1.4.2第2课时：直线与平面所成角的向量求法同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与平面所成角的向量求法，通过“例题精练+基础夯实”分层设计，实现从概念理解到综合应用的梯度巩固，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|综合应用（存在性问题、多面体模型）|3道例题涵盖正三棱柱、四棱锥等模型，例3含动点探究，提升推理与创新意识| |基础夯实|概念辨析、公式应用（方向向量与法向量关系、角的计算）|单选/多选/填空聚焦基础公式，解答题结合正方体模型，强化运算能力与模型观念|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （第2课时：直线与平面所成角的向量求法） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)求直线的方向向量与平面的法向量； (2)判断直线与平面是否平行？并证明你的结论.若不平行，求直线与平面所成角的正弦值；若平行，求直线到平面的距离. 【例2】如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【例3】如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【基础夯实】 一、单选题 1．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 5．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，经过点，且以（）为法向量的平面的方程为．若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 三、填空题 8．设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数______. 9．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______． 10．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 四、解答题 11．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （第2课时：直线与平面所成角的向量求法） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)求直线的方向向量与平面的法向量； (2)判断直线与平面是否平行？并证明你的结论.若不平行，求直线与平面所成角的正弦值；若平行，求直线到平面的距离. 【答案】(1)，； (2)不平行，. 【分析】（1）根据给定的坐标系，写出相关点的坐标，再求出直线的方向向量及平面的法向量. （2）由（1）的结论判断可得不平行，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）依题意，， 所以直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得，所以平面的法向量. （2）由（1）知直线的方向向量，平面的法向量， 而，因此直线与平面不平行， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【例2】如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． （2）因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【例3】如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ,设， , 因为，所以. (2)存在，，理由如下： 设，因为为棱的中点，所以. ，则,, 设平面的一个法向量为，则, 令，得，即， 设与平面所成夹角为，则, 令，解得或（舍）， 所以棱上存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，此时. 【基础夯实】 一、单选题 1．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 2．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 3．在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【详解】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故选：C. 4．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出各点坐标，求得平面法向量，利用线面角公式计算化简求得答案. 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 5．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD. 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 6．在空间直角坐标系中，经过点，且以（）为法向量的平面的方程为．若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值. 【详解】根据题意，平面的方程化简为可转化为， 则平面的法向量， 设直线的方向向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 故选：B. 二、多选题 7．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】ABD 【分析】根据线线，线面，线面角的向量公式，即可求解. 【详解】根据向量表示的线线，线面的位置关系可知，AB正确； 设直线与平面所成角为，则，所以，故C错误； 若，则，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数______. 【答案】 【分析】根据线面角的向量计算公式得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意可得， 即，解得或（舍去）； 故答案为： 9．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______． 【答案】 【分析】利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 10．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 四、解答题 11．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1) 证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. (2)1 【分析】（1）先证明线面平行，利用线面平行的性质定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $