1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(第3课时)空间中直线、平面的垂直同步练-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层设计，以空间向量为工具，梯度化巩固线线、线面、面面垂直判定，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|方向向量/法向量性质、线面垂直判定|选择/填空/简单证明，如第1-3题直接应用向量垂直判定| |更上层楼|综合几何证明、法向量求解|多选题（11题）、复杂几何证明（14题），需结合坐标运算| |探究发现|动点与平面垂直存在性|开放性多选题（15题），培养探究与创新意识|

课时作业(九) 1．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两垂直 答案　A 解析　因为a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.所以l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3. 2．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为u＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 答案　B 解析　∵u＝－2a，∴a∥u，∴l⊥α. 3．已知m＝(－2，t，5)，n＝(3，－2，t)分别是平面α，β的一个法向量，且α⊥β，则t的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　B 解析　因为m＝(－2，t，5)，n＝(3，－2，t)分别是平面α，β的一个法向量，且α⊥β，所以m⊥n，即m·n＝(－2，t，5)·(3，－2，t)＝－6－2t＋5t＝－6＋3t＝0，解得t＝2. 4．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1，0，－2) B．(1，0，2) C．(－1，0，2) D．(2，0，－1) 答案　C 解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以·＝0，得－x＋1－z＝0①，·＝0，得2x＋z＝0②，联立①②，解得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2)． 5.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD，则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定 答案　B 解析　由已知可得PD⊥DC，PD⊥DA，DC⊥DA，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设QA＝1，则D(0，0，0)，C(0，0，1)，Q(1，1，0)，P(0，2，0)． 故＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)． 故·＝0，·＝0， 即⊥，⊥，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DC，DQ⊂平面DCQ， 故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. 6.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在线段BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　A 解析　如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a，0)，设P(0，0，z)，Q(1，y，0)(0≤y≤a)，则＝(1，y，－z)，＝(－1，a－y，0)． 由PQ⊥QD，得－1＋y(a－y)＝0， 即y2－ay＋1＝0. 由题意知方程y2－ay＋1＝0只有一解， ∴Δ＝a2－4＝0，a＝2(负值舍去)，这时y＝1∈[0，a]． 7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________． 答案　PM⊥AM 解析　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 依题意可得，P(0，1，)，A(2，0，0)，M(，2，0)， 所以＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，所以·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，所以PM⊥AM. 8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________． 答案　a或2a 解析　建立如图所示的坐标系，则B1(0，0，3a)，D，C(0，a，0)． 设点E的坐标为(a，0，z)(0≤z≤3a)， 则＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)，＝，故·＝0. 故要使CE⊥平面B1DE，则需⊥， 即·＝0，故2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a. 9.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上，且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA. 证明　如图，连接OP，OQ，以O为坐标原点，OA，OC所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B，＝. ∵P为AC的中点， ∴P. 由已知可得＝＝. 又＝＋＝， ∴＝－＝. ∴·＝0， ∴⊥，即PQ⊥OA. 10.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°. 求证：平面ADE⊥平面ABE. 证明　取BE的中点O，连接OC，易知OC⊥BE，又AB⊥平面BCE，所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)． 则有C(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1，0，1)，A(0，，2)． 于是＝(0，－2，－2)， ＝(－1，，1)． 设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)， 则n·＝(a，b，c)·(0，－2，－2)＝－2b－2c＝0，n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0. 令b＝1，则a＝0，c＝－， 所以n＝(0，1，－)． 易知平面ABE的法向量可取m＝(1，0，0)． 因为n·m＝(0，1，－)·(1，0，0)＝0， 所以n⊥m，所以平面ADE⊥平面ABE. 11．【多选题】已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 答案　ABC 解析　由于·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B正确，易知C正确，又＝－＝(2，3，4)．∵＝(－1，2，－1)，不满足＝λ，∴D不正确，故选ABC. 12.【多选题】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF⊥AC B．EF⊥A1D C．EF⊥BD1 D．EF⊥平面A1DC1 答案　ABD 解析　以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，E，F，故＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝，所以·＝0，·＝0，所以EF⊥A1D，EF⊥AC，A、B正确；易知＝(－1，－1，1)，所以·＝－－－＝－1≠0，C不正确；设平面A1DC1的法向量为n＝(x，y，z)，＝＝(－1，1，0)， 由得所以平面A1DC1的一个法向量为n＝(1，1，－1)，因为n＝3，所以n∥，所以EF⊥平面A1DC1，D正确． 13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点，且平面MBD⊥平面OC1D1，则＝________． 答案　1 解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，D(0，0，0)，O，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)， 设M(1，0，t)，0≤t≤1，则＝(1，1，0)，＝(1，0，t)，＝，＝， 设平面OC1D1的法向量为m＝(x，y，z)， 则 令z＝1，得y＝0，x＝2，则m＝(2，0，1)， 设平面MBD的法向量为n＝(a，b，c)， 则 令c＝1，则a＝－t，b＝t，故n＝(－t，t，1)， 由题意得m·n＝(2，0，1)·(－t，t，1)＝－2t＋1＝0， 解得t＝，故＝1. 14.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝1，E是CD上靠近D点的三等分点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面D1EB1的一个法向量； (2)在平面ABB1A1上是否存在一点F，使得EF⊥平面AED1？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由题意得D1(0，0，1)，E(0，1，0)，B1(1，3，1)，A(1，0，0)， 则＝(0，1，－1)，＝(1，2，1)， 设平面D1EB1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝1，则n＝(－3，1，1)，则平面D1EB1的一个法向量为n＝(－3，1，1)． (2)由(1)可知，＝(0，1，－1)，＝(1，－1，0)， 设F(1，a，b)，连接EF，则＝(1，a－1，b)． 因为EF⊥平面AED1，所以为平面AED1的一个法向量， 则解得 所以存在点F(1，2，1)，使得EF⊥平面AED1. 15．【多选题】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q为AA1上一动点，则(　　) A．存在点Q，使得BQ与平面B1CD垂直 B．不存在点Q，使得BQ与平面B1CD垂直 C．存在点Q，使得D1Q与平面B1CD垂直 D．不存在点Q，使得D1Q与平面B1CD垂直 答案　BC 解析　如图所示，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 所以＝(0，1，0)，＝(1，1，1)．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则m＝(1，0，－1)是平面B1CD的一个法向量． 设Q(1，0，t)(0≤t≤1)． 若BQ与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数λ，使＝λm，由＝(0，－1，t)可知(0，－1，t)＝λ(1，0，－1)，此等式不可能成立，所以与m不共线，所以不存在点Q，使得BQ与平面B1CD垂直，故A错误，B正确； 若D1Q与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数μ，使＝μm，则由＝(1，0，t－1)可知(1，0，t－1)＝μ(1，0，－1)，得μ＝1，t＝0， 所以当Q的坐标为(1，0，0)时，与m共线，此时D1Q与平面B1CD垂直，故C正确，D错误． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(九) 1．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两垂直 2．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为u＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 3．已知m＝(－2，t，5)，n＝(3，－2，t)分别是平面α，β的一个法向量，且α⊥β，则t的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 4．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1，0，－2) B．(1，0，2) C．(－1，0，2) D．(2，0，－1) 5.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD，则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定 6.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在线段BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________． 8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________． 9.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上，且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA. 10.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°. 求证：平面ADE⊥平面ABE. 11．【多选题】已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 12.【多选题】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF⊥AC B．EF⊥A1D C．EF⊥BD1 D．EF⊥平面A1DC1 13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点，且平面MBD⊥平面OC1D1，则＝_________． 14.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝1，E是CD上靠近D点的三等分点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面D1EB1的一个法向量； (2)在平面ABB1A1上是否存在一点F，使得EF⊥平面AED1？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 15．【多选题】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q为AA1上一动点，则(　　) A．存在点Q，使得BQ与平面B1CD垂直 B．不存在点Q，使得BQ与平面B1CD垂直 C．存在点Q，使得D1Q与平面B1CD垂直 D．不存在点Q，使得D1Q与平面B1CD垂直 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $