课时作业8用空间向量研究距离问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课时作业8用空间向量研究距离问题 一、选择题 1.已知点A(0,02),B(L,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为( 2V2 A.3 B.1 C.2 D.22 2.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点E是4B的中点，则点A到直线 BE的距离是（ 6W5 4v5 25 5 A.5 B.5 C.5 D.5 3.如图，己知正方体ABCD-ABCD棱长为1，O是AG的中点，则点O到平 面ABCD的距离是( D B D C 心 √2 2 5 A.2 B.4 C.2 D.2 4.在R1aABC中，若两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC, PC=9 则点P到斜边AB的距离是() A.3 B.9 c.12 D.2W5 5.已知在四面体ABCD中，AB,BC,BD两两垂直，BC=BD=V2,AB与平面 1 ACD所成角的正切值为2，则点B到平面ACD的距离为() 5 25 √5 2v5 A.2 B.3 c.5 D.5 6.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为 Ar+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且4，B,C不同时为零)，点P(,o,2o) d=4,+B+C,+D 到平面C的距离 V+B2+C2 则在底面边长与高都为2的正 四棱锥P.ABCD中，底面中心O到侧面PAB的距离d等于( ) 5 2W5 A.5 B.5 C.2 D.5 7.(多选题)在正方体ABCD-AB,CD中，若棱长为1，E,F分别为线段 BD,BC上的动点，则下列结论正确的是(） A.DB1平面ACD B.平面ACB‖平面ACD, √5 C.点F到平面ACD的距离为3 1 D.直线AE与面BB,DD所成角的正弦值为3 8(多选题)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1L,E,O分别是4B,4C的中 =3B+D+名4 点，点P在正方体内部，且满足 4 2 3 ,则下列说法正 确的是() √5 A.点A到直线BE的距离是5 √2 B.点O到平面ABCD的距离为4 √5 C.平面ABD与平面B,CD间的距离为3 25 D.点P到直线AB的距离为36 二、填空题 9.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，已知M,N分别是线段BB,B,C的中 点，则直线MN到平面4CD的距离为 10.已知过点P(0,0)的两条直线马与，{平行于向量=(0,1，-)，2平行于 向量=(，1,0)，则点(0,10)到直线与确定的平面α的距离为 11,如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E,F分别为棱AA,BB的中 点，G为棱4B,上一点，且4G=(0<元<2)，则点G到平面D,EF的距 离为 Ci D C 12.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，已知P是正方形A4DD内部（不含 边界)的一个动点，若直线AP与平面A4,B,B所成角的正弦值和异面直线 AP与DC所成角的余弦值相等，则点D,P距离的最小值是 三、解答题 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2AD=4,PD⊥DA,PD⊥DC,底面 ABCD为正方形，M,N分别为AD,PD的中点 (求证：PA平面MNC; (②)求点B到平面MNC的距离！ D B 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD, PA=AD=4,AB=2,M是PD上一点，且BM⊥PD I)求异面直线PB与CM所成角的余弦值： (2)求点M到平面PAC的距离. P y B 15.如图所示，在直三棱柱ABC-4B,G中，底面是等腰直角三角形， ∠ACB=90°，侧棱A4=2,CA=2,D是CC的中点，在4B上是否存 2V6 在一点E(不与端点重合)使得点A到平面AED的距离为3？ C A B E B 参考答案 1A解折：图为点400,2)，B(,02),C(0,20),所以B=(,0.0),BC=(12,-2),所 以，点A到直线BC的距离为 22 3 故选A 2.B 3B解析：如图， ◆2 A B D 建立空间直角坐标系，则点 D,(0,0,1)A1,0,0）B(11,0)C(0,1) 所以 0D20接4D阳为ABL海D心，44D,C手6DP马 所以AB⊥AD 又AD1AD,ABOAD=A,所以4D上平面ABCD, 故平面ABCD的一个法向量DA=(L,0) 所以点O到平面ABCD的距离 DA √24 故选B. 4.A解析：以C为坐标原点，CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系，如图所示， D a4a0,030,P00号 9 AB=（-4,3,0) P=4,0 所以 所以点P到AB的距离 AP·AB 81256 16+ =3 25 25 5D解析：以B为原点，BC,BD,BA所在直线分别为x轴、y轴、Z轴，建立空间直角坐标 系，如图所示. ↑z 设BA=t,>0,则点B(0,00)CN5.0,0）.D0,5,0）A0.0,r) A=(0,0-）CA=(20,cD=(2,2,0) 设平面4CD的一个法向量i=(x,少，2) ni.CA=-2x+tz=0, 则nCD=-2x+√2y=0,令x=1,得y=/V3 t 因为直线AB与平面ACD所成角的正弦值为2 AB.n √2 5 ABH元 2 5 所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 t1+1+ ,解得 t=-2. √2 i= 所以平面ACD的一个法向量 故B到平面ACD的距离 AB.n 2 d= 2V5 5 +1+2 6B解析：以底面中心0为原点，建立空间直角坐标系O2,如图所示. 由图可知，点O(0,00),4,10),B-11,0),P00,2)设平面PAB的方程为 Ax+By+Cz+D=0 C=-1D 将点A,B,P的坐标代入计算得A=0,B=-D,2 -Dy-1D2+D=0 所以方程可化 2 ,令D=-2,则2y+2-2=0,所以 2×0+0-2_2 V22+12 5故选B. 7ABC解析：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示 A D B 由题意知，点 (0,0,0)B(1,0,0)C(1,1,0)D(0,1,0)A(0,0,1)B(1,0,1 C,1)D(0,1,,设点E(cy1,则BE=BD,即x-l,0)=(,2,0),所 以E(1-元元，) 设点F(y,BF=uBC,脚(O,,2）-(0,),所以F() 对于A周为D8=(,-1),AC=010).D=(0,1) DB·AC=0, 所以DB·AD=0,所以DB,LAC,DB上AD 又AC,ADC平面ACD,ACOAD,=A,所以DB上平面ACDA正确： 对于B因为DB上面4CD,所以D瓜=(L-山为平西4CD的-个法南量 因为4C=(1,0),AB=(L,0-),所以 DB·AC=0, DB·4B=0,所xDB上AC,DB1AB又AG,ABC平面4CB 4G∩AB=A,所以DB上平面4CB,所以平面4CBl平西1CDB正确 对于C图为F=山山，川），所以点F到平面ACD的距离 d= AF·DB13 DB 33 ,C正确； 对于D,周为几何体为正方体，所以AC1平面BB,DD,所以4C=(L1,0)足平西 BB,DD的-个法向量.又正=（1-元，1) AC.AE sin= 设直线AE与平面BB,DD所成角为日，则 AC AE V2W22-21+2 不是定值，D错误.故选ABC. 8BC解析：如图， 建立空间直角坐标系，则点A(0,0,0),B(10,0)D(01,0)4(0,0,1)C(,11) 1 D0,1)E201 =(1a0配-（叫 BA.BE√5 cos0 设∠ABE=日，则 BAHBE5 sino-v-cos0=25 5 故点A到直线BE的距离 =Bsin0=1x25_2w5 55,故A错误 丽-，cag风=0 易知 DA·cdl d2= 2迈 则，点O到平面ABCD的距离 DA √24 ,故B正确 4B=(1,0,-1)AD=(0,1,-1)AD=(01,0) 设平面4BD的一个法向量为市=(c,少2）， 元：4B=0, x-z=0, 则n:4D=0,所以y-z=0, 令2=1，得y=1,x=1,所以i=(L1,是平面4BD的-个法向量 4D成15 d, 所以，点D到平面4BD的距高 3 3 因为平面4BDI‖平面BCD 所以平面ABD与平面BCD间的距离等于点D到平面ABD的距离， √ 所以平面ABD与平面BCD间的距离为3，故C正确 4P-34B+1AD+24 P=3,12) 因 4 2 ,所以 423 AP.AB 3 又B=(（L,00)则 AB ,所以点P到直线AB的距离 AP.AB 1819_5 V144166 ,故D错误故选BC. 3 92解析如图，以D为坐标原点分别以DA,DC,DD所在直线为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系. 42 D C B A D D(00.0)c(1)D(0.0).) 则点 所以 W=-0花-0孤=(1) 设平面ACD的一个法向圣为=(x,2）,则 元AC=0, 〔-x+y=0, i:AD=0,即-x+z=0, 令x=1,剥y=z=1所以元=(，1)，所以，点M到平面ACD的距离 d- A:列 列 2 √5 P O则MNI平西4CD,故克我MN到平西ACD的E高为2。 2W5 10.3 解折设平面0的一个法向量=(：，少，2) si=0, ∫y-z=0, 由i=0,得x+y=0,取x=1,则y=-1,2=-1, 所以方=（么，-1-） PP 2 23 又明=(11,0)，所以点到手面@的距离为同3 3 2V5 11.5 解析：如图， 42 C G E 以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 Dwz,则点G(2,元，2)，D(0,02)E(2,0,1)F(2,2,1) 所以DE=(20,-,DF=(2,2-)G=(0,-元，-) 设平面DBF的一个法向量i=(化水2) 了2x-z=0, 则(2x+2y-2=0. 令x=1,则y=0,2=2,所以平面DEF的一个法向量i=(0,2),所以点G到平面 GE·列_-1×225 DEF的距离为 55 6 12.3解折以D为坐标原点DC,DA,DD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直 角坐标系，可设点P(0,八z),0<y<1,0<z<1,由点40,1，C(10,0),得 D=(0,y-山，)，DC=(10,)D1=(0,10)设直线AP与平面4BB所成角为 日，并面直线AP与DC所成角为口，向平西11BB的-个法向量D1=(0,10),可得 cos0 DC( y-1 sin-cosAP,DA(y<sino=cosa 2=-以g月 -0--+号g 6 时，点D,P距离的最小值为3 13.(①)证明：因为M,N分别为AD,PD的中点，所以PAMN,又PAt平面MNC, MNc平面MNC,所以PA‖平面MNC, (②)解：如图，建立空间直角坐标系， C V 因为AD=2,则点B(22,0),C(0,2,0)P(0,04)M(10,0)N(00,2) NC=(0,2,-2)MN=(-1,0,2)BC=(-2,0,0) 设平面MWC的-个法向量方=(：少2) i.MN=-x+2z=0, 则万-NC=2y-2z=0,所以可取i=(2,1是平面MWC的一个法向圣 _-2×2+1x0+1x0_26 所以点B到平面MNC的距高 V4+1+1 3 14.(1)解：以A为原，点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、'轴、z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示， B 则点1(0,0.0)，B(2,00)C(24,0),D(0,40),P(0,04),kPB=(20,4) PD=(0,4,-4) 楼PM=PD=(0,4,-4A）,剥Bm=PM-PB=(-2,4,4+4)周为 BM⊥PD,所以BM·PD=0, A、1 即0+161+16元-16=0，解得2 所以M(02,2）,所以CW=(-2,-2,2) PB.CM cos<PB,CM>= 12-15 PBCM 25×25 所以 5 即异面直线PB与CM所成角的余弦值为5 a四可得4P=(00,4)AC=(2,4,0) 设平面PAC的法向是i=(,少2）， 元：AP=0,「 4z=0, 由i1C=0,得2x+4y=0,所以2=0，取x=2,得y=-1 所以i=(2,-1,0)是平面P4C的-个法向量 CM· 4+2+0_2V5 所以，点M到平面PAC的距离为 V22+(-1)2+05 15.解：以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示， C E B 则点4(2,0,0)，4(2,0,2)，D(0,01),B(0,2,0)BE=BA∈(0,1) 则E(2,21-),2）z4D=(-20,)正=(2(2-1)，20-)，2) 设元=（化，y2)为平面AED的一个法向量， i·AD=0, -2x+z=0, 则i-A正=0，即l2(-1)x+2(1-2)y+2z=0. 1-31 取x=1,则 1-,z=2, 即 d= AA·列2√6 因为点4到平面AED的距高【 3 2V6 3 所以 26 所以存在点E且当点E为4B的中，点时，点A到平面AED的距离为3·