的法向量，卫a上P,所以i1可， 即i=0,-6+y+z=0,所以y+2=6 解析：因为AB1BC,所以AB·BC=0,即3+5-2z=0,得z=4.又BP⊥平面ABC, 4.C 所以BP⊥AB,BP⊥BC (x-1)+5y+6=0, 则3(x-)+y-12=0, x-40 15 y=- 解得( 1 5.B 6A解折：图为i=(-2,2,),=(6,-4,5)分别是平面0，B的法向受，且a上B, 所以i1可，所以2×6+2×(4)+x5=0,解得1=4 7BD解新授点D(x）则BD=(,y-l),CD=(cy2-),D=(x-lz)】 AC=(-1,0,1)AB=(-11,0)BC=(0,-1,1) 又DB⊥AC台-x+z=0,① DC⊥AB台-x+y=0,② 4D=BC台x-1P+y2+2-02+(-+F=V2③ 联立①②③，得X=y=2=1或 x=y=z= 3,所以点D的坐标为，1)或 (司 ))5-13- ,所以 石上b,所以直线l与m垂直，故A正确： a=(0,1-),i=(4,-1,-）,则a.i=0x1+1x(-H)+(-)×(-)=0 则aLi,所以川a或lca,故B错误 因为乃=(0,13)，元=(10,2)，所以与不共线所以a川B不成立截C错院 因为点4,0，-)，B(0,10),C(-1,20）,所以AB=(-,1),Bc=(1,10) 因为向量i=(山4，)是平面Q的法向量，所以 元·AB=0, -1+u+t=0, i-BC=0,即-1+u=0,解得u+t=1,故D正确故选AD, 9.平面解析：由题意知，点M构成的图形是过，点A,且以万为法向量的平面 10.-1解折：因为a1B,所以ā⊥b,所以-x+y-1=0,从而得x-y=-1 3”6 6630 解折：因为AB⊥BC,所以AB.BC=0,所以2×6+10x2+(4)z=0 ,所以2=8 因为BP=(c,y-6),且BP⊥平面ABC BP.AB=0, 「2x+10y+24=0, 所以 BP.BC=0,即6x+2y-48=0, rs. 7 30 故 666 12 66’3.(-2,4,1支(2，-4，-0 解折由题意，得B=(1-1,2),4C=(0,2)设i=(c,2）,若向量万是与共 线的单位向量， x y z 则1-1 2T得663万=6-V 6,63若与平面 ABC垂直，则 i.AB=0, -x-y+2z=0, y=4z, 元AC=0,即 x+2z=0, 可得(y=-2x 又同=V2所以V+产+2=2，解得y=4成y=4当y=4时，x=2, z=1;当y=-4时，x=2,2=-1 所以i=(-2,41)或元=(2,4，-) 13,证明：以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、2轴，建立空间直角坐标 系，如图所示。 B A B 生长1黑DQa0,g)Q号四=） 设平面BDE的一个法向量”=(：2），则 x+y+z=0, 1 y+。z=0. 2 令2=-2，则y=1,x=1,所以开=(1，-2)是平西BDE的一个法向 量同理求得平面BBD的一个法向量元=(，-1,0)，由4元=0，痴耳1历，所以平 面BDEL平西B,BD 14.证明：因为四边形ACEF为矩形，所以CE L AC, 因为平面ABCD⊥平面ACEF,平面ABCD∩平面ACEF=AC,CEC平面 ACEF 所以CE⊥平面ABCD】 又四边形ABCD为正方形，以，点C为坐标原点，CD,CB,CE所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系Cz,如图所示。 则点 E2aAip小Fi9是 所以 冬号到匹a到-- 设i=(化，y2)是平面BDF的一个法向量，则万1BD,i1DF i.BD=V2x-√2y=0,「 x=y, 所以 元-DF=2+z=082=2y 取y=1,得x=1,2=2,则i-(1,-2) 2.2 2’- 因为 所以方=-√2AM,即i与AM共线 所以AM⊥平面BDF 15.(①)证明：如图，过点O作BC的平行线，交AB于点E.以O为原点，OE,OD,OP所在直 线分别为术轴、'轴、z轴，建立空间直角坐标系Oz M A 则点0(0,0,0)4〔0，-3,0)8(4,20)C(-4,2.0)P0,04)P=(0,3,4) BC=(80,0),由此可得AP.BC=0,所以P1BC即AP⊥BC ②解：假设存在满足题意的点M,设PM=APA,1≠1，则PM=(0,-3,-4) BM=BP+PM=Bp+PA=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4) AC=（-4,5,0) 设平西BMC的一个法向量%=(，，)】 BM·n=0,「-4x-(2+3元)y+(4-4元)Z=0, 由BC·n=0,得 -8x=0, x=0, 2+31 2+32 4-4玩， 可取 设平面AMC的一个法向量%，=（名，乃，2） 45, APm=0,∫32+4红2=0， 白AC2三0，得42+5y2=0郎免一3 可取%=(5,4，-3) 2 =0= 由片2=0得4=344元”解得5故A=3 综上所述，在线段AP上存在点M,使得平面AMC⊥平面BMC,AM=3.