2.2 基本不等式【知识清单+10大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦基本不等式核心知识点，系统梳理“一正二定三相等”的使用条件，从基本不等式定义及几何、算术平均数关系出发，延伸至利用和定积最大、积定和最小求最值的方法，再拓展到基本不等式链及三个正数的不等式，构建递进式知识支架。 该资料亮点在于典例分类细致，涵盖“1”的妙用、配凑法等十种解题方法，结合菜园篱笆设计等实际应用案例，培养学生用数学眼光抽象现实问题，通过证明题和恒成立问题发展数学思维的推理能力。课中辅助教师分层教学，课后检测题量丰富，助力学生查漏补缺，提升运算与应用能力。

2.2 基本不等式 第一部分：知识清单 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点3：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点4：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 第二部分：典型例题汇总 典例一 由基本不等式比较大小 典例二 “1”的妙用求最值 典例三 配凑法求最值 典例四 消元法求最值 典例五 二次与二次(或一次)的商式的最值 典例六 换元法求最值 典例七 对勾函数求最值 典例八 基本不等式的恒成立问题 典例九 由基本不等式证明不等关系 典例十 基本不等式的实际应用 第三部分：典型例题 典例一 由基本不等式比较大小 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·新疆和田·期末）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·河南·期中）已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·浙江·期中）设,且,则（    ） A． B． C． D． 典例二 “1”的妙用求最值 5．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知，，，则的最小值是________. 6．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 7．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 8．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 典例三 配凑法求最值 9．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 10．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 11．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 12．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 典例四 消元法求最值 13．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 14．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，且，则的最小值为________. 15．（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 16．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 典例五 二次与二次(或一次)的商式的最值 17．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知，则的最大值为______________; 19．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）（1）已知，求函数的值域； （2）已知，，且，求：的最小值． 20．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，则的最小值为___________. 典例六 换元法求最值 21．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 22．（2026高三上·全国·专题练习）已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 23．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 24．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 典例七 对勾函数求最值 25．（25-26高三·全国·三轮复习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为________． 26．（25-26高一·全国·课堂例题）函数f（x）＝＋1的最小值为________． 27．（25-26高二上·河南·期中）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）函数的值域是 __________． 典例八 基本不等式的恒成立问题 29．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 30．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 31．（25-26高一上·山东日照·阶段检测）（多选）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 32．（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为_____． 典例九 由基本不等式证明不等关系 33．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 34．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 35．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，. (1)求的最小值； (2)若，证明：. 36．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知均为正实数． (1)证明：． (2)若，求的最小值． (3)若，求的最小值． 典例十 基本不等式的实际应用 37．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 38．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 39．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 40．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 4．（2026·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 5．（2026高三上·河南洛阳·专题练习）已知，，且，则取最小值时（  ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 8．（25-26高一上·天津·期中）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（25-26高一上·江西赣州·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 12．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 13．（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 14．（25-26高一上·安徽淮北·阶段检测）下列命题中正确的有_________（填写序号） ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 15．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 16．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知正数满足，求的最小值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 第一部分：知识清单 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点3：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点4：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 第二部分：典型例题汇总 典例一 由基本不等式比较大小 典例二 “1”的妙用求最值 典例三 配凑法求最值 典例四 消元法求最值 典例五 二次与二次(或一次)的商式的最值 典例六 换元法求最值 典例七 对勾函数求最值 典例八 基本不等式的恒成立问题 典例九 由基本不等式证明不等关系 典例十 基本不等式的实际应用 第三部分：典型例题 典例一 由基本不等式比较大小 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高一上·新疆和田·期末）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断充分性，利用基本不等式及不等式的性质判断必要性即可得解. 【详解】取，满足，此时，即推不出； 因为，，所以，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 3．（25-26高一上·河南·期中）已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由基本不等式证明充分性，取特殊值说明不满足必要性，即可求解. 【详解】当时，，则“”是“”的充分条件； 当，取，则，则“”不是“”的必要条件； 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 4．（25-26高二上·浙江·期中）设,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由特殊值代入可判断ABD,由基本不等式可判断C. 【详解】对于A：若则;若则,故A错误； 对于B：若则,故B错误； 对于C：,当且仅当时，即时，等号成立. 又.又,故C正确； 对于D：若，则即,与题设矛盾，故D错误. 故选：C. 典例二 “1”的妙用求最值 5．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知，，，则的最小值是________. 【答案】4 【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】所以， 当且仅当时取等号. 则的最小值是4. 6．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 7．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 8．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 典例三 配凑法求最值 9．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 10．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． 11．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 12．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 典例四 消元法求最值 13．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将转化为，由得到，从而得到，将代入，进行整理，利用基本不等式求解即可得解. 【详解】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 14．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】对已知等式进行变形，得到，将其代入，化简得到，最后利用基本不等式求出最小值，并验证等号成立条件即可. 【详解】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 15．（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 典例五 二次与二次(或一次)的商式的最值 17．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求出． 【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为． 故选：C． 18．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知，则的最大值为______________; 【答案】 【分析】当时，，，然后利用基本不等式求最大值即可. 【详解】当时，，，当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 19．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）（1）已知，求函数的值域； （2）已知，，且，求：的最小值． 【答案】（1）；（2）18． 【分析】（1）设，得到，且，化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解； （2）由，得到，化简，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设，因为，可得，且， 故， 因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立． 所以函数的值域为． （2）由，可得，即， 则． 当且仅当，即且时，等号成立， 所以的最小值为． 20．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】利用换元法，令，将转化为关于的分式，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 典例六 换元法求最值 21．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】/0.25 【分析】将原式变形为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案． 【详解】因为均为正实数，且， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”； 则的最小值为， 故答案为： 22．（2026高三上·全国·专题练习）已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】直接运用基本不等式可解决A、B；运用基本不等式中“1”的妙用可解决C；运用换元法结合基本不等式，可解决D. 【详解】对于A：因为且， 所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A正确； 对于B：因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C错误； 对于D：令，则 所以， 又因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 因此，则， ，故D正确. 故选：C. 23．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【分析】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 24．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解. 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 典例七 对勾函数求最值 25．（25-26高三·全国·三轮复习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为________． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 26．（25-26高一·全国·课堂例题）函数f（x）＝＋1的最小值为________． 【答案】＋1 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1， 令，t∈[，＋∞）， 则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥）， 则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝， 则g（t）≥， 所以函数f（x）的最小值为； 故答案为：. 27．（25-26高二上·河南·期中）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值可判断AC，利用基本不等式可判断BD. 【详解】若，则，故A选项不满足题意； 若，则，当且仅当，即时，“”成立，这显然不成立，故B选项不满足题意； 若，则，故C选项不符合题意； 若，则，当且仅当时，“”成立，故D选项符合题意． 故选：D. 28．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）函数的值域是 __________． 【答案】 【分析】化简可得，视为整体，由，利用双勾函数的性质，即可得解. 【详解】由 ， 得：当时，， 当且仅当，即，即时，等号成立． 根据“双勾函数”模型，有在单调递减； 在单调递增， 所以在单调递减；在单调递增， 又，． 所以当时，的值域为 故答案为：. 典例八 基本不等式的恒成立问题 29．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先由基本不等式常数代换法求出的最小值情况，再由恒成立即可得解. 【详解】、是正实数，且， 则， 则， 当且仅当即时等号成立， 但、是正实数，所以的最小值的极限值为1， 因为不等式恒成立，所以. 故实数的最大值为1. 故选：C 30．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 31．（25-26高一上·山东日照·阶段检测）（多选）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】BCD 【分析】利用“1”的妙用和基本不等式求出的最小值，再由不等式恒成立，解不等式求出的范围，再逐一检验各选项即可. 【详解】因，，故，又， 则，当且仅当时等号成立， 依题意，可得恒成立，即，解得. 当时，由，解得，此时恒成立； 当时，由，解得此时恒成立； 当时，由，解得，此时恒成立. 故选：BCD. 32．（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为_____． 【答案】 【分析】分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 典例九 由基本不等式证明不等关系 33．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 34．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）利用基本不等式进行累加求和证明即可； （2）利用三元完全平方和公式来进行证明即可； （3）利用代换法，结合均值不等式即可证明. 【详解】（1）由基本不等式可得， 累加得， 即，当且仅当时取等号； （2）由（1）得， 变形得 配方得， 因为，所以，当且仅当取等号； （3）因为，所以 ， 因为是正实数，所以，同理可得， 即， 当且仅当时取等号. 35．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，. (1)求的最小值； (2)若，证明：. 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1）由于，，， 故， 当且仅当，即取到等号， （2）， 由于，当且仅当取到等号，， 当且仅当取到等号，，当且仅当取到等号， 因此， 当且仅当取到等号， 36．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知均为正实数． (1)证明：． (2)若，求的最小值． (3)若，求的最小值． 【答案】(1) ． 因为a，b，c，d均为正实数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以得证． (2)； (3)2． 【分析】（1）利用基本不等式有，可证结论； （2）（方法一）由，可得，则，由（1）的结论可求最小值； （方法二）由，可得，消元得，令，结合基本不等式求最小值． （3）利用柯西不等式求最小值. 【详解】（1）略 （2）解：（方法一）由，可得． ， 因为a，b均为正实数，所以由（1）的结论可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （方法二）由，可得，则，即，所以， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （3）． 因为a，b，c均为正实数，所以， ，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 故的最小值为2． 典例十 基本不等式的实际应用 37．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 38．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】（1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 39．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 40．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 4．（2026·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 5．（2026高三上·河南洛阳·专题练习）已知，，且，则取最小值时（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，对化简，可得，结合“1”代换，则，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，，，且， 则 ， 当且仅当，即时，取得最小值， 又，即时等号成立. 故选：C 6．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：D. 7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 【答案】D 【分析】先化简已知分式等式，转化的定量关系，再利用基本不等式性质 “积定，为定值”，求 “和的最小值”即可. 【详解】因为，所以， 即：，  所以：， 化简得：， 因，故， 所以：， 当且仅当时，基本不等式的等号成立， 又因为 所以即， 所以当时，的最小值为. 故选：D 8．（25-26高一上·天津·期中）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件将所求式子变为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 9．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式的性质逐项计算即可. 【详解】对于A，因为， 所以根据基本不等式的性质得，所以. 当且仅当时等号成立，此时的最大值为2，A正确； 对于B，因为，所以， 所以. 因为，所以，所以当时，取最小值为，B正确； 对于C，， 由A可知的最大值为2，所以的最大值为，C正确； 对于D，. 当且仅当即，结合可得时等号成立， 此时的最小值为，D错误； 故选：ABC. 11．（25-26高一上·江西赣州·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 【答案】BC 【分析】由配凑法结合基本不等式即可求解判断AB；由进行配凑得到，再结合基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断C；由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断D. 【详解】若，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6，故B正确； 若，，且，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 若，，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为.故D错误. 故选：BC 12．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 13．（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 14．（25-26高一上·安徽淮北·阶段检测）下列命题中正确的有_________（填写序号） ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 【答案】②③④ 【分析】由已知结合基本不等式计算和的最小值与积的最大值，对选项进行判断. 【详解】对于①，， 若，则有，方程无解，所以等号取不到，最小值不是2，①错； 对于②，当时，有， 当且仅当，即时等号成立，②正确； 对于③，当时，有，则， 当且仅当，即时等号成立，③正确； 对于④，正数x，y满足，则， 当且仅当，即时等号成立，④正确. 15．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 16．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）； （3） 【分析】（1）根据题意，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）由，求得，当或时，求得，当时，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由，即，解得， 当或时，可得； 当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $