第25-第26章阶段测试习题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25-第26章阶段测试习题 26-27学年人教版 九年级上册数学 满分 120 分　　考试时间 90 分钟 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. 已知方程 (m-2)x|m|+2x-1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　） A．2　　B．±2　　C．-2　　D．± 2. 已知关于 x 的方程 x²-3x+k=0 有一个根是 2，则它的另一个根及 k 的值分别是（　） A．1，2　　B．2，1　　C．-1，2　　D．1，-2 3. 用配方法解方程 2x²-4x-5=0，配方后正确的是（　） A．(x-1)²= 　　B．(x-2)²= 　　C．(x-1)²= 　　D．2(x-1)²=5 4. 若关于 x 的一元二次方程 kx²-2x-1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　） A．k>-1　　B．k≥-1 且 k≠0　　C．k>-1 且 k≠0　　D．k<1 且 k≠0 5. 设 x₁、x₂ 是方程 x²-2x-3=0 的两个根，则 x₁²+x₂² 的值为（　） A．6　　B．10　　C．4　　D．-2 6. 若函数 y=(m+1)x(m²-2m-1)+x-1 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为（　） A．3 或 -1　　B．3　　C．-1　　D．-3 7. 若抛物线 y=2x²+bx+c 的顶点为 (1,-2)，则 b、c 的值分别是（　） A．b=-4，c=0　　B．b=4，c=0　　C．b=-4，c=2　　D．b=-4，c=-2 8. 二次函数 y=x²-2x+3 在 0≤x≤2 范围内的最大值和最小值分别是（　） A．3，2　　B．2，3　　C．6，2　　D．3，0 9. 如图 ，抛物线 y=x²-4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 D，则下列说法错误的是（　） A．对称轴是直线 x=2　　 B．当 x<1 或 x>3 时，y>0　　 C．顶点 D 的坐标为 (2,-1)　　D．当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小 10. 将抛物线 y=-(x+1)²+2 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（　） A．(1,-1)　　B．(3,-1)　　C．(1,5)　　D．(-1,-1) 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. 方程 (2x-3)²=16 的解是______。 12. 若关于 x 的方程 x²-(2m-1)x+m²=0 有两个相等的实数根，则 m=______。 13. 若抛物线 y=x²-2mx+m²-4 的对称轴是直线 x=3，则它与 x 轴的交点坐标为______。 14. 若抛物线 y=-x²+2mx-m²+1 的顶点在直线 y=2x 上，则 m=______。 15. 一个直角三角形的两条直角边之和为 10，斜边长为 2，则这个直角三角形的面积为______。 三、计算或化简（第 16 题，每题 4分，共 16 分） 16. 计算或化简： （1）解方程：4x²-4x-3=0； （2）解方程：3x²-5x+1=0； （3） 解方程：4(x-1)²=(x+1)²； （4）解方程：(3x+2)²=4(2x-1)²； 四、解答题（17题5分，18-20题每题 6 分，共 23分） 17. 已知抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于 A(-2,0)、B(4,0)，与 y 轴交于点 C(0,-8)。 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当 y≤0 时，求 x 的取值范围。 18. 某种流感病毒传播很快，开始有 2 人感染，经过两轮传染后共有 128 人感染（含最初的 2 人）。 （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）按照这样的传播速度，第三轮传染后共有多少人感染？ 19. 已知关于 x 的方程 x²-(2m+1)x+m²+m=0。 （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根为 x₁、x₂，且 x₁²+x₂²=13，求 m 的值。 20. 某公司生产一种产品，成本为每件 30 元。当售价为 50 元/件时，每天可售出 200 件；经调查发现：售价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。设每件售价降低 x 元（0≤x≤20），每天的销售量为 y 件，每天的利润为 W 元。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）求 W 与 x 的函数关系式，并求当 x 为何值时 W 最大，最大利润是多少； （3）若该公司要求每天至少售出 300 件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题（21–24 题，每题 9 分，共 36 分） 21. 如图 ，抛物线 y=x²-3x-4 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求 A、B、C、D 的坐标； （2）点 M 是直线 BC 下方的抛物线上的一个动点，当 △MBC 的面积最大时，求点 M 的坐标及 △MBC 面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 △QAC 是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 22. 已知抛物线 y=x²-2mx+m²+m-3（m 为常数）。 （1）当 m=0 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若抛物线与 x 轴只有一个交点，求 m 的值，并写出该交点的坐标； （3）若抛物线的顶点在直线 y=-2x 上，求 m 的值，并求此时抛物线与 x 轴两交点间的距离。 23. 如图，一座抛物线形拱桥，拱顶 O 距水面的高度为 4 m，水面宽度 AB 为 4 m，以拱顶 O 为原点、以拱桥的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。 （1）求该抛物线的解析式； （2）一艘宽 2 m、顶部高出水面 2.5 m 的货船以正常水位通过该桥，判断它能否安全通过，并说明理由； （3）若水位上涨 1 m（水面到拱顶的距离变为 3 m），该货船还能安全通过吗？请说明理由。 24. 如图 4，抛物线 y=-x²+4x-3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求 A、B、C、D 的坐标； （2）点 P 是抛物线对称轴 x=2 上的一个动点，当 PA+PC 取最小值时，求点 P 的坐标及 PA+PC 的最小值； （3）点 Q 是抛物线上的动点，当 △QBC 的面积等于 △DBC 的面积的 2 倍时，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案与评分标准 一、选择题 1. C　　2. A　　3. C　　4. C　　5. B 6. B　　7. A　　8. A　　9. D　　10. A 二、填空题 11. x₁= ，x₂= - 　　12. 　　13. (1,0)、(5,0)　　14. 　　15. 12 三、第 16 题 （1）(2x-3)(2x+1)=0（1 分），x₁=，x₂=-（2 分）。 （2）Δ=(-5)²-4×3×1=13（1 分），x= （2 分）。 （3）[2(x-1)]²-(x+1)²=0（1 分），(x-3)(3x-1)=0（1 分），x₁=3，x₂= （1 分）。 （4）3x+2=±2(2x-1)（1 分），3x+2=4x-2 或 3x+2=-4x+2（1 分），x₁=4，x₂=0（1 分）。 四、解答题（17–20 题，每题 6 分） 17. （1）设 y=a(x+2)(x-4)（1 分），代入 C(0,-8)：-8=-8a，a=1（1 分），y=x²-2x-8（1 分）； （2）对称轴 x=1，顶点 (1,-9)（1 分）； （3）令 y≤0：x²-2x-8≤0（1 分），-2≤x≤4（1 分）。 18. （1）设每轮每人传染 x 人，2(1+x)²=128（1 分），(1+x)²=64（1 分），1+x=8（x=-9 不合题意，舍去）（1 分），x=7（1 分）； （2）第三轮传染后共有 2×8³=1024 人（2 分）。 19. （1）Δ=(2m+1)²-4(m²+m)=4m²+4m+1-4m²-4m=1>0（2 分）， ∴方程总有两个不相等的实数根（1 分）； （2）x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²+m（1 分），x₁²+x₂²=(2m+1)²-2(m²+m)=13（1 分）， 2m²+2m-12=0，m²+m-6=0（1 分），m=2 或 -3（1 分）。 20. （1）y=200+20x（2 分）； （2）W=(50-x-30)(200+20x)=(20-x)(200+20x)=-20x²+200x+4000（1 分）， 对称轴 x=5，当 x=5 时 W 最大，W最大=-20×25+200×5+4000=4500（元）（1 分）； （3）由 200+20x≥300 得 x≥5（1 分），W 在 x≥5 时随 x 增大而减小（对称轴为 x=5），故 x=5 时利润最大， 此时售价为 50-5=45 元，最大利润为 4500 元（1 分）。 五、解答题（21–24 题，每题 9 分） 21. （1）令 y=0：x²-3x-4=0，x=-1 或 4（1 分），∴A(-1,0)、B(4,0)；令 x=0：C(0,-4)（1 分）； 顶点 x= ，y= - -4=- ，D( ,- )（1 分）。 （2）直线 BC：y=x-4。设 M(m, m²-3m-4)（0<m<4）（1 分）， 铅垂高 h=(m-4)-(m²-3m-4)=-m²+4m（1 分），S△MBC= ×4×(-m²+4m)=-2m²+8m（1 分）， 当 m=2 时面积最大，S最大=8，M(2,-6)（1 分）。 （3）对称轴 x= ，设 Q( , t)。AC²=17，AQ²= +t²，CQ²=t²+8t+（1 分）。 ① 若 ∠QAC=90°：AQ²+AC²=CQ²，得 t= ；② 若 ∠QCA=90°：CQ²+AC²=AQ²，得 t=- （1 分）； ③ 若 ∠AQC=90°：AQ²+CQ²=AC²，得 4t²+16t+15=0，t=- 或 - （1 分）。 ∴Q₁( , )、Q₂( ,- )、Q₃( ,- )、Q₄( ,- )（1 分）。 22. （1）m=0 时 y=x²-3，令 y=0：x=±（2 分），交点 (-,0)、(,0)（1 分）； （2）Δ=(-2m)²-4(m²+m-3)=4(3-m)（1 分），令 Δ=0 得 m=3（1 分）， y=x²-6x+9+3-3=(x-3)²，交点 (3,0)（1 分）； （3）顶点为 (m, m-3)（1 分），由 m-3=-2m 得 m=1（1 分），y=x²-2x-1， 两交点间距离===2（1 分）。 23. （1）设 y=-ax²（1 分），由 B(2,-4) 得 -4=-4a，a=1（1 分），∴y=-x²（1 分）； （2）船宽 2 m，船两侧对应 x=±1。正常水位时水面在 y=-4，拱在 x=±1 处 y=-1， 桥洞净高=(-1)-(-4)=3（m）（1 分），3 m>2.5 m，故能安全通过（2 分）； （3）水位上涨 1 m 后水面在 y=-3，桥洞净高=(-1)-(-3)=2（m）（1 分）， 2 m<2.5 m，故不能安全通过（2 分）。 24. （1）令 y=0：-x²+4x-3=0，x=1 或 3；令 x=0：y=-3；顶点 x=2，y=1（2 分）， ∴A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、D(2,1)（1 分）； （2）A 关于对称轴 x=2 的对称点为 B(3,0)（1 分），当 P 为直线 BC 与对称轴的交点时 PA+PC 最小。 直线 BC：y=x-3，令 x=2 得 y=-1，P(2,-1)（1 分），PA+PC 的最小值=BC==3（1 分）； （3）S△DBC=×3×2=3，2S△DBC=6（1 分）。直线 BC：y=x-3，设 Q(x, -x²+4x-3)， S△QBC= ×= （1 分），由 |x²-3x|=6 得 |x²-3x|=4（1 分）， x²-3x=4：x=4 或 -1；x²-3x=-4：Δ<0，无解（1 分）， ∴Q(4,-3) 或 Q(-1,-8)（1 分）。 学科网（北京）股份有限公司 $