江苏2027届高三物理一轮复习讲义 带电粒子在复合场中的运动

带电粒子在复合场中的运动专题 【命题规律】 1、命题角度： （1）安培定则，磁场的叠加，安培力的分析和计算；（2）带电粒子在磁场中的运动； （3）动态圆模型．（4）带电粒子在组合场中的运动；（5）带电粒子在叠加场中的运动； （6）带电粒子在交变场中的运动. 2、常考题型：选择题、计算题 ★考向一、　带电粒子在匀强磁场中的运动 分析带电粒子在磁场中运动的方法 基本思路 （1）画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹． （2）找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系． （3）用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式． 基本公式 qvB＝m 重要结论 r＝，T＝，T＝ 圆心的确定 （1）轨迹上的入射点和出射点的速度垂线的交点为圆心，如图（a）； （2）轨迹上入射点速度垂线和两点连线中垂线的交点为圆心，如图（b）； （3）沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图（c）（当r已知或可算） 半径的确定 方法一：由物理公式求．由于Bqv＝，所以半径r＝； 方法二：由几何关系求．一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）通过计算来确定． 时间的求解 方法一：由圆心角求．t＝·T； 方法二：由弧长求．t＝. 轨迹圆的几个基本特点 （1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角．（如图甲，θ1＝θ2＝θ3） （2）粒子速度方向的偏转角等于其轨迹的对应圆心角．（如图甲，α1＝α2） （3）沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图乙．（两侧关于两圆心连线对称） 临界问题 （1）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系． （2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切． 多解成因 （1）磁场方向不确定形成多解；（2）带电粒子电性不确定形成多解； （3）速度不确定形成多解；（4）运动的周期性形成多解. 【特别提醒】 1.带电粒子在有界匀强磁场中的运动 （1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角.粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角.（如图，θ1＝θ2＝θ3） （2）圆形边界（进、出磁场具有对称性） ①沿径向射入必沿径向射出，如图所示. ②不沿径向射入时. 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示. 2.临界问题 （1）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系. （2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切. 3.多解问题 题目描述的条件不具体，存在多解的可能性，常见的多解原因有： （1）磁场方向不确定形成多解；（2）带电粒子电性不确定形成多解； （3）速度不确定形成多解；（4）运动的周期性形成多解. ★考向二、动态圆模型 放 缩圆 适用条件 粒子速度方向一定，速度大小不同 应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件． （轨迹圆的圆心在P1P2直线上） 旋 转圆 适用条件 粒子的速度大小一定，半径一定，速度方向不同 应用方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件， （轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上） 平移 圆 适用条件 粒子的速度大小、方向均一定，入射点位置不同 应用方法 将半径为R＝的圆进行平移， （轨迹圆的所有圆心在一条直线上） 磁聚焦与磁发 散 成立条件：区域圆的半径等于轨迹圆半径R＝ 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 磁发散 ★考向三、带电粒子在组合场中的运动 带电粒子依次经过各场，运动过程由各阶段不同性质的运动（圆周、类平抛、变速直线、匀速直线等）组合而成。 （1）分析研究带电粒子在不同场区的运动。 （2）分析与计算各阶段运动间连接点的速度大小与方向是解题关键。 （3）画出全过程运动示意图很重要。 1．正确区分“电偏转”和“磁偏转” 带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场（磁偏转） 垂直进入电场（电偏转） 情景图 受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力 运动规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2 2．带电粒子在组合场中运动的应用实例 （1）质谱仪（如图） 原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2。 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m。 由以上两式可得r＝，m＝，＝。 （2）回旋加速器（如图） 原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形金属盒半径r决定，与加速电压无关。 ★考向四、带电粒子在叠加场中的运动 明确粒子受几个力，结合运动情况，分析各力方向。 （1）电场与磁场叠加：常见模型有速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件等。 （2）电场、磁场、重力场叠加：无约束带电体在叠加场做直线运动时必为匀速直线运动；做圆周运动时必为匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力。 1．三种典型情况 （1）若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时． （2）若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直． （3）若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m. 2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解． 3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表。 装置 原理图 规律 速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动 磁流体发电机 等离子体射入匀强磁场区，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定， q＝qv0B，U＝v0Bd 电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝ 霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差 ★考向五、带电粒子在交变场中的运动 带电粒子进入周期性变化的电场或磁场，其运动随之做周期性变化。 （1）分析清楚复合场一个周期内的粒子运动过程，找到粒子运动时间、位移、速度等的周期性变化规律。 （2）画出运动过程的示意图，有助于分析。 1．此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图． 【经典例题】 【例题1】如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ=30°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，则（　　） A．两板间电压的最大值 B．能打到N板上的粒子的最大动能为 C．粒子在磁场中运动的最长时间 D．CD板上可能被粒子打中区域的长度 【答案】 A 【解析】 A．根据动能定理 根据牛顿第二定律 解得轨迹半径为 解得A正确； B．最大动能为 解得B错误； C．粒子在磁场中运动的最长时间为解得C错误； D．设轨迹和CD相切时的半径为R2解得 被粒子打中区域的长度为 解得D错误。故选A。 【例题2】 如图所示为回旋加速器的示意图，两个靠得很近的D形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中，一质子从加速器的A处由静止开始加速。已知D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B，高频交变电源的电压为U、频率为f，质子质量为m、电荷量为q，两D形盒距离为d，下列说法正确的是（　　） A. B. 质子在回旋加速器中A点同侧相邻加速点等间距 C. 质子在电场中的运动时间为 D. 增大电压不会影响质子每次增加的动能 【答案】C解析】 【详解】A．高频交变电源的频率与质子在磁场中做匀速圆周运动的频率相同，由质子在磁场中做匀速圆周运动的周期 可得 故A错误； B．由质子在磁场中运动时 可知运动半径 质子经过一次加速后速度会增大，半径增大，故质子在回旋加速器中A点同侧相邻加速点不等间距，故B错误； C．质子在回旋加速器中运动的最大速度为 质子在电场中的运动，由， 质子在电场中的运动时间为 故C正确； D．质子每次增加的动能 所以增大电压质子每次增加的动能增大，故D错误。 故选C。 【例题3】如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy中，在第一、第二象限内分别有方向垂直于坐标平面向里和向外的匀强磁场，在y>0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，磁感应强度和电场强度大小均未知。在第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成角度斜向上做直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即做匀速圆周运动，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g。求： （1）小球的比荷和第一象限内匀强电场场强E1的大小； （2）要使小球能够进入第二象限，求第一象限内磁感应强度B1的大小范围； 【答案】 （1）E；（2）；（3）见解析 【解析】 （1）设小球质量为m，电荷量为q，速度为v，球在MN段受力如图，因为在MN段做匀速直线运动，所以球受力平衡，由平衡条件得 要使小球进入第一象限后能立即在矩形磁场区域内做匀速圆周运动，则球受的重力必须与电场力平衡 联立解得 （2）由（1）可知 即 在第一象限圆周运动，设磁感应强度为B1时，小球轨迹恰与y轴相切，洛伦兹力提供向心力 可知 由几何关系 L<R（1+cos） 解得 【例题4】如图所示，匀强磁场磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变． （1）求粒子运动速度的大小v； （2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm； 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有：，解得： 由题可得： 解得； （2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切 由几何关系得dm=d（1+sin60°） 解得 5、如图所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求： （1）粒子加速到P点所需要的时间t； （2）极板N的最大厚度； （3）磁场区域的最大半径。 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）设粒子在P的速度大小为，则根据 可知半径表达式为 对粒子在静电场中的加速过程，根据动能定理有 粒子在磁场中运动的周期为 粒子运动的总时间为 解得 （2）由粒子运动半径，结合动能表达式变形得 则粒子加速到P前最后两个半周的运动半径为， 由几何关系有 结合解得 （3）设粒子在偏转器中的运动半径为，则在偏转器中，要使粒子半径变大，电场力应和洛伦兹力反向，共同提供向心力，即 设粒子离开偏转器的点为，圆周运动的圆心为。由题意知，在上，且粒子飞离磁场的点与、在一条直线上，如图所示。 粒子在偏转器中运动的圆心在点，从偏转器飞出，即从点离开，又进入回旋加速器中的磁场，此时粒子的运动半径又变为，然后轨迹发生偏离，从偏转器的点飞出磁场，那么磁场的最大半径即为 将等腰三角形放大如图所示。 虚线为从点向所引垂线，虚线平分角，则 解得最大半径 6、空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为、。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求： (1)Q到O的距离d；(2)甲两次经过P点的时间间隔； 【答案】(1)；(2)； 【详解】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由 得，， Q、O的距离为： (2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N个周期， 所以，再次经过P点的时间为 由匀速圆周运动的规律得， 绕一周的时间为 所以，再次经过P点的时间为 两次经过P点的时间间隔为 7、如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等．某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场．当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场．取sin53°=0.8，cos53°=0.6． （1）求磁感应强度大小B； （2）入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t； （1）粒子圆周运动的半径 由题意知，解得 （2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为α 由d=rsinα，得sinα=，即α=53° 在一个矩形磁场中的运动时间，解得 直线运动的时间，解得 则 8、 霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 【答案】（1）v0B；（2）；（3）90% 【详解】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动则有Ee = ev0B 解得E = v0B （2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 （3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有F合 = evmB－eE 在最低点有F合 = eE－evB 联立有 要让电子达纵坐标位置，即y ≥ y2 解得 则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的90%。 9、回旋加速器的工作原理如题15-1图所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m，电荷量为+q，加在狭缝间的交变电压如题15-2图所示，电压值的大小为U0．周期T=．一束该种粒子在t=0~时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零．现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用．求： （1）出射粒子的动能；（2）粒子从飘入狭缝至动能达到所需的总时间； 【答案】(1)（2） 10、如图所示，两个半圆区域abcd、a’b’c’d’中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，半径分别为R1、R2. ab与a‘b’’间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c’d’间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减为原来的k倍（k＜1）. 现有一个质量为m、电量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，忽略经过插入体的时间。求：（1）电子进入插入体前后在磁场中运动的半径之比； （2）电子多次循环后到达cd的稳定速度v； （3）若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界d，求电阻从P到d的时间t。 【名师解析】（1）根据洛伦兹力等于向心力，可得 解得 设电子进入插入体前的速度为v1，穿出插入体后的速度为v2，可得 （2）根据题意可得 解得 （3）电子到达cd中点P时速度稳定，电子在右侧区域运动时速度为v，做匀速圆周运动的半径 电子在右侧区域运动时速度为kv，做匀速圆周运动的半径 设电子从P点转过n个圆周到达d点，根据题意可得 可得 运动时间t=nT，其中T= 整理可得： 11、如图所示，平面直角坐标系x轴水平，y轴竖直向上，虚线MN与y轴平行，y轴左侧有竖直向下的匀强电场，场强，y轴与MN之间有平行于y轴的匀强电场，y轴右侧存在垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B=1T.一带正电小球(，)从图中与y轴距离为的P点，以的初速度沿x轴正向开始运动，经坐标原点O越过y轴，在y轴与MN之间恰好做匀速圆周运动，再经C点越过MN，越过时速度方向与x轴正方向一致.线段CD平行于x轴，小球能通过D点，取.求： (1)经过O点时的速度； (2)匀强电场的场强以及C点的坐标； (3)线段CD的长度. 【答案】(1)，与x轴夹角 ；(2) ，方向向上；C点坐标为(0.8m，-0.4m) (3) ，n=1,2,3，…… 【详解】(1)小球在PO段做类平抛运动 与x轴夹角 (2)小球在y轴与MN之间做匀速圆周运动，重力与电场力平衡 方向向上 洛伦兹力提供小球做圆周运动的向心力 C点坐标为(0.8m，-0.4m) (3)在MN右侧，求由，得 小球在C点的速度大小是v=5m/s，可看成是v1=2m/s和v2=3m/s两个速度的合成，在磁场中小球的运动轨迹为摆轮线 周期为 所以 ，n=1,2,3，…… 【精选习题】 一、单选题 1．如图所示，一个带正电的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面底端时的速度为若加上一个垂直于纸面指向纸外的方向的磁场，则物体滑到底端时（       ） A．v变大 B．v变小 C．v不变 D．不能确定 【答案】 A 【解析】未加磁场时，根据动能定理，有 加磁场后，多了洛伦兹力，洛伦兹力不做功，根据左手定则，洛伦兹力的方向垂直斜面向上，所以物体对斜面的压力减小，所以摩擦力变小，摩擦力做的功变小，根据动能定理，有 Wf′＜Wf 所以v′＞v．故A正确，BCD错误。 故选A。 2．如图甲、乙所示的电路中，两光滑平行导轨之间的距离均为L，在两导轨之间的平面内都有垂直导轨平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场，两金属杆完全相同、阻值均为r，均与导轨接触良好。图甲中导轨的左端接有阻值为R的定值电阻，金属杆在水平拉力的作用下以速度v水平向右做匀速运动；图乙中导轨的左端接有内阻不计的电源，金属杆通过跨过定滑轮的绝缘轻绳与一重物相连，杆正以速度v水平向右做匀速运动，电路中的电流为I。若导轨电阻不计，忽略所有摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．两杆所受安培力的方向相同 B．图甲、乙中两杆所受安培力大小之比为 C．在时间Δt内图甲中金属杆产生的电能为 D．在时间Δt内图乙中电源输出的能量为BILvΔt 【答案】 D 【解析】AB．图甲中电路，由闭合电路欧姆定律可得I1= 金属杆受到的安培力F1=BI1L= 方向水平向左，图乙中金属杆受到的安培力F2=BIL 方向水平向右，两杆所受安培力方向相反，大小之比为 故选项AB错误；CD．在Δt时间内，图甲中金属杆产生的电能等于金属杆克服安培力做的功E电=F1vΔt= 图乙中电源输出的能量等于安培力对金属杆做的功，即E机=F2vΔt=BILvΔt选项C错误，D正确。故选D。 3．如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界的夹角为30°，距顶点b为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直bc边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子、粒子质量为m、电量大小为q，下列说法正确的是（　　） A．从边界bc射出的粒子速度方向各不相同 B．粒子离开磁场时到b点的最短距离为 C．垂直边界ab射出的粒子的速度大小为 D．垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为 【答案】 B 【解析】A．粒子竖直向上进入磁场，轨迹圆心一定在bc边上，若粒子能从边界bc射出，粒子的速度方向一定竖直向下，故方向均相同，A错误；B．当轨迹恰好与ab边相切时，粒子从bc边离开磁场时到b点的距离最短，由几何关系可得离b点的最短距离为 联立解得 B正确； C．垂直边界ab射出的粒子，轨道半径为 由洛伦兹力作为向心力可得 解得粒子的速度大小为 C错误； D．粒子在磁场中的运动周期为 垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为D错误。 故选B。 4．如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，、、、是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（　　） A．沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最短 B．沿径迹、运动的粒子均为正电子 C．沿径迹、运动的粒子速率比值为 D．沿径迹、运动的时间之比为9：8 【答案】 C 【解析】A．由于正电子和负电子的电量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 解得 可知四种粒子的周期相等，而沿径迹运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由        可知沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最长，A项错误：B．由左手定则可判断沿径迹，运动的粒子均带负电，B项错误；C．设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹，运动的粒子轨道半径分别为，，根据 可得 C项正确： D．由前述分析可知，运动时间之比为偏转角之比所以D项错误。故选C。 5．如图，足够长的绝缘竖直杆处于正交的匀强电磁场中，电场方向水平向左、场强大小为E，磁场方向水平向里，磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为-q（q>0）的小圆环套在杆上（环内径略大于杆的直径）无初速下滑。若重力加速度大小为g，圆环与杆之间的动摩擦因数为（qE<mg），圆环电荷量不变，则能反映圆环下滑过程中速度v随时间t变化关系的图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】 D 【解析】速度较小时，对圆环受力分析有 随着速度增大，加速度逐渐增大，当 加速度为重力加速度，之后，洛伦兹力大于电场力，有 随着速度增大，加速度逐渐减小，速度增大，直到加速度为零时，速度最大，最终做匀速运动。 故选D。 6、如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从点由静止释放，沿图中轨迹依次经过、两点，且点离虚线最远。已知磁感应强度为，电场强度为，电子质量为、电荷量为，点为零电势点，电子重力不计，则（　　） A. 电子在点的速率为 B. 点离虚线的距离为 C. 电子在点的电势能为 D. 、两点的距离为 【答案】C【详解】AB．设电子在运动过程中的任意一点Q的速度为v，则该速度可以分解为水平速度vx和竖直速度vy，M点到Q点的竖直距离为d，我们选水平向左为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，对电子从M点到Q点用动能定理有 对电子从M点到Q点水平方向用动量定理有 则当Q点为N点时，有 联立以上数据解得 ， 故AB错误。 C．由以上分析得电子在N点的动能为 设电子在N点的电势能为，从M到N对电子用能量守恒定律得 则得N点电子的电势能为 C正确； D．如下图设P、M中间点为O点，对电子从M点到O点竖直方向用动量定理有 由图得电子的运动具有周期性，也可认为电子的运动为一个竖直平面的匀速圆周运动和一个竖直方向的匀变速直线运动的合运动。对于匀速圆周运动有 得运动周期为 即电子从M点到O点的运动时间为 所以 由周期性得、两点的距离为 故D错误。 故选C。 二、解答题 1、如图所示，在第二象限内，0≤y≤d区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度E= ,d≤y≤3d区域有垂直于xOy平面向里，大小可调的匀强磁场I，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，自点P(0,6d)处以大小为v0、方向与y轴正方向成30°的速度进入匀强磁场II(图中未画出），匀强磁场II的边界为矩形，方向垂直于xOy平面，粒子从磁场II飞出后恰好能沿x轴负方向经过坐标原点O,不计粒子的重力)。求： （1) 磁场II的磁感应强度大小：（2)磁场II的最小面积： 2、如图所示，在xOy竖直平面坐标系中x轴上方有竖直向下的匀强电场，下方有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源从S（-d，0）处在坐标平面内先后向磁场中与＋x方向夹角为范围内发射粒子，所有粒子第一次经磁场偏转后同时从O点进入电场，此后粒子到达x轴时的位置均分布在S点的右侧（包含S点）。已知粒子的质量为m、电荷量为＋q，不计粒子重力及粒子间相互作用。 （1）求从S发出的粒子的最小速度v；（2）求电场强度的大小E0； 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）为轨迹的直径时，粒子速度最小，设该粒子在磁场中运动的半径为，如图1 则有 由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）由题意可知出射速度与方向夹角为的粒子刚好能够到达点，如答图2 设该粒子在磁场中运动的半径为，速度为，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力，有 粒子在电场中运动的加速度 沿方向做匀减速运动，设减速时间为，根据匀变速运动的规律有 粒子在方向做匀速运动，有 联立解得 3、如图甲，距离很近的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区域，磁场范围很大，方向垂直纸面向里。在边界上固定两个等长的平行金属板A和D，两金属板中心各有－小孔S1、S2，板间电压的化规律如图乙，正、反向最大电压均为U0，周期为T0。一个质量为m、电荷量为＋q的粒子在磁场中运动的周期也是T0。现将该粒子在t=时刻由S1静止释放，经电场加速后通过S2又垂直于边界进入右侧磁场区域，在以后的运动过程中不与金属板相碰。不计粒子重力、极板外的电场及粒子在两边界间运动的时间。 （1）求金属板的最大长度L； （2）求粒子第n次通过S2的速度； 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【详解】（1）粒子在t=时刻静止释放，此时AD间的电压为,粒子第一次在电场运动过程，由动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 周期 联立解得 为了粒子不与金属板相碰，金属板长度应满足 故金属板的最大长度为； （2）由于粒子在磁场的运动时间刚好为一个周期，故粒子每次从、中穿过的电压都是，每穿过一次就加速一次，粒子第n次通过时，由动能定理有 解得 4、科学研究中，常通过施加适当的电场和磁场实现对带电粒子运动的控制。如图所示，放射源P沿水平方向发出一速率为v0、质量为m、带电量为＋q的粒子，粒子恰能沿水平带电极板M、N的中轴线通过，再从A处小孔对着圆心O进入半径为R的固定圆筒中。已知M、N两板间距为d，板间磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向外，圆筒内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小可调。粒子每次与筒壁发生碰撞后均原速率反弹且电荷量不变，不计粒子重力。 （1）求极板M、N间的电压U，并判断M、N两板电势的高低； （2）要使粒子能返回A处且与筒壁碰撞次数最少，求筒内磁感应强度的大小B； 【答案】（1）B0v0d；φN>φM；（2）； 【详解】（1）粒子能沿直线通过两板，有Eq＝qv0B0 又E＝ 可得U＝B0v0d 且φN>φM （2）粒子至少与筒壁碰撞两次，设第一次与筒壁在C点相碰（轨迹如图所示） 由几何知识可得θ＝ r＝Rtan＝R 又qv0B＝m 解得B＝ 5、设想半径为r的圆形区域内有平行于纸面的匀强电场，电场线方向与水平方向成角，同心大圆半径为，两圆间有磁感应强度为B垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。从粒子源飘出带正电的粒子经加速电压加速后竖直向上恰好与磁场外边界相切的P点进入磁场。当加速电压为时，其在磁场中运动的半径恰为r，不计粒子的重力。 （1）求粒子的比荷；（2）若粒子在，电压下加速进入磁场，经磁场和电场偏转后恰好从内圆的最低点Q处离开电场，求偏转电场的场强大小； 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子在电场中加速时 在磁场中做匀速圆周运动时 联立解得 （2）若粒子在电压下加速，则 在磁场中做匀速圆周运动时 解得 由几何关系 可得x=r 则粒子恰能从电场的最高点A点射入电场，且图中的θ=30°，由题意可知，电场与水平方向成60°角，则粒子进入电场时速度方向与电场方向垂直，带电粒子进入电场后做类平抛运动，垂直于电场方向2rcos60°=v1t 沿电场方向 解得 6、如图所示，在长方形abcd虚线框区域内，存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面水平向里的匀强磁场，电场强度，磁感应强度为B。O1为ab边中点，O1O2为长方形水平中心线，照相底片与虚线O1O2垂直且离cd边。现有一质量为m电荷量为q的带正电粒子从O1点以速度v（未知）水平射入时，带电粒子沿虚线O1O2做匀速直线运动。保持带电粒子从O1点水平射入的速度v不变，若撤去电场，带电粒子恰好经过d点后打在照相底片上的P点；若撤去磁场，带电粒子打在照相底片上的点。已知，，（不计粒子重力和空气阻力）。求： （1）从O1点水平射入的速度v； （2）带电粒子由O1点运动至P点的时间t； 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 （1）粒子沿虚线O1O2做匀速直线运动，根据平衡 解得 （2）撤去电场后，设带电粒子在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，如图 由牛顿第二定律 得 根据几何知识 粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 粒子离开磁场做匀速直线运动至P，点过程的位移 该过程的运动时间 则带电粒子由O1点运动至P点的时间t 7、在一边长为a的等边三角形OPQ内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，PQ是刚性绝缘板，带电微粒垂直撞上后会反向弹回，碰撞为弹性碰撞。现以O点为坐标原点，OP为x轴正方向，建立直角坐标系，在第一象限内加一方向竖直向上的匀强电场，在y轴的左侧加一加速电场，假设A、B两极板之间的加速电压为U，在B板的中间有一小孔。现将一带电荷量为-q、质量为m的带负电的微粒在A板中间由静止释放，带电微粒从B板的小孔处飞出，接着从y轴上的M点垂直y轴进入电场，随后从x轴上的C点进入磁场，且速度方向与OQ边平行。经过一段时间带电微粒恰好垂直打到绝缘板的中点并被弹回。最后带电微粒打在y轴负半轴上的N点处（C点、N点图中均未画出），不计带电微粒重力影响。求： （1）第一象限内的匀强电场的电场强度大小； （2）三角形OPQ区域内匀强磁场的磁感应强度大小； 【答案】 （1） ；（2） ； 【解析】 （1）带电微粒运动的轨迹如图所示 设带电微粒从B板射出的速度为v0，由动能定理有 设带电微粒进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，圆心为O1，由几何知识有 解得带电微粒在磁场中的轨迹半径 带电微粒在偏转电场中做类平抛运动，经过C点时的竖直分速度 由牛顿第二定律有 带电微粒在电场中运动的时间为 速度偏向角为60°，则 联立解得 （2）带电微粒进入匀强磁场时的速度 由洛伦兹力提供向心力有解得 8、如图所示，在直角坐标系第一象限内，以x轴和y轴为边界存在足够大匀强磁场。磁感应强度B随时间t作周期性变化的图像如图2所示，B0已知，垂直纸面向外为B的正方向，一粒子源可持续均匀发射速度为v0的粒子，粒子质量和电荷量分别为m和+q，不计重力；t=0时刻，打开粒子源，粒子从坐标原点O沿y轴正方向发射，在t=时刻进入磁场的粒子恰好在t=时刻离开磁场，求： （1）磁场变化的周期T0； （2）粒子从x轴射出的区域宽度d以及从第一象限射出的粒子在磁场中运动的最长时间； 【答案】 （1）；（2），；（3） 【解析】 （1）粒子在磁场中圆周运动的周期为 在到时间内磁场不变，如图1所示，粒子做匀速圆周运动从x轴离开磁场，则 解得 （2）粒子在磁场中圆周运动的半径为 如图2所示，某时刻进入磁场的粒子恰好从x轴上F点离开磁场区域，为粒子从x轴射出区域范围 解得 因为 所以粒子在磁场变化的半个周期内圆周运动的圆心角为。比较图2和图3可知：从第一象限射出的粒子在磁场中运动时间最长的应该是从y轴上D点射出的粒子，解得 9、如图所示，在空间直角坐标系O—xyz中有一长方体区域，棱OP、OA、ON分别在x轴、y轴和z轴上，侧面CBPQ处放有一块绝缘薄板。在该区域内有沿y轴负方向、磁感应强度为B的匀强磁场。现有大量质量均为m、电荷量均为+q的带电粒子从O点以大小各不相同的初速度沿z轴正方向射入该区域，粒子的初速度大小连续分布在范围内。粒子与绝缘薄板发生碰撞时，碰撞时间极短，电荷量保持不变，碰撞前后平行于板的分速度不变，垂直于板的分速度大小不变，方向反向。已知AB＝4d，AD＝d，AO＝6d，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。 （1）求能到达P点的粒子的初速度大小； （2）求初速度的粒子与绝缘薄板发生碰撞的次数，以及每次碰撞时的z坐标； （3）若长方体区域还存在沿y轴正方向、大小可调的匀强电场。 ① 要使得第（2）中的粒子与绝缘薄板只碰撞1次，求场强大小E需满足的条件； ② 调节匀强电场的大小，使得所有粒子均不会从ABCD面射出，现研究到达CDNQ面时速度方向与该平面平行的粒子，通过计算说明它们的初速度大小有几个可能的值，并求出其中初速度最大的粒子到达CDNQ面时的x坐标。 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【小问1详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，能到达P点的粒子的运动轨迹为半圆。半径 由牛顿第二定律可得 解得 【小问2详解】的粒子轨迹半径 轨迹如图所示 由几何关系r2＋r2sinθ＝4d 解得θ＝30° 相邻两次撞击点之间的距离Δz＝2r2cos30° 粒子与薄板碰撞的次数 取n=2 第1次碰撞时 第2次碰撞时 【小问3详解】① 这些粒子做圆周运动的周期为 从射出到第一次与薄板碰撞所用时间 从射出到第二次与薄板碰撞所用时间 在Oy方向，粒子在电场力作用下做匀加速运动 要使粒子与绝缘薄板只碰撞一次需满足 联立解得电场强度大小E的范围为 ② 粒子恰好不从Ox边界射出时轨迹如图所示 设半径为r3，由几何关系可得β＝60° 而r3＋r3sin 60°＝4d 解得r3＝8（2－）d 一次碰撞轨迹沿z轴移动＝2r3cos60° 碰撞次数 即带电粒子与绝缘薄板的最多碰撞次数为4次，结合第（2）问可得射出位置的x坐标有2个可能的值，对于x坐标最大情况的轨迹如图所示 ＝2r4cosα ＋r4＝d r4sinα＋r4＝4d 而sin2α＋cos2α＝1 解得r4＝ 所以，x坐标最大为。 10、上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量e、质量m、初速度v0知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子重力。 (1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为Ek，求极板间的加速电压大小。 (2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。 (3)如图丙，电子在磁感应强度为B0的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从A点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。 (1)(2) (3)速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下 【详解】（1）根据动能定理 解得 （2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I区域向下偏转。洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得 根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下的电子刚好无法进入II区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I右边缘相切 联立解得 （3）将空间沿轴线方向分割成微元，经过任何一个微元，电子速度方位角的正弦值变化量近似为，其中为该微元处的平均磁感应强度。无限细分之后求和可知，速度偏向角的正弦值变化量为，其中为图线所围的面积。类比图，横轴下方面积为“负”。故有 沿轴线入射，因此，根据规律则有 解得 因此处，，即速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下。 11、如图（甲）所示，两平行金属板间接有如图（乙）所示的随时间t变化的电压u，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场，极板长L＝0.2m，板间距离d＝0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B＝5×10﹣3T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v0＝105m/s，比荷＝108C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。 （1）试求带电粒子射出电场时的最大速度； （2）证明任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值。写出表达式并求出这个定值； （3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场。求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间。 【答案】（6+4+6=16）（1）1.414×105m/s；（2）证明见解析，； （3）tmax=9.42×10﹣6s，tmin=3.14×10﹣6s 【详解】（1）设两板间电压为U1时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有 代入数据，解得 U1＝100V 在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为v1，则有 解得 （2））设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ，则任意时刻粒子进入磁场的速度大小 粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 设带电粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离为s 由上式可知，射出电场的任何一个带电粒子进入磁场的入射点与出射点间距离恒为定值。 （3）粒子飞出电场进入磁场，在磁场中按逆时针方向做匀速圆周运动。粒子飞出电场时的速度方向与OO'的最大夹角为α，则 ， 当粒子从下板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最长 当粒子从上板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最短 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 带电粒子在复合场中的运动专题 【命题规律】 1、命题角度： （1）安培定则，磁场的叠加，安培力的分析和计算；（2）带电粒子在磁场中的运动； （3）动态圆模型．（4）带电粒子在组合场中的运动；（5）带电粒子在叠加场中的运动； （6）带电粒子在交变场中的运动. 2、常考题型：选择题、计算题 ★考向一、　带电粒子在匀强磁场中的运动 分析带电粒子在磁场中运动的方法 基本思路 （1）画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹． （2）找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系． （3）用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式． 基本公式 qvB＝m 重要结论 r＝，T＝，T＝ 圆心的确定 （1）轨迹上的入射点和出射点的速度垂线的交点为圆心，如图（a）； （2）轨迹上入射点速度垂线和两点连线中垂线的交点为圆心，如图（b）； （3）沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图（c）（当r已知或可算） 半径的确定 方法一：由物理公式求．由于Bqv＝，所以半径r＝； 方法二：由几何关系求．一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）通过计算来确定． 时间的求解 方法一：由圆心角求．t＝·T； 方法二：由弧长求．t＝. 轨迹圆的几个基本特点 （1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角．（如图甲，θ1＝θ2＝θ3） （2）粒子速度方向的偏转角等于其轨迹的对应圆心角．（如图甲，α1＝α2） （3）沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图乙．（两侧关于两圆心连线对称） 临界问题 （1）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系． （2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切． 多解成因 （1）磁场方向不确定形成多解；（2）带电粒子电性不确定形成多解； （3）速度不确定形成多解；（4）运动的周期性形成多解. 【特别提醒】 1.带电粒子在有界匀强磁场中的运动 （1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角.粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角.（如图，θ1＝θ2＝θ3） （2）圆形边界（进、出磁场具有对称性） ①沿径向射入必沿径向射出，如图所示. ②不沿径向射入时. 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示. 2.临界问题 （1）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系. （2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切. 3.多解问题 题目描述的条件不具体，存在多解的可能性，常见的多解原因有： （1）磁场方向不确定形成多解；（2）带电粒子电性不确定形成多解； （3）速度不确定形成多解；（4）运动的周期性形成多解. ★考向二、动态圆模型 放 缩圆 适用条件 粒子速度方向一定，速度大小不同 应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件． （轨迹圆的圆心在P1P2直线上） 旋 转圆 适用条件 粒子的速度大小一定，半径一定，速度方向不同 应用方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件， （轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上） 平移 圆 适用条件 粒子的速度大小、方向均一定，入射点位置不同 应用方法 将半径为R＝的圆进行平移， （轨迹圆的所有圆心在一条直线上） 磁聚焦与磁发 散 成立条件：区域圆的半径等于轨迹圆半径R＝ 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 磁发散 ★考向三、带电粒子在组合场中的运动 带电粒子依次经过各场，运动过程由各阶段不同性质的运动（圆周、类平抛、变速直线、匀速直线等）组合而成。 （1）分析研究带电粒子在不同场区的运动。 （2）分析与计算各阶段运动间连接点的速度大小与方向是解题关键。 （3）画出全过程运动示意图很重要。 1．正确区分“电偏转”和“磁偏转” 带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场（磁偏转） 垂直进入电场（电偏转） 情景图 受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力 运动规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2 2．带电粒子在组合场中运动的应用实例 （1）质谱仪（如图） 原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2。 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m。 由以上两式可得r＝，m＝，＝。 （2）回旋加速器（如图） 原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形金属盒半径r决定，与加速电压无关。 ★考向四、带电粒子在叠加场中的运动 明确粒子受几个力，结合运动情况，分析各力方向。 （1）电场与磁场叠加：常见模型有速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件等。 （2）电场、磁场、重力场叠加：无约束带电体在叠加场做直线运动时必为匀速直线运动；做圆周运动时必为匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力。 1．三种典型情况 （1）若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时． （2）若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直． （3）若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m. 2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解． 3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表。 装置 原理图 规律 速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动 磁流体发电机 等离子体射入匀强磁场区，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定， q＝qv0B，U＝v0Bd 电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝ 霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差 ★考向五、带电粒子在交变场中的运动 带电粒子进入周期性变化的电场或磁场，其运动随之做周期性变化。 （1）分析清楚复合场一个周期内的粒子运动过程，找到粒子运动时间、位移、速度等的周期性变化规律。 （2）画出运动过程的示意图，有助于分析。 1．此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图． 【经典例题】 【例题1】如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ=30°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，则（　　） A．两板间电压的最大值 B．能打到N板上的粒子的最大动能为 C．粒子在磁场中运动的最长时间 D．CD板上可能被粒子打中区域的长度 【例题2】 如图所示为回旋加速器的示意图，两个靠得很近的D形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中，一质子从加速器的A处由静止开始加速。已知D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B，高频交变电源的电压为U、频率为f，质子质量为m、电荷量为q，两D形盒距离为d，下列说法正确的是（　　） A. B. 质子在回旋加速器中A点同侧相邻加速点等间距 C. 质子在电场中的运动时间为 D. 增大电压不会影响质子每次增加的动能 【例题3】如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy中，在第一、第二象限内分别有方向垂直于坐标平面向里和向外的匀强磁场，在y>0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，磁感应强度和电场强度大小均未知。在第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成角度斜向上做直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即做匀速圆周运动，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g。求： （1）小球的比荷和第一象限内匀强电场场强E1的大小； （2）要使小球能够进入第二象限，求第一象限内磁感应强度B1的大小范围； 【例题4】如图所示，匀强磁场磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变． （1）求粒子运动速度的大小v； （2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm； 5、如图所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求： （1）粒子加速到P点所需要的时间t； （2）极板N的最大厚度； （3）磁场区域的最大半径。 6、空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为、。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求： (1)Q到O的距离d；(2)甲两次经过P点的时间间隔； 7、如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等．某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场．当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场．取sin53°=0.8，cos53°=0.6． （1）求磁感应强度大小B； （2）入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t； 8、 霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 9、回旋加速器的工作原理如题15-1图所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m，电荷量为+q，加在狭缝间的交变电压如题15-2图所示，电压值的大小为U0．周期T=．一束该种粒子在t=0~时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零．现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用．求： （1）出射粒子的动能；（2）粒子从飘入狭缝至动能达到所需的总时间； 10、如图所示，两个半圆区域abcd、a’b’c’d’中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，半径分别为R1、R2. ab与a‘b’’间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c’d’间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减为原来的k倍（k＜1）. 现有一个质量为m、电量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，忽略经过插入体的时间。求：（1）电子进入插入体前后在磁场中运动的半径之比； （2）电子多次循环后到达cd的稳定速度v； （3）若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界d，求电阻从P到d的时间t。 11、如图所示，平面直角坐标系x轴水平，y轴竖直向上，虚线MN与y轴平行，y轴左侧有竖直向下的匀强电场，场强，y轴与MN之间有平行于y轴的匀强电场，y轴右侧存在垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B=1T.一带正电小球(，)从图中与y轴距离为的P点，以的初速度沿x轴正向开始运动，经坐标原点O越过y轴，在y轴与MN之间恰好做匀速圆周运动，再经C点越过MN，越过时速度方向与x轴正方向一致.线段CD平行于x轴，小球能通过D点，取.求： (1)经过O点时的速度； (2)匀强电场的场强以及C点的坐标； (3)线段CD的长度. 【精选习题】 一、单选题 1．如图所示，一个带正电的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面底端时的速度为若加上一个垂直于纸面指向纸外的方向的磁场，则物体滑到底端时（       ） A．v变大 B．v变小 C．v不变 D．不能确定 2．如图甲、乙所示的电路中，两光滑平行导轨之间的距离均为L，在两导轨之间的平面内都有垂直导轨平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场，两金属杆完全相同、阻值均为r，均与导轨接触良好。图甲中导轨的左端接有阻值为R的定值电阻，金属杆在水平拉力的作用下以速度v水平向右做匀速运动；图乙中导轨的左端接有内阻不计的电源，金属杆通过跨过定滑轮的绝缘轻绳与一重物相连，杆正以速度v水平向右做匀速运动，电路中的电流为I。若导轨电阻不计，忽略所有摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．两杆所受安培力的方向相同 B．图甲、乙中两杆所受安培力大小之比为 C．在时间Δt内图甲中金属杆产生的电能为 D．在时间Δt内图乙中电源输出的能量为BILvΔt 3．如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界的夹角为30°，距顶点b为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直bc边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子、粒子质量为m、电量大小为q，下列说法正确的是（　　） A．从边界bc射出的粒子速度方向各不相同 B．粒子离开磁场时到b点的最短距离为 C．垂直边界ab射出的粒子的速度大小为 D．垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为 4．如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，、、、是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（　　） A．沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最短 B．沿径迹、运动的粒子均为正电子 C．沿径迹、运动的粒子速率比值为 D．沿径迹、运动的时间之比为9：8 5．如图，足够长的绝缘竖直杆处于正交的匀强电磁场中，电场方向水平向左、场强大小为E，磁场方向水平向里，磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为-q（q>0）的小圆环套在杆上（环内径略大于杆的直径）无初速下滑。若重力加速度大小为g，圆环与杆之间的动摩擦因数为（qE<mg），圆环电荷量不变，则能反映圆环下滑过程中速度v随时间t变化关系的图象是（　　） A．B．C．D． 6、如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从点由静止释放，沿图中轨迹依次经过、两点，且点离虚线最远。已知磁感应强度为，电场强度为，电子质量为、电荷量为，点为零电势点，电子重力不计，则（　　） A. 电子在点的速率为 B. 点离虚线的距离为 C. 电子在点的电势能为 D. 、两点的距离为 二、解答题 1、如图所示，在第二象限内，0≤y≤d区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度E= ,d≤y≤3d区域有垂直于xOy平面向里，大小可调的匀强磁场I，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，自点P(0,6d)处以大小为v0、方向与y轴正方向成30°的速度进入匀强磁场II(图中未画出），匀强磁场II的边界为矩形，方向垂直于xOy平面，粒子从磁场II飞出后恰好能沿x轴负方向经过坐标原点O,不计粒子的重力)。求： （1) 磁场II的磁感应强度大小：（2)磁场II的最小面积： 2、如图所示，在xOy竖直平面坐标系中x轴上方有竖直向下的匀强电场，下方有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源从S（-d，0）处在坐标平面内先后向磁场中与＋x方向夹角为范围内发射粒子，所有粒子第一次经磁场偏转后同时从O点进入电场，此后粒子到达x轴时的位置均分布在S点的右侧（包含S点）。已知粒子的质量为m、电荷量为＋q，不计粒子重力及粒子间相互作用。 （1）求从S发出的粒子的最小速度v；（2）求电场强度的大小E0； 3、如图甲，距离很近的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区域，磁场范围很大，方向垂直纸面向里。在边界上固定两个等长的平行金属板A和D，两金属板中心各有－小孔S1、S2，板间电压的化规律如图乙，正、反向最大电压均为U0，周期为T0。一个质量为m、电荷量为＋q的粒子在磁场中运动的周期也是T0。现将该粒子在t=时刻由S1静止释放，经电场加速后通过S2又垂直于边界进入右侧磁场区域，在以后的运动过程中不与金属板相碰。不计粒子重力、极板外的电场及粒子在两边界间运动的时间。 （1）求金属板的最大长度L； （2）求粒子第n次通过S2的速度； 4、科学研究中，常通过施加适当的电场和磁场实现对带电粒子运动的控制。如图所示，放射源P沿水平方向发出一速率为v0、质量为m、带电量为＋q的粒子，粒子恰能沿水平带电极板M、N的中轴线通过，再从A处小孔对着圆心O进入半径为R的固定圆筒中。已知M、N两板间距为d，板间磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向外，圆筒内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小可调。粒子每次与筒壁发生碰撞后均原速率反弹且电荷量不变，不计粒子重力。 （1）求极板M、N间的电压U，并判断M、N两板电势的高低； （2）要使粒子能返回A处且与筒壁碰撞次数最少，求筒内磁感应强度的大小B； 5、设想半径为r的圆形区域内有平行于纸面的匀强电场，电场线方向与水平方向成角，同心大圆半径为，两圆间有磁感应强度为B垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。从粒子源飘出带正电的粒子经加速电压加速后竖直向上恰好与磁场外边界相切的P点进入磁场。当加速电压为时，其在磁场中运动的半径恰为r，不计粒子的重力。 （1）求粒子的比荷；（2）若粒子在，电压下加速进入磁场，经磁场和电场偏转后恰好从内圆的最低点Q处离开电场，求偏转电场的场强大小； 6、如图所示，在长方形abcd虚线框区域内，存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面水平向里的匀强磁场，电场强度，磁感应强度为B。O1为ab边中点，O1O2为长方形水平中心线，照相底片与虚线O1O2垂直且离cd边。现有一质量为m电荷量为q的带正电粒子从O1点以速度v（未知）水平射入时，带电粒子沿虚线O1O2做匀速直线运动。保持带电粒子从O1点水平射入的速度v不变，若撤去电场，带电粒子恰好经过d点后打在照相底片上的P点；若撤去磁场，带电粒子打在照相底片上的点。已知，，（不计粒子重力和空气阻力）。求： （1）从O1点水平射入的速度v； （2）带电粒子由O1点运动至P点的时间t； 7、在一边长为a的等边三角形OPQ内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，PQ是刚性绝缘板，带电微粒垂直撞上后会反向弹回，碰撞为弹性碰撞。现以O点为坐标原点，OP为x轴正方向，建立直角坐标系，在第一象限内加一方向竖直向上的匀强电场，在y轴的左侧加一加速电场，假设A、B两极板之间的加速电压为U，在B板的中间有一小孔。现将一带电荷量为-q、质量为m的带负电的微粒在A板中间由静止释放，带电微粒从B板的小孔处飞出，接着从y轴上的M点垂直y轴进入电场，随后从x轴上的C点进入磁场，且速度方向与OQ边平行。经过一段时间带电微粒恰好垂直打到绝缘板的中点并被弹回。最后带电微粒打在y轴负半轴上的N点处（C点、N点图中均未画出），不计带电微粒重力影响。求： （1）第一象限内的匀强电场的电场强度大小； （2）三角形OPQ区域内匀强磁场的磁感应强度大小； 8、如图1所示，在直角坐标系第一象限内，以x轴和y轴为边界存在足够大匀强磁场。磁感应强度B随时间t作周期性变化的图像如图2所示，B0已知，垂直纸面向外为B的正方向，一粒子源可持续均匀发射速度为v0的粒子，粒子质量和电荷量分别为m和+q，不计重力；t=0时刻，打开粒子源，粒子从坐标原点O沿y轴正方向发射，在t=时刻进入磁场的粒子恰好在t=时刻离开磁场，求： （1）磁场变化的周期T0； （2）粒子从x轴射出的区域宽度d以及从第一象限射出的粒子在磁场中运动的最长时间； 9、如图所示，在空间直角坐标系O—xyz中有一长方体区域，棱OP、OA、ON分别在x轴、y轴和z轴上，侧面CBPQ处放有一块绝缘薄板。在该区域内有沿y轴负方向、磁感应强度为B的匀强磁场。现有大量质量均为m、电荷量均为+q的带电粒子从O点以大小各不相同的初速度沿z轴正方向射入该区域，粒子的初速度大小连续分布在范围内。粒子与绝缘薄板发生碰撞时，碰撞时间极短，电荷量保持不变，碰撞前后平行于板的分速度不变，垂直于板的分速度大小不变，方向反向。已知AB＝4d，AD＝d，AO＝6d，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。 （1）求能到达P点的粒子的初速度大小； （2）求初速度的粒子与绝缘薄板发生碰撞的次数，以及每次碰撞时的z坐标； （3）若长方体区域还存在沿y轴正方向、大小可调的匀强电场。 ① 要使得第（2）中的粒子与绝缘薄板只碰撞1次，求场强大小E需满足的条件； ② 调节匀强电场的大小，使得所有粒子均不会从ABCD面射出，现研究到达CDNQ面时速度方向与该平面平行的粒子，通过计算说明它们的初速度大小有几个可能的值，并求出其中初速度最大的粒子到达CDNQ面时的x坐标。 10、上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量e、质量m、初速度v0知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子重力。 (1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为Ek，求极板间的加速电压大小。 (2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。 (3)如图丙，电子在磁感应强度为B0的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从A点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。 11、如图（甲）所示，两平行金属板间接有如图（乙）所示的随时间t变化的电压u，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场，极板长L＝0.2m，板间距离d＝0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B＝5×10﹣3T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v0＝105m/s，比荷＝108C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。 （1）试求带电粒子射出电场时的最大速度； （2）证明任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值。写出表达式并求出这个定值； （3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场。求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $