1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练习通过“知识梳理-技能训练-能力提升-滚动练习”四层设计，构建从概念理解到综合应用的进阶路径，适配新授课知识巩固需求，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|空间垂直的判定条件|填空形式夯实核心概念，为技能训练奠基| |基本技能训练|方向向量与法向量应用|选择与证明结合，如第5题正方体垂直证明，对应单一知识点| |能力提升|空间向量综合运算|多选与复杂证明，如第9题直三棱柱面面垂直，发展推理能力| |滚动练习|空间坐标与基底|复习旧知，如第10题动点坐标问题，强化知识衔接|

1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 课时作业 【知识梳理】 1．直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔ . 2．直线与平面垂直 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得 . 3．平面与平面垂直 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔ . 【基本技能训练】 1.已知直线的方向向量分别为，若，则等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．l与相交，但不垂直 3．两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 4.已知，，若，，且平面，则实数、、分别为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．求证：(1)；(2)． 6.如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面． 【能力提升】 7.（多选）已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 8.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9.如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【滚动练习】 10.已知为坐标原点，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为______． 11.已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 课时作业（参考答案） 1．C【详解】解：由于，所以，则.，解得. 2．B【详解】因为直线l经过点，所以，又因为平面的一个法向量为，且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行，则， 3．B【详解】因为两平面的法向量分别为，且， 所以，所以. 4.B【详解】∵⊥，∴，解得．∴ ． ∵ 平面， ∴ ，，∴， 化为，解得，∴． 5.(1)如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以. (2)由（1）可知，所以， 所以 6.【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 所以，，所以，， 因为，平面．所以平面． 7.BD【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误；对于B，，B正确； 对于C，，，由，解得，C错误；对于D，，由与轴垂直，得，即，D正确． 8.B【详解】如图，以点为原点，、、分别作为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 由于点在侧棱上，满足， 所以，解得，所以， 由于点在上，不妨设，即，解得， 同理，点在上，设，解得， 则， 由于，，则， 化简得，解得， 因此 ，所以，故B正确. 9.如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令，可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则，即，令， 可得平面的一个法向量．因为，所以， 所以平面平面． 10.【详解】因为点在直线上运动，所以存在实数使得， 所以，， 所以， 当且仅当时，上式取得最小值，此时点的坐标为． 11./1.5 【详解】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $