第2章一元二次函数、方程和不等式章末练习-2026-2027学年高一数学上学期人教版A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学人教版A版2019必修第一册第2章单元复习卷，覆盖一元二次函数、方程和不等式核心知识，通过多样题型与真实情境设计，培养数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|不等式解集、非负实数最值、不等式恒成立等|基础巩固，考查概念辨析与基本运算| |多选题|3题|不等式性质、基本不等式应用、二次不等式解集|能力提升，注重多维度推理与性质综合| |填空题|3题|实际应用（药剂配制）、代数式最值、函数最值|创新应用，结合生活情境与抽象最值问题| |解答题|5题|最值证明、电商营业税计算、集合运算、抛物线综合|分层递进，融合几何直观与实际问题，提升数学建模与运算能力|

第2章一元二次函数、方程和不等式章末练习 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（    ）． A． B． C． D． 3．设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 4．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 5．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知，，为实数，则下列命题成立的是（    ） A．若，则 B．，，，都有 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为4 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 三、填空题 12．配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 13．已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 14．设函数，当时，的最大值记为，则的最小值为________. 四、解答题 15．已知实数满足，求的最大值． 16．，求证：.（已知） 17．某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 18．已知集合，集合，． (1)求集合，； (2)记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 19．如图，已知点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过、、三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若一元二次函数在上的最大值为3，求实数的值； (3)是第一象限内抛物线上一点，连接，，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次函数、方程和不等式章末练习-2026-2027学年高一数学上学期人教版A版2019必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D A A A D AD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据不等式的性质求出分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以该不等式的解集为. 2．B 【分析】用表示及目标代数式，再利用确定范围，利用不等式性质可得答案. 【详解】由题可得，从而，. 由题可得，从而，则. 3．D 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 4．D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 5．A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 6．A 【分析】结合集合运算以及分式不等式的运算，直接判断充分性和必要性即可. 【详解】由得，， 所以， 又，所以， 则若，可得， 若，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7．A 【分析】由绝对值的性质得到，解其等价不等式组得到的取值范围. 【详解】因为成立， 所以，等价于， 解得， 所以实数的取值范围是． 8．D 【详解】二次函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为， 由，有，又，若，成立， 则有，解得， 所以实数m的最小值为. 9．AD 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 10．BCD 【分析】根据基本不等式的性质，抛物线的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，是实数，若，则不成立，所以A错误； 对于B，. 因为，所以， 所以，，，恒成立， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以. 根据抛物线的性质可知，当时，的最大值为，所以C正确； 对于D，因为，所以令，则. 所以. 由基本不等式的性质可得，所以. 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为4，所以D正确. 11．ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 12． 【详解】设两种药分别配剂，则. 即. 13． 【分析】先对进行拆分，分别求出和的最小值．对于，提取后，利用，构造齐次式，从而借助基本不等式求得最小值；对于，将看作常数，借助基本不等式求得最小值．求得的两个最小值都与有关，观察后再次借助基本不等式求得最小值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 14．/0.25 【分析】由已知得，然后结合绝对值不等式的性质得出，再对取值，使得，从而得出结论. 【详解】，① ，② ，③ ①3+②4+③得： ， 所以， 取，， ，则，所以时，取得最小值，或2时，取得最大值， 所以的最大值是，即， 所以的最小值为. 15． 【分析】利用的代换，再结合柯西不等式来求最值. 【详解】由，利用的代换可得： ， 当且仅当，即时，取到最大值． 16．由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 【详解】略 17． 【分析】计算出第二年产品上交的营业税，根据题意得出关于的不等式，解不等式即可得出的最大值． 【详解】由题意，第二年产品年销售量为万件，产品的售价为元， 所以，第二年产品年销售额为万元， 则第二年产品上交的营业税为万元． 由题意可得， 化简得，即，解得． 所以的最大值是． 18．(1)或 当时，； 当时，； 当时，． (2)或． 【分析】（1）由不等式可得，分类讨论与的关系，即可得到结果 （2）根据实数分类讨论，结合区间左右边界，保证集合中有且仅有一个整数，即可得到结果. 【详解】（1）由，解得或，所以或． 又， 当时，； 当时，； 当时，． （2）由于，且集合中有且仅有一个整数. 当时，，则，舍； 当时，，此时， 中仅有整数，则，即； 当时，，中仅有整数， 则，即． 综上，实数k的取值范围为或． 19．(1)抛物线的解析式，顶点. (2)或. (3)点，面积的最大值. 【分析】（1）求出点、坐标，利用交点式写出解析式，再代入点，即可得解. （2）根据对称轴与区间的位置关系，分类求解即可. （3）过点向轴作垂线，交线段于点，设点，，把面积写成关于横坐标的二次函数，再求最值. 【详解】（1）由已知直线， 令，代入，得，则. 令，代入，得，则. 抛物线过点，，设抛物线的解析式为， 代入，解得， 则抛物线的解析式为，顶点. （2）由（1）知，抛物线开口向下，对称轴为，顶点处函数值为. 若区间包含，函数的最大值，舍去. 区间在对称轴右侧，即，时，最大值在处，即，解得. 区间在对称轴左侧，即，时，最大值在处，即，解得. （3）过点向轴作垂线，交线段于点. 设点，， 则，则， 又，当时，有，此时. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $