14.2全等三角形的性质判定12026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 全等三角形及其性质 知识要点 2对点训练 知识点 全等形和全等三角形的定义 (1)能够 的两个图形是全等形.能够完全重合的两个三角形叫作 .注意：形状相同、大小相等. (2)例：判断对错： ①两个形状相同的图形，称为全等图形；( ) ②两个圆是全等图形；( ) ③面积相同的两个直角三角形是全等图形；( ) ④全等图形的形状和大小都相同.( ) 1.下列图形中，和所给图全等的图形是( ) 2.(2026 内蒙古期末)下列说法正确的是( ) A.全等三角形是指形状相同的两个三角形 B.全等三角形是指面积相等的两个三角形 C.两个等边三角形是全等三角形 D.全等三角形是指两个能完全重合的三角形 知识点 对应顶点、对应边及对应角的定义 (1)两个三角形重合时，互相 的顶点叫作对应顶点.互相 的边叫作对应边.互相 的角叫作对应角.记两个三角形全等时，通常把 顶点的字母写在 的位置上. (2)例:如图,△ABC≌△DEF,∠A和∠D 是对应角,AB 和DE 是对应边，则∠B 的对应角是 ，EF 的对应边是 . 3.已知△ADC≌△CEB，写出两个全等三角形的对应顶点、对应边及对应角. 知识点 全等三角形的性质 (1)全等三角形的 相等，全等三角形的 相等. (2)(人教8上P30、北师7下P96) 例:如图,△OCA≌△OBD,写出其中相等的角: , , ;写出其中相等的边： , , . 4.如图,△ABC≌△DCB,A,D是对应点,AB=6,BC=8,AC=7,则DB的长为 . 5.(人教8上P31)如图是两个全等三角形，则∠1的度数为 . 学科网（北京）股份有限公司 6.【例1】如果两个图形全等，那么这两个图形必定是( ) A.形状大小均相同 B.形状相同，大小不同 C.形状大小均不相同 D.大小相同，形状不同 11.(跨学科融合)下列各学科使用的教学器具中，属于全等图形的是( ) 小结：能够完全重合的两个图形叫作全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状大小均相同. 7.【例2】(人教8上P31)如图,△ABN≌△ACM,AB 和AC 是对应边,∠B 和∠C 是对应角,写出其他对应边和对应角. 小结：全等三角形的对应顶点在对应位置，按顺序找即可. 12.(人教8上P31、北师7 下 P96)如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC 和∠DBC是对应角，请写出三组对应边： (2) ; (1) ; (3) ; 另一组对应角：(4) 8.【例3】如图,△ABC≌△EBD,AB =4 cm,BD=7 cm,则 CE 的长度为( ) A.4 cm B.3cm C.2cm D.3.5cm 13. (2026 西安期中) 如图,已知 △ABC ≌△DEF,点B,E,C,F 在同一直线上. 若 BC=8,CE=5,则CF的长为 . 小结:由△ABC≌△EBD,可得 AB =EB,BC = BD,根据CE=BC-EB 计算即可. 9.【例4】如图,点 F,B,E,C在同一条直线上,△ABC≌△DEF,若∠A =36°,∠F =24°,则∠DEC的度数为( ) A.50° B.60° C.65° D.120° 14.(2026 江苏期末)如图,△ABC≌△CDE,∠D=35°,∠ACB =45°,则∠DCE 的度数为 . 小结：根据全等三角形的对应角相等求出∠D，然后利用三角形外角的性质即可得解. 10.【例5】(人教8上P30)如图,△ABC≌△BAD,点 A 和点 B,点C 和点 D 是对应顶点,∠BAC=65°,∠ABC=26°,AC,BD的延长线相交于点 E.求∠CBD,∠AEB 的度数. ★15.(推理能力)(人教8上P31 改编)如图,已知△ABC≌△FED,AF=8,BE=2. (1)求证:AC∥DF; (2)求AB 的长. 小结：先根据全等三角形的性质求出∠CBD的度数，再根据三角形的内角和求出∠AEB的度数. 学科网（北京）股份有限公司 三角形全等的判定(1)——————SAS 知识要点 对点训练 知识点 三角形全等的判定(SAS) 两边和它们的 分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“ ”). 几何语言： 在△ABC 和△A'B'C'中, ∴ △ABC≌ ( ). 1.如图，下列各选项中与△ABC一定全等的三角形是( ) 2.(人教8 上 P33 改编)(2026江西期末)如图，AB 平分∠DAC,要用SAS 确定△ABC≌△ABD，还需要添加的一个条件是 . 知识点 应用SAS证明两个三角形全等(人教8上P43)例:如图,AD=AE,AB=AC,则欲证∠B=∠C,可先证 ≌ ，其根据是 技巧：应用SAS 判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角. 3.(人教8上P43 改编)如图,点C 是线段AB 的中点,AD=BE,∠A =∠B.求证:∠D=∠E. 知识点 用全等三角形的判定与性质解决问题(人教8 上P34、北师7下 P111)如图,有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点A 和点 B.连接AC 并延长到点 D,使 CD =CA.连接BC并延长到点E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE 的长就是A，B的距离.为什么? 4.(跨学科融合)(人教8 上 P43、北师7下P111)如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量哪些量?为什么? 学科网（北京）股份有限公司 5.【例1】如图,点B,F,C,E 在同一直线上,∠1=∠2, BF=EC,若要用SAS判定 △ABC≌△DEF,则还需添 加的一个条件是 . 小结：已知一边一角对应相等，根据SAS 找另一边相等.. 8.(2026荆门期末)如图,BC=EF,AC∥DF,请你添加一个适当的条件： ，使得用SAS 可判定△ABC≌△DEF. 6.【例2】如图,点E,B在AD上,已知AE=DB,AC=DF,∠A=∠D,求证:△ABC≌△DEF. 9.(2026 黑龙江期末)如图,点A,D,B,E在一条直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF. 小结：根据线段的和差关系得AB =DE，再根据SAS 即可得到△ABC≌△DEF. 7.【例3】(人教8上 P59)(2026 江苏模拟)如图,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC. (1)求证:AB=DE; (2)若∠A=21°,∠E=39°,求∠ACB的度数. 10.如图,点 E 在 CD上,BC,AE交于点 F,AB=CB,BE=BD,∠1=∠2. (1)求证:△ABE≌△CBD; (2)求证:∠1=∠3. 小结：(1)通过角的和差计算得角相等，再证明△ABC≌△DEC，可得证；(2)由全等三角形的性质和三角形的内角和定理可求解. ★11.(推理能力、模型观念)如图，BD是 的平分线， 点P在BD上, CD，M，N分别是垂足，请说明： 学科网（北京）股份有限公司 三角形全等的判定(2)——————ASA 和 AAS 知识要点 对点训练 知识点 三角形全等的判定(ASA) 两角和它们的 分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言:在△ABC和△A'B'C'中, △ABC≌ ( ). 1.(跨学科融合)如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带( )去最省事. A.① B.② C.③ D.①③ 知识点( ASA 的应用 例:如图,在 △ABC 和 △FED 中,∠C = ∠D, ∠B = ∠E,若由“ASA” 可以判定△ABC≌△FED，则需补充的一个条件是 . 2.(人教8上P35)如图,点E在AB上,点C在AD上,AB=AD,∠B=∠D.求证:△ABC≌△ADE. 知识点 三角形全等的判定(AAS) 两角分别相等且其中 相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言:在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌ ( ). 3.如图,已知AC=EC,∠ACB=∠ECD,要利用“AAS”判定△ABC≌△EDC,应添加的条件是 . 知识点 AAS 的应用 例:如图,已知∠B=∠DEF,AB =DE,要证明△ABC≌△DEF. (1)若以“ASA”为依据,则还缺条件: ; (2)若以“AAS”为依据,则还缺条件: . 4.(2026长沙期末)如图,在△ABC 中,点D 为BC边的中点,过点 B 作BE∥AC交AD 的延长线于点 E.求证:△BDE≌△CDA. 学科网（北京）股份有限公司 5.【例1】如图,AB=DE,∠A=∠D,添加以下条件,不能使△ABC≌△DEF 的是( ) A. AC=DF B. BC=EF C.∠B=∠E D.∠C=∠F 小结：SSA 不能判定两个三角形全等. 9.(2026汕头期末)如图,点 E,F 在BC 上,BE=CF,∠B =∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是( ) A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C. AB=DC D. AF=DE 6.【例2】(人教8上P46)如图,在△ABC中,D 是AB 上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件： ，使得AE =CE.(只添一个即可) 小结：已知CF∥AB，且对顶角相等，则添加一组对应边相等即可. 10.(人教8 上 P36 改编)如图,∠A=∠D,要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件： (填一个即可). 7.【例3】(人教8上P45、北师7 下P118)如图,点B,F,C,E在一条直线上,BF=CE,AB∥DE,∠A=∠D.求证:AC=DF. 11.(2026福州模拟)如图,BE∥AC,点D 在BC上,AB = DE,∠ABE = ∠CDE.求证:△ABC≌△DEB. 小结:由已知BF=CE,可得BC=EF;由AB∥DE,可得∠B=∠E,易证△ABC≌△DEF,即可得出AC=DF. 8.【例4】(2026 菏泽期末)如图,在△ABC 中,F是高 AD 与高 BE 的交点,AD = BD.求证: 小结：先证明 .从而利用ASA 证明△ADC≌△BDF. 12.(思维能力)(人教8 上 P60、北师7 下P117)如图,∠ACB =90°,AC =BC,BE⊥CE于点 E,AD⊥CE 于点 D,AD =5cm ,DE =3c m,求BE的长度. 第十四章 全等三角形 全等三角形及其性质 知识点1：(1)完全重合 全等三角形 (2)①× ②× ③× ④✔ 知识点2：(1)重合 重合 重合 对应 对应 (2)∠E BC 知识点3：(1)对应边 对应角 (2)∠A=∠D ∠C=∠B ∠AOC=∠DOB AC=DB OC=OB OA =OD 1. D 2. D 3.解:对应顶点:A与C,C与B,D与E; 对应边:AC与CB,AD与CE,CD与BE; 对应角:∠A 与∠BCE,∠D 与∠E,∠ACD与∠B. 4.7 5.72° 6.【例1】A 7.【例2】解:对应边:AN与AM,BN与CM;对应角:∠BAN与∠CAM,∠ANB与∠AMC. 8.【例3】B 9.【例4】B 10.【例5】解:∵△ABC≌△BAD,∴∠ABD=∠BAC=65°,∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=65°-26°=39°.在△AEB中,∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°,∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-65°-65°=50°. 11. A 12.(1)AB和DB (2)AC和DC (3)BC和BC (4)∠ACB 和∠DCB 13.3 14.100° 15.(1)证明:∵△ABC≌△FED,∴∠A=∠F.∴AC∥DF. (2)解:∵△ABC≌△FED,∴AB=EF. ∴AB-EB=EF-EB.∴AE=BF. ∵AF=8,BE=2,∴AE+BF=8-2=6, 三角形全等的判定(1)——SAS 知识点1:夹角 SAS △A'B'C' SAS 知识点2:△ABE △ACD SAS 知识点3:解:连接AB.在△ABC和△DEC中, ∴△ABC≌△DEC(SAS),∴AB=DE. 故量出DE的长就是A，B的距离. 1. B 2. AC=AD 3.证明:∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC, 在△DAC和△EBC中, ∴△DAC≌△EBC(SAS), ∴∠D=∠E. 4.解:只要测量A'B'.理由如下:连接A'B', ∵点O分别是AA',BB'的中点,∴OA=OA',OB=OB'. 在△AOB和△A'OB'中, OA=OA',∠AOB=∠A'OB',OB=OB', ∴△AOB≌△A'OB'(SAS).∴AB=A'B'. 5.【例1】AC=DF 6.【例2】证明:∵AE=DB, ∴AE+EB=DB+EB,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS). 7.【例3】(1)证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE,即∠ACB=∠DCE, 在△ABC和△DEC中, ∴△ABC≌△DEC(SAS). ∴AB=DE. (2)解:∵△ABC≌△DEC,∴∠B=∠E=39°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=120°. 8. AC=DF 9.证明:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE,∵AC∥DF,∴∠A=∠EDF, 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS). 10.证明:(1)∵∠1=∠2, ∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE,即∠ABE=∠CBD, 在△ABE和△CBD中, ∴△ABE≌△CBD(SAS). (2)∵△ABE≌△CBD,∴∠A=∠C, ∵∠AFB=∠CFE,∴∠1=∠3. 11.解:∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD, 在△ABD和△CBD中, ∴△ABD≌△CBD(SAS), ∴∠ADB=∠CDB,∴∠MDP=∠NDP. ∵PM⊥AD,PN⊥CD, ∴∠PMD=∠PND=90°, 又∵PD=PD,∴△PDM≌△PDN(AAS), ∴PM=PN. 三角形全等的判定(2)——ASA 和AAS 知识点1:夹边 △A'B'C' ASA 知识点2:BC=ED 知识点3:一组等角的对边 △A'B'C' AAS 知识点4:(1)∠A=∠D (2)∠ACB=∠F 1. C 2.证明:在△ABC和△ADE中, ∴△ABC≌△ADE(ASA). 3.∠B=∠D 4.证明:∵点D为BC的中点,∴BD=CD, ∵BE∥AC,∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD, 在△BDE和△CDA中, ∴△BDE≌△CDA(AAS). 5.【例1】B 6.【例2】DE=EF(答案不唯一) 7.【例3】证明:∵BF=CE,∴BC=EF. 又∵AB∥DE,∴∠B=∠E. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(AAS),∴AC=DF. 8.【例4】证明:∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠BDF=90°, ∵BE⊥AC,∴∠AEF=∠BDF=90°, ∵∠AFE=∠BFD,∴∠CAD=∠FBD, 在△ADC和△BDF中, ∴△ADC≌△BDF(ASA). 9. D 10.∠ABC=∠DBC(答案不唯一) 11.证明:∵BE∥AC,∴∠DBE=∠C. ∵∠CDE=∠DBE+∠E,∠ABE=∠ABC+∠DBE,∠ABE=∠CDE, ∴∠E=∠ABC, 在△ABC和△DEB中, ∴△ABC≌△DEB(AAS). 12.解:∵BE⊥CE,AD⊥CE, ∴∠E=∠ADC=∠ACB=90°, ∴∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠EBC=∠ACD, 在△BEC和△CDA中, ∴△BEC≌△CDA(AAS),∴CE=AD=5cm ,BE=CD, ∵DE=3cm,∴BE=CD=5-3=2(cm). 学科网（北京）股份有限公司 $