精品解析：内蒙古赤峰二中2027届高三年级9月第一次月考数学试题

赤峰二中2027届高三年级9月第一次月考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式求出集合，再进行交集运算即可. 【详解】由题意知，所以， 故选：B. 2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 所以，解得，则. 故选：D 3. 若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】取，显然在区间上有零点，且零点为， 但，所以函数在区间上有零点推不出， 又由零点存在性定理知，若，函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 则函数在区间上有零点， 所以“函数在区间上有零点”是“”的必要不充分条件. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及对数函数的值域求解即可. 【详解】的定义域为. 因为，所以函数关于原点对称，排除选项AC. 当时，，，因此，故排除D，选B. 5. 若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由给定不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值，再利用能成立问题求出范围. 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间上有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：A 6. 已知函数，且、、，则、、的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【详解】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D 7. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围． 【详解】已知，其定义域为， 则， 令，即，则，解得． 当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，． 令，则， 函数恰有个不同的零点， 即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，， 且其中一个根为，另一个根． 则，解得 . 实数的取值范围是． 故选：A． 8. 已知函数的定义域为，，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和给定的等量关系推导出函数的周期性，再结合函数周期性求和. 【详解】因为①，所以， 所以，所以的周期为4，， 令，由①得，所以， 因为为偶函数，所以②， 令，得，结合①，得③， 令，由②得，所以， 由③得，所以， 令，由③得，所以， 由函数的周期性得， ． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 已知函数，若，则 C. 函数的值域是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据两函数的定义域不同，即可求解； 对于B，求函数解析式，代入即可求解； 对于C，结合函数解析式求值域，即可求解； 对于D，由复合函数的定义域的求法，即可求解． 【详解】函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数，A选项错误； 函数，令，得， 若，解得，B选项正确； 由，有，则，所以函数的值域是，C选项正确； 若函数的定义域为，由，解得，则函数的定义域为，D选项错误. 故选：BC 10. 在直三棱柱中，，，，点在棱上，，是的中点，则（ ） A. 三棱柱的侧面积为 B. 三棱柱外接球的表面积为 C. ∥平面 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接求解侧面面积即可，对于B，判断出为直角三角形，然后根据已知直接求解外接球的半径，从而可求出其表面积，对于C，由棱柱的性质和线面平行的判定分析判断，对于D，由题意可证得平面，由，再由勾股定理的逆定理可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】对于A，因为在直三棱柱中，，，， 所以三棱柱的侧面积为 ，所以A错误， 对于B，因为，，所以， 所以为以为直角顶点的等腰直角三角形， 所以三棱柱的外接球半径， 所以外接球的表面积为，所以B正确， 对于C，因为∥，平面，平面，所以∥平面，所以C正确， 对于D，由已知得，又是的中点，所以， 因为侧棱平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以， 则，所以. 因为，平面， 所以平面，所以D正确， 故选：BCD. 11. 设直线、分别是函数在点处的切线，若，且、分别与轴相交于点，则（ ） A. B. C. D. 直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；结合对数运算可判断B选项；求出两切线方程，可求出点，结合平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项. 【详解】不妨设，设.0 ，则， 由题意可知，， 若、，则，矛盾； 若、，则，矛盾． 所以，必有，所以，由， 可得，故A正确； 不恒为1，故B错误； 由题意可得，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点，，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点， 故，故C正确； 又，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求解展开式中项的表达式，令表达式中x的幂次为零即可求解常数项． 【详解】在中，， 令，解得，所以， 综上，展开式的常数项为． 故答案为：． 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可. 【详解】由，又函数在处取得极小值， 则，解得，或， 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极小值， 故时符合题意； 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极大值， 故时不符合题意. 故答案为：. 14. 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题得，构造函数，由，可得，利用导数分析函数的单调性，画出函数图象，解不等式组或即可求解. 【详解】由已知得，即， 令，其中为常数， 又，代入可得，故， ，解得， ，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数和的图象， 由图可知3是唯一的整数解，或者0是唯一的整数解， 故或， 解得或． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求和实数的值； （2）当时，若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数的性质，即可求得答案； （2）判断函数的单调性，根据函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意知函数是定义在上的奇函数， 故，且， 则， 即得，则，故， 则，（舍）； 【小问2详解】 由（1）可得， 函数在上单调递减， 时，函数在上单调递增， 故在上单调递减， 由可得，即， 则，即，解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. 【小问2详解】 ①， ②， ，得 ， 所以. 17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】（1） X 1 2 3 4 5 P （2）7个或8个 【解析】 【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望； （2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可. 【小问1详解】 若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. 【小问2详解】 若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. （1）求C的方程； （2）若，求面积的最大值； （3）记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 若直线l的斜率不存在，设，，， 可得，可得， 这与相矛盾，不合题意； 可知直线l的斜率存在，设直线，，， 可得， 整理可得， 则， 且，则，可得，解得， 设以MN为直径的圆过定点， 则，， 可得， 则， 整理可得， 则， 可得， 注意到上式对任意的k均成立，则，解得， 所以以MN为直径的圆过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据离心率公式及关系式即可求解； （2）设直线，，，联立方程，则，由韦达定理结合可得，可得，解得，由面积公式可得，令，利用换元法可得，由对勾函数的性质即可求解. （3）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在来讨论，结合题意可得斜率一定存在，斜率存在时，设直线，，，由，可求得，设以MN为直径的圆过定点，则，可得，由即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 若，可知直线l的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 可得，， 因为，则，， 由，可得， 则， 整理可得， 则， 且，则，可得， 解得，且满足， 可知直线过定点， 则面积 ， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 所以当，时，面积取到最大值. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线过定点问题处理方法： （1）参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. （3）关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线）,然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对于任意的，恒成立，求的最大值； （3）证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递减， 当时，在区间单调递减，在区间上单调递增； （2） （3） 要证： 证： 即证：， 只需证：， 即证：，即证：， 令 证： ， 令在上单调递增， ∴，证毕. 【解析】 【分析】（1）通过对参数分类讨论，利用导数判断单调性； （2）换元与构造辅助函数，转化为恒成立条件下的最值问题，借助导数分析最值位置并建立不等式； （3）取对数并转化为累加形式，再逐项放缩为单元不等式，最终构造函数并利用单调性证明. 【小问1详解】 ， 当时，，在上单调递减， 当时，令， 当时，，故函数在区间单调递减； 当时，，故函数在区间上单调递增； 【小问2详解】 对恒成立， 当时，时，左边与条件矛盾，舍去，∴， 令，即对恒成立， 令， 当时，，时，， 所以在上单调递减；单调递增， 故只需． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰二中2027届高三年级9月第一次月考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且、、，则、、的大小关系（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 已知函数，若，则 C. 函数的值域是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 在直三棱柱中，，，，点在棱上，，是的中点，则（ ） A. 三棱柱的侧面积为 B. 三棱柱外接球的表面积为 C. ∥平面 D. 平面 11. 设直线、分别是函数在点处的切线，若，且、分别与轴相交于点，则（ ） A. B. C. D. 直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 14. 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求和实数的值； （2）当时，若满足，求实数的取值范围. 16. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. （1）求C的方程； （2）若，求面积的最大值； （3）记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对于任意的，恒成立，求的最大值； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $