2026-2027学年人教版八年级数学上册10月份第一次月考自编模拟卷

2026-2027学年第一学期10月份第一次月考自编模拟卷 八 年 级 数 学 （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材人教版第14章至第16章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 3．如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 4．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向的M处，它以每小时35海里的速度向正南方向航行，2小时后到达位于灯塔P的南偏东的N处，则M处与灯塔P的距离为（    ）    A．80海里 B．70海里 C．60海里 D．40海里 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长大于为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接已知的面积比的面积小，则的面积为（　　）    A．4 B．3.5 C．3 D．2 6．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的度数是（    ） A． B． C． D．或 7．如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 8．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 10．在平面直角坐标系中，点．若是等腰直角三角形，且，当时，点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 12．如图， ，若,，则________． 13．如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为 _______ ． 14．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，如果，那么的度数为_____（用含的代数式表示）. 15．如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 16．如图，在面积为5的锐角中，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接，若的面积为1，则周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 18．（6分）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 19．（10分）在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 20．（10分）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 21．（10分）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 22．（10分）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 23．（12分）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中，画出关于直线对称的图形； (2)在图1中，若，则 ； (3)如图2，点是边上一点，请你在边上找一点，使． 24．（14分）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时， ； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，，，求的值． 25．（14分）生活中随处可见几何图形与对称变换，折叠便是典型的轴对称变换，同学们在学习了简单的轴对称图形知识后，借助纸片开展折叠探究． (1)如图1，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，再将翻折，使与重合，折痕为，连接，则为_________度； (2)在（1）的条件下，若是等腰三角形，则的度数为多少？请说明理由； (3)图2中的四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形，已知，，连接，为的高，若，，且，请直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月份第一次月考自编模拟卷 八 年 级 数 学 （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材人教版第14章至第16章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、它是轴对称图形，故本选项符合题意； C、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、它不是轴对称图形，故本选项不合题意． 2．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点． 3．如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， 是等腰三角形 ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上 ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形 ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 4．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向的M处，它以每小时35海里的速度向正南方向航行，2小时后到达位于灯塔P的南偏东的N处，则M处与灯塔P的距离为（    ）    A．80海里 B．70海里 C．60海里 D．40海里 【答案】B 【分析】由题意可得：，（海里），由等腰三角形的性质可得；（海里），即可求解． 【详解】解：由题意可得：，（海里）， ∴ ∴（海里） 故选：B 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是正确求得． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长大于为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接已知的面积比的面积小，则的面积为（　　）    A．4 B．3.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据尺规作图可知点是的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线， 点是的中点， ， ， ，即的面积为4， 故选：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形的面积计算，掌握线段垂直平分线的概念、三角形的面积公式是解题的关键． 6．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的度数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论，当顶角为钝角时，当顶角为锐角时，分别画出图形，根据等腰三角形的定义，以及直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 此时顶角的度数为． ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴． 此时顶角的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 7．如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】D 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】解：符合题意的三角形如图所示： 满足要求的图形有4个 故选：D 【点睛】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义． 8．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题主要考查了几何图形折叠问题，其中长方形每个内角都为直角，即，再根据折叠的性质，折痕为对称轴，折叠前后对应角相等即和，再利用已知角建立方程求解． 【详解】解： ∵根据题意，以、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、， ∴利用折叠对称性，设，； ∵长方形中， ∴， 即， ∵折叠后， 即， ． 9．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．作点E关于射线的对称点，连接，当点F、P、三点共线，且时，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，连接，如图，则， ， 当点F、P、三点共线，且时，的值最小，即为的长，则， ∵是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．在平面直角坐标系中，点．若是等腰直角三角形，且，当时，点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形．过点作轴于，由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， 点， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数的规律解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 12．如图， ，若,，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形性质得出结论． 【详解】解：∵,， ， ∵ ， ∴． 13．如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为 _______ ． 【答案】 【分析】由题意得出为的平分线是解题关键．根据角平分线的作法和定义得出，再结合平行线的性质得，即可得出，最后求周长即可． 【详解】解：由题意可知为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长为， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴的周长为． 14．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，如果，那么的度数为_____（用含的代数式表示）. 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，过作于，由， ，即可得出， 再根据直角三角形两个锐角互余可求得，又由垂直平分，即可得到 ，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于， ∵点关于的对称点恰好落在上， ∴ 垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在面积为5的锐角中，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接，若的面积为1，则周长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，能够得到的最小值，以及证明出是等边三角形，且边长等于是解题的关键，过点作直线，过点作于点，交直线于点，求出，推出的最小值为，再作点关于的对称点，连接，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 【详解】解：过点作直线，过点作于点，交直线于点，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， 锐角的面积为， ， ， 的面积为1，， ，点是直线上的动点， ， ， ， 的最小值为， 作点关于的对称点，连接， 则，， 周长， 由两点之间线段最短知，周长的最小值为的长， ， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【答案】(1)证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； (2)1 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 18．（6分）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【分析】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【详解】略． 19．（10分）在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，在中，与的度数，再根据“三角形内角和为”求得的度数． （2）过点作两条分别垂直于、的辅助线后，由“角平分线上的点到角的两边距离相等”推导即可． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ． （2）解：过点作于，于， 平分，，， ， 平分，，， ， ． 20．（10分）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； (3)4 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 21．（10分）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点E作交的延长线于点H，求出，然后利用角平分线的性质定理求解； （2）连接，，首先证明，得到，推出，然后证明，得到，即证明． 【详解】（1）解：如图，过点E作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点E到的距离； （2）略 22．（10分）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ； (2)9 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和证明，可得，再利用三角形的外角性质即得结论； （2）先利用角的直角三角形的性质求出的长，进而可得的长，再利用（1）的结论即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 23．（12分）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中，画出关于直线对称的图形； (2)在图1中，若，则 ； (3)如图2，点是边上一点，请你在边上找一点，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出对称轴即可； （2）根据轴对称的性质结合题意，可得，得出是等边三角形，进而即可求解； （3）连接交对称轴于点，连接并延长交于点，根据对称性可得，结合，可得，即可证明，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：∵，与关于直线对称 ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）略 24．（14分）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时， ； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）过点A作于点E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过点D作交于点E，作交于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点D作交于点E，作交于点F， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵， ∴由（1）知：， ∵， ∴， ∵，，平分， ∴由（2）知：， ∴， ∴． 25．（14分）生活中随处可见几何图形与对称变换，折叠便是典型的轴对称变换，同学们在学习了简单的轴对称图形知识后，借助纸片开展折叠探究． (1)如图1，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，再将翻折，使与重合，折痕为，连接，则为_________度； (2)在（1）的条件下，若是等腰三角形，则的度数为多少？请说明理由； (3)图2中的四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形，已知，，连接，为的高，若，，且，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)的度数为或或， 理由：由（1）可知，， 设， ， ， 折叠， ， ， ①若，则， ， ，即； ②若，则， ， ， ， ，即； ③若，则， ， ， ，即， 综上可知，的度数为或或； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，再根据折叠得出，即可得解； （2）设，则，再分三种情况讨论，根据等边对等角分别求解即可； （3）根据题意画出折叠前的正方形，进而得出正方形边长，设，则，，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 折叠， ，， ； （2）略 （3）解：根据题意，四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形， 设， 折叠， ，，， 正方形， ， ，， ，， ， ， 解得：，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期10月份第一次月考自编模拟卷 八年级数学 参考答案 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 9 10 答案 D B 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分.） 11.(4,-2)12.60°13.18 14.900-Q15.45°16.8 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 17.(10分) 【答案】(1)证明：，AD为△ABC的角平分线， .∠CAD=∠EAD, 在△ACD和△AED中， AC=AE ∠CAD=∠EAD, AD=AD ∴△ACD≌△AED SAS;(5分) (2)解：，△ACD≌△AED, ∴.AE=AC=3, BE=AE-AB=3-2=1.(10分) 18.(6分) (4分) △FDE即为所求(6分) 19.(10分) 【答案】(1)130° (2)4 【详解】(1)解：.BD平分∠ABC, .∠DBC=号∠ABC=×60°=30， .CD平分∠ACB, ∠DCB=2∠ACB=×40=200 2 ∴.∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-30°-20° =130°.(5分) (2)解：过点D作DF⊥AC于F,DH⊥BC于H, BD ∠ABC DE⊥ABDH⊥BC D B H 平分 .'DH=DE=2, .CD平分∠ACB,DH⊥BC,DF⊥AC, ∴.DH=DF=2, Sax=号DFAC=×2x4=4.(10分) 2 20.(10分) 【答案】(1)解：△乙是等边三角形，理由如下： AB=AD,∠DAB=60 ∴.△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=60°， .CE‖AB ∴.∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°， ∴.∠CED=∠ADB=∠DFE, ∴△乙是等边三角形：(3分) (2)证明：，AB=AD,CB=CD, ∴.AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD, AB=AD ∴.AC平分∠DAB:(6分) (3)解：AC平分∠DAB,∠DAB=60°， .∠BAC=∠DAC=30°， CE‖AB, ∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30, ∴.AE=CE=8, ∴.DE=AD-AE=12-8=4, ,△乙是等边三角形， .'EF=DE=4, ∴.CF=CE-EF=8-4=4.(10分) 21.(10分) (1)解：如图，过点E作EH⊥CA交CA的延长线于点H, B GD AD⊥AE ∴.∠EAD=90° 3 ∴.∠EAF+∠FAD=90°，∠EAH+∠CAD=90° .AD平分∠BAC ∴.∠FAD=∠CAD ∴.∠EAF=∠EAH .EF⊥AB,EH⊥CA .EF=EH, ∴点E到AC的距离=EF;(3分) (2)证明：如图，连接BE,CE B GD ,EF⊥AB,EH⊥CA ∴.∠EFA=∠H=90° 又，∠EAF=∠EAH,EA=EA ∴.△EAF≌△EAH AAS ∴.AF=AH ∴.AF+AC=AH+AC=HC ,EG垂直平分BC ∴.EB=EC EF⊥AB,EH⊥CA ∴∠EFB=∠H=90° 又，EF=EH ∴.Rt△EBF≌Rt△ECH HL .BF=HC ∴，AF+AC=BF.(10分) 22.(10分) (1)证明：.△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAE=∠C=60°， 在△ABE和△CAD中， AE=CD ∠BAE=∠C AB=AC ∴.△ABE≌△CAD SAS, ∴.∠ABE=∠CAD, ∴.∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°：(5分) (2)解：在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°， ∴.∠PBQ=30 PQ=4, BP=8, .PE=1, ∴.BE=BP+PE=9, 由(1)得△ABE≌△CAD, ∴.AD=BE=9.(10分) 23.（12分) M A B C B (1) 图1 (4分) (2)30 (8分) (3) 图2 (12分) 24.(14分) 【详解】(1)解：如图1，过点A作AE⊥BC于点E, B D 图1 :点D是BC边上的中点， ∴BD=DC, .SABD:S△ACD (2)解：如图2，过点D作DE⊥AB交AB于点E,作DF⊥AC交AC于点F, E 图2 ,AD为∠BAC的角平分线， .DE=DF, .AB=m,AC=n, ∴.SABD:S△ACD- (3)解：，AD=DE, ∴由(1)知：S△ABD:S△EBD=1:1, SABDE=10, ∴.SAARD=10, .AC=3,AB=5,AD平分∠CAB, ∴由(2)知：SAABD:SAACD=AB:AC=5:3, .SAACD=6 ∴SAABC=10+6=16.(14分) 25.(14分) 答案】(1)80°(4分) (2)∠CAF的度数为10°或25°或40°， 理由：由(1)可知，∠g=80°，∠C=40° 设∠CAF=a, .∴.∠AFD=∠C+∠CAF=40°+， ∴.∠AFC=180°-∠AFD=140°-a, .折叠， .∴.∠AFE=∠AFC=140°-a, ∴.∠DFE=∠AFE-∠AFD=140°-a-40°+a=100°-2a, ①若DE=DF,则∠=∠DFE=80°， ∴.100°-2a=80° B ∴.a=10°，即∠CAF=10°；(6分) ②若DE=EF,则∠EDF=∠EFD, B Cg=80 ∴.∠EDF=∠EFD=180°-∠gS=50i, 2 ∴.100°-2a=50, ∴.a=25°，即∠CAF=25°；(8分) ③若DF=EF,则∠=∠EDF=80°， ∴.∠DFE=180°-∠-∠EDF=20° D ∴.100°-2a=20°， ∴.a=40°，即∠CAF=40 综上可知，∠CAF的度数为10°或25°或40°；(10分) (3)解：根据题意，四边形ABCD是正方形AMCN经过两次折叠后得到的图形， Ms E D 设ED=X, 折叠， .AM=AE=AN=7,BM=BE=3,DN=ED=x, .正方形AMCN, ∴.AM=AN=CM=CN=7, .BC=4,CD=7-X, Sm号8CGD=方×47-X=14-2x,SAm号AEED-方×7X7 SABCD=3. SAAED 2 :2SAcD=3S△AED 214-2x=3×7 6 (gL) 67 =Qa的‘ .67 业越 9S 9S