第27讲 带电粒子在匀强磁场中的运动（复习讲义）（江苏专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习教案聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动专题，涵盖洛伦兹力、匀速圆周运动规律、有界磁场（直线/圆形边界）及临界多解问题等核心考点，按“命题透视-思维建模-考点精讲-真题溯源”逻辑架构知识体系，通过知识解构、考向破译（例题+变式训练）、真题演练等环节，帮助学生系统梳理解题方法，突破几何关系分析等难点。 资料突出分层考向设计与模型建构特色，如针对“放缩圆、平移圆”模型，结合临界轨迹相切条件，引导学生通过几何关系推导半径公式，培养科学思维与模型建构能力。设置基础巩固到综合应用的变式训练，配合真题溯源感知考向，助力学生高效掌握解题范式，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

带电粒子在匀强磁场中的运动 考点一 洛伦兹力 考●向●破●译 考向1 洛伦兹力的大小和方向【重】 例1 【答案】A 【变式训练1·变考法】【答案】B 【变式训练2·变情境】【答案】C 考向2 粒子束的偏转 例2【答案】B 【变式训练1·变考法】【答案】A 【变式训练2·变考法】【答案】AC 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 考●向●破●译 考向一 带电粒子在无界匀强磁场中的运动 例1 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知相同时间内的径迹长度之比，根据 可知粒子a、b的速度之比为 （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 由于a、b所带电荷量大小相等，半径之比，则粒子a、b的质量之比为 【变式训练1·变考法】【答案】B 考向二 直线边界、平行边界磁场问题【重】 例2【答案】B 【变式训练1·变考法】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由几何关系 可得 （2）设电子质量为m、电量为e，由 解得 （3）由，运动的周期 得 由 解得 考向三 放缩圆、平移圆、旋转圆模型【重】 例3【答案】C 【变式训练1·变考法】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力，有 得 粒子沿顺时针方向运动，如图所示 当粒子运动轨迹与轴相交的弦长等于直径时，能够探测到离子的距离最远，为，则在轴上能够探测到离子的区间为，即 （2）若 ，如图所示，可知离子在磁场中转过的圆心角为 根据线速度公式，有 得，则离子在磁场中的运动时间 （3）如图所示 粒子的运动轨迹有重叠的区域，为可探测到离子的高概率区域， 粒子的运动轨迹没有重叠的区域，为可探测到离子的低概率区域， 则高概率区与低概率区的面积比 【变式训练2·变考法】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 由题意可知，能打到P点被收集的粒子的轨迹半径为 代入数据联立解得能打到P点被收集的粒子速度大小为 （2）设速度为的粒子轨道半径为，则有 代入数据解得 如图2所示，设该粒子击中点，，则根据几何关系有 代入数据解得 所以有 已知所有粒子的圆周运动周期均为 由分析可知速度为的粒子转过的圆心角最小，其角度为 则粒子到达收集板的最短时间为 故至少经过才有粒子到达收集板。 （3）临界1：如图3所示 初速度与轴成的粒子轨迹直径与交于，这是上离最远的亮点，根据几何关系有 则 所以 临界2：如图4所示 初速度与轴成的粒子轨迹与相切于，则有 解得 说明点与点重合，则有 解得 MN之间会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，所求区域长度为 考向四 圆形边界磁场与磁聚焦【难】 例3【答案】D 【变式训练1·变考法】 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由题可知粒子速度方向对准点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）设粒子从点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过轴时所在位置离点距离为，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准点时，刚好从坐标原点射出并从点射入第三象限，所以粒子在轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从点入射时，方向速度越大，偏转位移越大，由于初始粒子沿轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，即距离轴的粒子均能从小孔通过，其中距离轴时，的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （3）由（2）可知，越大，越小，对此分为如下三种情况： （i）当从点沿轴正向入射时（最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从点入射时，其与轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从点入射时，其与轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离大于小孔右边界，故粒子所占比例为 考点三　临界问题、多解问题与科技应用 考●向●破●译 考向一 临界与极值问题【难】 例1【答案】C 【变式训练1·变考法】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子沿y轴负方向做匀速直线运动有 沿x轴正方向匀减速到零有 根据牛顿第二定律有 解得 （2） 粒子在磁场中运动时 解得 根据洛伦兹力提供向心力 解得 联立可得 （3）当粒子圆周运动的弦长为半圆形磁场直径时，半圆形磁场面积最小，根据几何关系有 半圆形磁场区域的最小面积 解得 考向二 带电粒子运动的多解问题【重】 例2【答案】B 【变式训练1·变考法】（多选）【答案】BD 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】BCD 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 带电粒子在匀强磁场中的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 洛伦兹力 知识点1 洛伦兹力 考向1 洛伦兹力的大小和方向重 考向2 粒子束的偏转 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中圆心、半径和时间的确定方法 考向1 带电粒子在无界匀强磁场中的运动 考向2 直线边界、平行边界磁场问题重 考向3 放缩圆、平移圆、旋转圆模型重 考向4 圆形边界磁场与磁聚焦难 考点三 临界问题、多解问题 知识点1 临界与极值问题 知识点2 多解问题的四类成因 考向1 临界与极值问题难 考向2 带电粒子运动的多解问题难 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 洛伦兹力的大小和方向的判断 江苏卷·T1，4分  带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动（半径，周期公式） 江苏卷·T16，计算题 带电粒子在有界磁场中的运动 江苏卷·T16，计算题 带电粒子在磁场中运动的临时和多解问题 考情分析 题型与考向：江苏高考对“带电粒子在匀强磁场中的运动”的考查频率极高，是电磁学部分的核心考点之一。考查形式涵盖选择题和计算题两种，其中计算题通常出现在试卷中后部，分值高（2021年T15为16分），综合性强，难度较大。考查内容涵盖： 洛伦兹力：洛伦兹力公式f=qvB、方向判断（左手定则）、洛伦兹力不做功的特点。 匀速圆周运动的基本规律：半径公式r=mv/qB、周期公式T=2πm/qB，以及由此导出的相关推论。 有界磁场中的运动：直线边界、圆形边界、环形磁场等不同边界条件下粒子轨迹的确定与几何关系的运用。 临界与多解问题：粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界轨迹等引起的多解问题。 情境与立意： 生活实践类：回旋加速器在粒子物理研究中的应用、质谱仪在同位素分析中的应用、云室中带电粒子径迹的观测、霍尔推进器等航天技术。 学习探究类：洛伦兹力提供向心力的动力学分析、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与周期公式的推导与应用、有界磁场中粒子轨迹的几何作图与边角关系求解、临界与多解问题的分析方法、回旋加速器与质谱仪的工作原理。 复习目标 洛伦兹力：掌握洛伦兹力公式f=qvB（v⊥B时），理解洛伦兹力方向的特点——f⊥v、f⊥B，即f垂直于v与B决定的平面。熟练运用左手定则判断洛伦兹力方向。理解洛伦兹力永远不做功的物理意义。 匀速圆周运动的基本规律：掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的动力学方程qvB=mv²/r，由此导出半径公式r=mv/qB和周期公式T=2πm/qB。理解半径与速度成正比、周期与速度无关的结论。江苏卷选择题与计算题均高频考查，务必熟练掌握。 确定圆心和轨迹的几何方法：掌握确定圆心的两种基本方法——（1）速度垂线法：过入射点和出射点分别作速度方向的垂线，交点即为圆心；（2）弦的中垂线法：连接入射点和出射点（弦），作弦的中垂线，与速度垂线（或另一速度垂线）的交点即为圆心。会利用平面几何知识（垂径定理、勾股定理、三角函数等）求解半径、偏转角、运动时间等物理量。 有界磁场中的运动：掌握直线边界磁场中粒子运动的对称性规律（入射角等于出射角）；掌握圆形边界磁场中粒子运动的特性（沿径向射入必沿径向射出）；掌握环形磁场、矩形磁场等不同边界条件下粒子轨迹的分析方法。 临界与多解问题：掌握临界问题的分析方法——找出临界轨迹（如轨迹与边界相切、恰好经过某点等），建立几何关系求解。理解多解问题的常见成因——带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、粒子运动的周期性等。江苏卷计算题高频考查方向，务必重点突破。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 洛伦兹力 知识点1 洛伦兹力 知●识●解●构 1、定义 磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。 2、方向 判定方法（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。 【注意】掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指——指向洛伦兹力的方向。 方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。 【注意】决定洛伦兹力方向的因素有三个：电荷的电性(正、负)、速度方向、磁感应强度的方向。 3、表达式 ，θ为v与B的夹角。 当v∥B（θ＝0°或180°）时，洛伦兹力F＝0；当v⊥B（θ＝90°）时，洛伦兹力F＝0；当v=0时，洛伦兹力F＝0。 4、特点 洛仑兹力方向既重直于磁场方向，也垂直地粒子运动的速度方向，因此洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。 洛仑兹力的大小和方向都与带电粒子运动状态有关，当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。 左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向。 公式F＝qvB中的v是带电粒子相对于磁场的运动速度。 洛伦兹力一定不做功，因为洛伦兹力与速度方向如果始终垂直，则洛伦兹力对物体始终不做功。洛伦兹力对运动电荷永不做功，它不能改变运动电荷速度的大小和动能大小，仅能够改变运动电荷的速度方向。洛伦兹力影响的是带电体所受其他力的大小和带电体的运动时间等。 5、洛伦兹力与安培力的关系 区别：①洛伦兹力是指单个运动电荷所受到的磁场力，而安培力是指电流(即大量定向移动的电荷)所受到的磁场力；②安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 联系：①洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观体现，二者是相同性质的力，都是磁场力。②方向关系：洛伦兹力与安培力的方向特点一致，均可用左手定则进行判断；③大小关系：F安＝NF洛(N是导体中定向运动的电荷数)。 【注意】尽管安培力是自由电荷定向移动时受到的洛伦兹力的宏观表现，但也不能认为安培力就简单地等于所有定向移动电荷所受洛伦兹力的和，一般只有当导体静止时才能这样认为；洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现。 ✨得分速记： 洛伦兹力与电场力的比较 力 洛伦兹力 电场力 性质 洛伦兹力是磁场对运动电荷的作用力 电场力是电场对电荷的作用力 产生 条件 磁场中静止电荷、沿磁场方向运动的电荷不受洛伦兹力 电场中的电荷无论静止、还是沿任何方向运动都要受到电场力 方向 ①方向由电荷的正负、磁场的方向以及电荷的运动方向决定，方向之间的关系遵循左手定则 ②洛伦兹力方向一定垂直于磁场方向以及电荷运动方向(电荷运动方向与磁场方向不一定垂直) ①方向由电荷的正负、电场的方向决定 ②正电荷受力方向与电场方向一致，负电荷受力方向与电场方向相反 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 作用 效果 洛伦兹力只改变电荷运动速度的方向，不能改变速度的大小 电场力既可以改变电荷运动的速度方向又可以改变电荷运动速度的大小 做功 情况 洛伦兹力一定不做功 电场力可以不做功，也可以做功 力为零时 F为零，B不一定为零 F为零，E一定为零 考●向●破●译 考向1 洛伦兹力的大小和方向【重】 例1 （25-26·江苏连云港·高二上）如图所示，电子的电荷量为e，以速率v沿着与磁场垂直的方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，则电子受到的洛伦兹力多大（　　） A．evB B．evBsin C．evBcos D．0 【变式训练1·变考法】（25-26·湖北荆州·高二上）下列各图中有关安培力和洛伦兹力的方向的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2·变情境】（25-26·云南·高二上）极光（图甲所示）是太阳风中的带电粒子进入地球大气层和空气分子作用形成的。漠河因地处高纬度地区，是我国观测极光的核心区域。今年冬季是极光爆发期，红绿的极光交互舞动，吸引大量游客北上一睹为快。根据图乙信息，关于高纬才能看到极光的主要原因，下列说法正确的是（　　） A．太阳风吹向低纬的带电粒子少 B．在高纬度地区空气密度小 C．太阳风中的带电粒子在高纬地区受到地球的洛伦兹力小 D．太阳风中的带电粒子在低纬度受到的洛伦兹力使其减速，故不能进入地球 考向2 粒子束的偏转 例2（25-26·江苏盐城·高二下）如图所示，电子枪发射高速电子，经偏转线圈产生的偏转磁场发生偏转，打在荧光屏上点。垂直于纸面向内看，偏转磁场的方向可能是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏扬州·高二上）如图所示是阴极射线管的示意图。接通电源后，阴极会沿x轴正方向发射电子，若观察到电子束向z轴负方向偏转，则磁场方向（     ） A．沿y轴正方向 B．沿y轴负方向 C．沿x轴负方向 D．沿z轴负方向 【变式训练2·变考法】（25-26·江苏徐州·高二下）（多选）如图所示，一阴极射线管，左侧不断有电子射出，若在管的正下方放一通电直导线AB时，发现射线的径迹向下弯曲，则（　　） A．导线中的电流从B到A B．导线中的电流从A到B C．若要使电子束的径迹向上弯曲，可以改变AB中的电流方向来实现 D．电子束的径迹与AB中的电流无关 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 知●识●解●构 1、规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况：①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。 2、圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的圆心、半径和时间的确定方法 知●识●解●构 圆心的确定 半径的确定 时间的确定 基本思路 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 利用平面几何知识求半径 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间①t＝T；②t＝ 图例 说明 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 某点的速度垂线与切点法线的交点 常用解三角形法(如图)：R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系： φ<180°时，φ＝2α； φ>180°时，φ＝360°－2α 考●向●破●译 考向一 带电粒子在无界匀强磁场中的运动 例1（25-26·江苏连云港·高二上）利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比，半径之比，不计重力及粒子间的相互作用力，求： (1)粒子a、b的速度之比； (2)粒子a、b的质量之比。 【变式训练1·变考法】（2026·江苏泰州·模拟）氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示。则在电子运动的过程中（　 　） A．角速度越来越大 B．角速度不变 C．向心加速度越来越大 D．线速度不变 考向二 直线边界、平行边界磁场问题【重】 例2（25-26·江苏连云港·高二上）如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为－q（q>0）的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是（     ） A．它的轨迹半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏盐城·高二下）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度并垂直于磁场边界的速度射入宽度为的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，求： (1)电子运动的轨迹半径； (2)电子的比荷； (3)电子穿越磁场的时间。 考向三 放缩圆、平移圆、旋转圆模型【重】 例3（25-26·河南前二十校·高二上）如图所示的直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场（包括磁场的边界）， 、，，在边的某区域内有一线状粒子发射源，发射源能垂直边向磁场区域发射一系列比荷均为的相等速率的粒子，所有粒子刚好从边离开磁场，运动时间最短为的粒子垂直边离开，运动的最长时间为.忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．磁感应强度大小为 C．粒子射入磁场的速率为 D．发射源的长度为 【变式训练1·变考法】（2025·江苏南京·模拟）“太空粒子探测器”是安装在人造卫星上的探测宇宙射线的设备，用以捕捉太空辐射的离子。如图所示，轴上方存在垂直平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。位于坐标原点的接收窗口接收太空辐射的正离子，离子以速度大小向轴上方各个方向射出，假设向各个方向发射离子的概率相同，而轴上方各区域探测到离子的概率不等。已知正离子的质量为、电荷量为 。不计离子重力及离子间相互作用。求 (1)在轴上能够探测到离子的区间； (2)入射的离子在磁场中的运动时间； (3)轴上方探测到离子的高概率区与低概率区的面积比。 【变式训练2·变考法】（25-26·江苏常州·高二上）如图平面直角坐标系中，轴上方区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。原点O处有一粒子源，可在坐标平面内沿各个方向向磁场区发射比荷均为的带负电的粒子。在处垂直于轴放置一块足够长的粒子收集板PQ，当粒子运动到收集板时即被吸收，不计粒子间相互作用和重力的影响，粒子被吸收的过程中收集板始终不带电。 (1)设某时刻粒子源沿+y方向射入一系列粒子，速度大小从0到不等，能打到P点被收集的粒子速度多大？ (2)第一问中，至少经过多长时间有粒子到达收集板？ (3)粒子源沿各个方向均匀地向磁场区发射速度大小均为的粒子，会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，求PQ上这种位置分布的区域长度。 考向四 圆形边界磁场与磁聚焦【难】 例3（2026·福建福州第一中学·模拟）如图所示，一半径为的圆形边界内部（不含其边界）存在一磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。磁场边界最低点点处有一个粒子源，该粒子源向磁场区域内同一时刻向各个方向均匀发射大量速度大小不等，质量均为、电荷量均为的同种带电粒子，然后立即停止发射，粒子的速度范围是。这些粒子射出磁场时的位置均分布在点右侧圆弧上，已知圆弧弧长为圆周长的。忽略粒子间的相互作用，不计重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子运动的最大速度 C．在磁场中有带电粒子出现的区域面积为 D．磁场边界上另有一点，从点射出的粒子运动时间最长为 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏南京·高二上）如图所示，在轴上方存在一垂直平面向外的匀强磁场。轴下方另有一个半径为的圆形磁场区域，其圆心为轴上的点，边界过坐标原点，磁感应强度大小为，方向垂直平面向里。位于轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置可以发射一束在轴方向均匀分布、速率相同并且平行于方向的带负电粒子流，粒子的质量为，电荷量为，粒子束的宽度为。处于装置中央的粒子速度方向对准点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (3)在第（2）问的小孔宽度下，使轴上方磁场的磁感应强度变为原来的倍，求通过小孔的粒子所占比例。 考点三　临界问题、多解问题与科技应用 知识点1　临界与极值问题 知●识●解●构 1．临界轨迹的特征 粒子轨迹恰好与磁场边界相切是最常见的临界状态：“恰好不射出”时轨迹与边界相切后返回，“恰好射出”时切点即为出射点。 2．常见极值问题 最大（小）轨道半径、最大（小）速度、最长与最短运动时间、粒子打在收集板（屏）上的范围等。 3．解题流程 ①画出临界状态下的轨迹圆；②由几何关系求出临界半径；③代入 r＝mv/(qB) 求出临界速度（或速度范围）；④分别讨论速度大于、小于临界值时轨迹的走向。 知识点2　多解问题的四类成因 知●识●解●构 1．带电粒子电性不确定：正、负电荷在同一磁场中的偏转方向相反，形成关于入射方向对称的两类轨迹； 2．磁场方向不确定：磁场垂直纸面向里还是向外未指明时，偏转方向有两种可能； 3．临界状态不唯一：粒子可能穿出磁场，也可能偏转后从原边界返回，对应不同轨迹与时间； 4．运动具有周期性：粒子在磁场中往复运动或连续穿越多个磁场区域时，运动时间和位置随圈数 n 不同而出现多解。 考●向●破●译 考向一 临界与极值问题【难】 例1（25-26·山东威海·高二上）如图所示，垂直纸面向外的匀强磁场分布在正方形区域内，是边的中点。一带负电的粒子（不计重力）从点沿纸面垂直边射入磁场，经时间粒子刚好从点射出磁场。现让大量速率不同的上述粒子从点沿纸面与成的方向射入该磁场，能从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为。关于的取值范围，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 由几何关系得，此时轨迹对应的圆心角 运动时间： 半径更大的粒子无法到达，因此能从射出的粒子满足 临界2：轨迹刚好与相切（最大时间） 由几何关系得，此时轨迹对应的圆心角 运动时间： 圆心角更大的粒子会从边射出，无法从射出，因此满足 【变式训练1·变考法】（2026·福建泉州·模拟）如图所示的平面直角坐标系xOy内，虚线OP与y轴间夹角，OP右侧有沿x轴负方向的匀强电场，OP左侧适当位置有一半圆形匀强磁场区域（图中未画出）。一质量为m、电荷量为的粒子以速度从坐标原点O沿y轴正方向入射，运动一段时间后进入半圆形匀强磁场区域，经偏转粒子从OP上的M点离开磁场，并同时垂直OP射入电场，此后从x轴上的N点垂直x轴射入第四象限，已知O点到M点的距离为l，磁场方向垂直纸面向外，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)半圆形磁场区域的最小面积。 考向二 带电粒子运动的多解问题【重】 例2（25-26·山东淄博第七中学·高二上）如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成 的速度从 P 点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是 （     ） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在 Q 点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为1：2 【变式训练1·变考法】（多选）（25-26·广东汕头·高二下）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（     ） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·江苏·高考）平面内存在垂直平面向外的匀强磁场，一电子垂直磁场射入，不计空气阻力。如图所示，则电子偏转的轨迹可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2026·黑吉辽蒙·高考）如图，真空中一带正电的小球用绝缘轻绳悬于点，处于竖直向下的匀强磁场中。将小球从点由静止释放，小球运动轨迹的俯视示意图可能是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广西·高考真题）圆心在原点、半径为的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；质量为、电荷量为的带电粒子以初速度（未知）从磁场外沿轴正方向从点进入磁场，从点射出，出射速度方向与轴正方向夹角为，如图所示。不计粒子的重力，则（     ） A．带电粒子带正电 B．粒子的运动轨迹是抛物线 C．粒子运动速度大小 D．粒子在磁场内的运动时间 4．（2026·广东·高考）（多选）如图是一种长方体电子磁谱仪结构示意图，磁谱仪内存在磁感应强度大小为、方向垂直底面向上的匀强磁场，磁场区域长为、宽为。电子束中有三个电子通过准直器后垂直左侧面沿边缘进入磁场，偏转后分别到达磁谱仪三个侧面，与边缘的距离分别为、和，电子电荷量为、质量为，不考虑相对论效应，下列说法正确的有（     ） A．电子1的动能比电子3的大 B．电子1在磁场中的运动时间为 C．电子2的动能为 D．电子3的动量大小为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 带电粒子在匀强磁场中的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 洛伦兹力 知识点1 洛伦兹力 考向1 洛伦兹力的大小和方向重 考向2 粒子束的偏转 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中圆心、半径和时间的确定方法 考向1 带电粒子在无界匀强磁场中的运动 考向2 直线边界、平行边界磁场问题重 考向3 放缩圆、平移圆、旋转圆模型重 考向4 圆形边界磁场与磁聚焦难 考点三 临界问题、多解问题 知识点1 临界与极值问题 知识点2 多解问题的四类成因 考向1 临界与极值问题难 考向2 带电粒子运动的多解问题难 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 洛伦兹力的大小和方向的判断 江苏卷·T1，4分  带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动（半径，周期公式） 江苏卷·T16，计算题 带电粒子在有界磁场中的运动 江苏卷·T16，计算题 带电粒子在磁场中运动的临时和多解问题 考情分析 题型与考向：江苏高考对“带电粒子在匀强磁场中的运动”的考查频率极高，是电磁学部分的核心考点之一。考查形式涵盖选择题和计算题两种，其中计算题通常出现在试卷中后部，分值高（2021年T15为16分），综合性强，难度较大。考查内容涵盖： 洛伦兹力：洛伦兹力公式f=qvB、方向判断（左手定则）、洛伦兹力不做功的特点。 匀速圆周运动的基本规律：半径公式r=mv/qB、周期公式T=2πm/qB，以及由此导出的相关推论。 有界磁场中的运动：直线边界、圆形边界、环形磁场等不同边界条件下粒子轨迹的确定与几何关系的运用。 临界与多解问题：粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界轨迹等引起的多解问题。 情境与立意： 生活实践类：回旋加速器在粒子物理研究中的应用、质谱仪在同位素分析中的应用、云室中带电粒子径迹的观测、霍尔推进器等航天技术。 学习探究类：洛伦兹力提供向心力的动力学分析、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与周期公式的推导与应用、有界磁场中粒子轨迹的几何作图与边角关系求解、临界与多解问题的分析方法、回旋加速器与质谱仪的工作原理。 复习目标 洛伦兹力：掌握洛伦兹力公式f=qvB（v⊥B时），理解洛伦兹力方向的特点——f⊥v、f⊥B，即f垂直于v与B决定的平面。熟练运用左手定则判断洛伦兹力方向。理解洛伦兹力永远不做功的物理意义。 匀速圆周运动的基本规律：掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的动力学方程qvB=mv²/r，由此导出半径公式r=mv/qB和周期公式T=2πm/qB。理解半径与速度成正比、周期与速度无关的结论。江苏卷选择题与计算题均高频考查，务必熟练掌握。 确定圆心和轨迹的几何方法：掌握确定圆心的两种基本方法——（1）速度垂线法：过入射点和出射点分别作速度方向的垂线，交点即为圆心；（2）弦的中垂线法：连接入射点和出射点（弦），作弦的中垂线，与速度垂线（或另一速度垂线）的交点即为圆心。会利用平面几何知识（垂径定理、勾股定理、三角函数等）求解半径、偏转角、运动时间等物理量。 有界磁场中的运动：掌握直线边界磁场中粒子运动的对称性规律（入射角等于出射角）；掌握圆形边界磁场中粒子运动的特性（沿径向射入必沿径向射出）；掌握环形磁场、矩形磁场等不同边界条件下粒子轨迹的分析方法。 临界与多解问题：掌握临界问题的分析方法——找出临界轨迹（如轨迹与边界相切、恰好经过某点等），建立几何关系求解。理解多解问题的常见成因——带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、粒子运动的周期性等。江苏卷计算题高频考查方向，务必重点突破。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 洛伦兹力 知识点1 洛伦兹力 知●识●解●构 1、定义 磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。 2、方向 判定方法（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。 【注意】掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指——指向洛伦兹力的方向。 方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。 【注意】决定洛伦兹力方向的因素有三个：电荷的电性(正、负)、速度方向、磁感应强度的方向。 3、表达式 ，θ为v与B的夹角。 当v∥B（θ＝0°或180°）时，洛伦兹力F＝0；当v⊥B（θ＝90°）时，洛伦兹力F＝0；当v=0时，洛伦兹力F＝0。 4、特点 洛仑兹力方向既重直于磁场方向，也垂直地粒子运动的速度方向，因此洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。 洛仑兹力的大小和方向都与带电粒子运动状态有关，当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。 左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向。 公式F＝qvB中的v是带电粒子相对于磁场的运动速度。 洛伦兹力一定不做功，因为洛伦兹力与速度方向如果始终垂直，则洛伦兹力对物体始终不做功。洛伦兹力对运动电荷永不做功，它不能改变运动电荷速度的大小和动能大小，仅能够改变运动电荷的速度方向。洛伦兹力影响的是带电体所受其他力的大小和带电体的运动时间等。 5、洛伦兹力与安培力的关系 区别：①洛伦兹力是指单个运动电荷所受到的磁场力，而安培力是指电流(即大量定向移动的电荷)所受到的磁场力；②安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 联系：①洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观体现，二者是相同性质的力，都是磁场力。②方向关系：洛伦兹力与安培力的方向特点一致，均可用左手定则进行判断；③大小关系：F安＝NF洛(N是导体中定向运动的电荷数)。 【注意】尽管安培力是自由电荷定向移动时受到的洛伦兹力的宏观表现，但也不能认为安培力就简单地等于所有定向移动电荷所受洛伦兹力的和，一般只有当导体静止时才能这样认为；洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现。 ✨得分速记： 洛伦兹力与电场力的比较 力 洛伦兹力 电场力 性质 洛伦兹力是磁场对运动电荷的作用力 电场力是电场对电荷的作用力 产生 条件 磁场中静止电荷、沿磁场方向运动的电荷不受洛伦兹力 电场中的电荷无论静止、还是沿任何方向运动都要受到电场力 方向 ①方向由电荷的正负、磁场的方向以及电荷的运动方向决定，方向之间的关系遵循左手定则 ②洛伦兹力方向一定垂直于磁场方向以及电荷运动方向(电荷运动方向与磁场方向不一定垂直) ①方向由电荷的正负、电场的方向决定 ②正电荷受力方向与电场方向一致，负电荷受力方向与电场方向相反 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 作用 效果 洛伦兹力只改变电荷运动速度的方向，不能改变速度的大小 电场力既可以改变电荷运动的速度方向又可以改变电荷运动速度的大小 做功 情况 洛伦兹力一定不做功 电场力可以不做功，也可以做功 力为零时 F为零，B不一定为零 F为零，E一定为零 考●向●破●译 考向1 洛伦兹力的大小和方向【重】 例1 （25-26·江苏连云港·高二上）如图所示，电子的电荷量为e，以速率v沿着与磁场垂直的方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，则电子受到的洛伦兹力多大（　　） A．evB B．evBsin C．evBcos D．0 【答案】A 【详解】图中电子运动方向与磁场方向垂直，受到的洛伦兹力，电子的电荷量为，所以电子受到的洛伦兹力为 故选A。. 【变式训练1·变考法】（25-26·湖北荆州·高二上）下列各图中有关安培力和洛伦兹力的方向的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．正电荷运动方向与磁场方向平行，洛伦兹力为0，故A错误。 B．负电荷向下运动，磁场垂直纸面向外。根据左手定则：磁感线穿手心（手心朝纸内），负电荷四指指向运动反方向（向上），大拇指指向右，即洛伦兹力向右，故B正确。 C．电流垂直纸面向里，磁场向上。根据左手定则：磁感线穿手心（手心向下），四指指向电流方向（向里），大拇指指向右，即安培力向右，故C错误。 D．电流垂直纸面向外，磁场垂直纸面向里，电流方向和磁场方向平行，即安培力为零，故D错误。 故选B。 【变式训练2·变情境】（25-26·云南·高二上）极光（图甲所示）是太阳风中的带电粒子进入地球大气层和空气分子作用形成的。漠河因地处高纬度地区，是我国观测极光的核心区域。今年冬季是极光爆发期，红绿的极光交互舞动，吸引大量游客北上一睹为快。根据图乙信息，关于高纬才能看到极光的主要原因，下列说法正确的是（　　） A．太阳风吹向低纬的带电粒子少 B．在高纬度地区空气密度小 C．太阳风中的带电粒子在高纬地区受到地球的洛伦兹力小 D．太阳风中的带电粒子在低纬度受到的洛伦兹力使其减速，故不能进入地球 【答案】C 【详解】A．太阳风均匀地吹向地球，故A错误； B．漠河地区温度低，空气密度大，故B错误； C．太阳风几乎垂直地轴吹向地球表面，由地磁场分布可知，在高纬地区，带电粒子的速度方向与地磁场方向夹角小，受到的洛伦兹力小，可以进入地球和大气中的空气分子作用，产生极光，故C正确； D．洛伦兹力不做功，不能使带电粒子减速，故D错误。 故选C。 考向2 粒子束的偏转 例2（25-26·江苏盐城·高二下）如图所示，电子枪发射高速电子，经偏转线圈产生的偏转磁场发生偏转，打在荧光屏上点。垂直于纸面向内看，偏转磁场的方向可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．图中磁场方向垂直纸面向里，由于电子带负电，根据左手定则可知，电子向下偏转，不可能打在荧光屏上点，故A错误； B．图中磁场方向垂直纸面向外，由于电子带负电，根据左手定则可知，电子向上偏转，可能打在荧光屏上点，故B正确； C．图中磁场方向平行纸面向下，由于电子带负电，根据左手定则可知，电子向外偏转，不可能打在荧光屏上点，故C错误； D．图中磁场方向平行纸面向上，由于电子带负电，根据左手定则可知，电子向里偏转，不可能打在荧光屏上点，故D错误。 故选B。 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏扬州·高二上）如图所示是阴极射线管的示意图。接通电源后，阴极会沿x轴正方向发射电子，若观察到电子束向z轴负方向偏转，则磁场方向（     ） A．沿y轴正方向 B．沿y轴负方向 C．沿x轴负方向 D．沿z轴负方向 【答案】A 【详解】阴极会沿x轴正方向发射电子，若观察到电子束向z轴负方向偏转，根据左手定则磁场方向沿y轴正方向。 故选A。 【变式训练2·变考法】（25-26·江苏徐州·高二下）（多选）如图所示，一阴极射线管，左侧不断有电子射出，若在管的正下方放一通电直导线AB时，发现射线的径迹向下弯曲，则（　　） A．导线中的电流从B到A B．导线中的电流从A到B C．若要使电子束的径迹向上弯曲，可以改变AB中的电流方向来实现 D．电子束的径迹与AB中的电流无关 【答案】AC 【详解】AB．由于电子向下偏转，则电子受到向下的洛伦兹力，根据左手定则可知，磁场方向应垂直纸面向里，由安培定则，所以导线中电流方向从B到A，故A正确，B错误； CD．若要使电子束的径迹向上弯曲，则阴极射线管处的磁场的方向需向外，根据安培定则，可以改变AB中的电流方向来实现，故C正确，D错误。 故选AC。 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 知●识●解●构 1、规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况：①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。 2、圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的圆心、半径和时间的确定方法 知●识●解●构 圆心的确定 半径的确定 时间的确定 基本思路 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 利用平面几何知识求半径 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间①t＝T；②t＝ 图例 说明 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 某点的速度垂线与切点法线的交点 常用解三角形法(如图)：R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系： φ<180°时，φ＝2α； φ>180°时，φ＝360°－2α 考●向●破●译 考向一 带电粒子在无界匀强磁场中的运动 例1（25-26·江苏连云港·高二上）利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比，半径之比，不计重力及粒子间的相互作用力，求： (1)粒子a、b的速度之比； (2)粒子a、b的质量之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知相同时间内的径迹长度之比，根据 可知粒子a、b的速度之比为 （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 由于a、b所带电荷量大小相等，半径之比，则粒子a、b的质量之比为 【变式训练1·变考法】（2026·江苏泰州·模拟）氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示。则在电子运动的过程中（　 　） A．角速度越来越大 B．角速度不变 C．向心加速度越来越大 D．线速度不变 【答案】B 【详解】由洛伦兹力提供向心力 解得，， 随着半径的减小，减小，不变，减小。 故选B。 考向二 直线边界、平行边界磁场问题【重】 例2（25-26·江苏连云港·高二上）如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为－q（q>0）的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是（     ） A．它的轨迹半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 【答案】B 【详解】A．粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系r+rsin30°=d 解得粒子运动轨迹半径为，A错误； B．由 解得，B正确； C．运动周期 由几何关系知粒子在磁场中转过的角度为240°，则运动的时间为，C错误； D．粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y=-2rcos30° 解得，D错误。 故选B。 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏盐城·高二下）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度并垂直于磁场边界的速度射入宽度为的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，求： (1)电子运动的轨迹半径； (2)电子的比荷； (3)电子穿越磁场的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由几何关系 可得 （2）设电子质量为m、电量为e，由 解得 （3）由，运动的周期 得 由 解得 考向三 放缩圆、平移圆、旋转圆模型【重】 例3（25-26·河南前二十校·高二上）如图所示的直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场（包括磁场的边界）， 、，，在边的某区域内有一线状粒子发射源，发射源能垂直边向磁场区域发射一系列比荷均为的相等速率的粒子，所有粒子刚好从边离开磁场，运动时间最短为的粒子垂直边离开，运动的最长时间为.忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．磁感应强度大小为 C．粒子射入磁场的速率为 D．发射源的长度为 【答案】C 【详解】A．由左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．粒子垂直边离开所用的时间为，则粒子的运动周期，粒子在磁场中圆周运动时洛伦兹力提供向心力有 又 解得 磁场的磁感应强度大小为，故B错误； C．作出粒子在磁场中运动时间最长时的轨迹，相切于边，如图所示，由于粒子在磁场中运动的最长时间为，设轨迹所对应的圆心角为，则有 解得 由几何关系得 则有 解得 又由公式 得，故C正确； D．由几何关系可知， 发射源的长度为 联立以上解得 ，故D错误。 故选C。 【变式训练1·变考法】（2025·江苏南京·模拟）“太空粒子探测器”是安装在人造卫星上的探测宇宙射线的设备，用以捕捉太空辐射的离子。如图所示，轴上方存在垂直平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。位于坐标原点的接收窗口接收太空辐射的正离子，离子以速度大小向轴上方各个方向射出，假设向各个方向发射离子的概率相同，而轴上方各区域探测到离子的概率不等。已知正离子的质量为、电荷量为 。不计离子重力及离子间相互作用。求 (1)在轴上能够探测到离子的区间； (2)入射的离子在磁场中的运动时间； (3)轴上方探测到离子的高概率区与低概率区的面积比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力，有 得 粒子沿顺时针方向运动，如图所示 当粒子运动轨迹与轴相交的弦长等于直径时，能够探测到离子的距离最远，为，则在轴上能够探测到离子的区间为，即 （2）若 ，如图所示，可知离子在磁场中转过的圆心角为 根据线速度公式，有 得，则离子在磁场中的运动时间 （3）如图所示 粒子的运动轨迹有重叠的区域，为可探测到离子的高概率区域， 粒子的运动轨迹没有重叠的区域，为可探测到离子的低概率区域， 则高概率区与低概率区的面积比 【变式训练2·变考法】（25-26·江苏常州·高二上）如图平面直角坐标系中，轴上方区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。原点O处有一粒子源，可在坐标平面内沿各个方向向磁场区发射比荷均为的带负电的粒子。在处垂直于轴放置一块足够长的粒子收集板PQ，当粒子运动到收集板时即被吸收，不计粒子间相互作用和重力的影响，粒子被吸收的过程中收集板始终不带电。 (1)设某时刻粒子源沿+y方向射入一系列粒子，速度大小从0到不等，能打到P点被收集的粒子速度多大？ (2)第一问中，至少经过多长时间有粒子到达收集板？ (3)粒子源沿各个方向均匀地向磁场区发射速度大小均为的粒子，会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，求PQ上这种位置分布的区域长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 由题意可知，能打到P点被收集的粒子的轨迹半径为 代入数据联立解得能打到P点被收集的粒子速度大小为 （2）设速度为的粒子轨道半径为，则有 代入数据解得 如图2所示，设该粒子击中点，，则根据几何关系有 代入数据解得 所以有 已知所有粒子的圆周运动周期均为 由分析可知速度为的粒子转过的圆心角最小，其角度为 则粒子到达收集板的最短时间为 故至少经过才有粒子到达收集板。 （3）临界1：如图3所示 初速度与轴成的粒子轨迹直径与交于，这是上离最远的亮点，根据几何关系有 则 所以 临界2：如图4所示 初速度与轴成的粒子轨迹与相切于，则有 解得 说明点与点重合，则有 解得 MN之间会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，所求区域长度为 考向四 圆形边界磁场与磁聚焦【难】 例3（2026·福建福州第一中学·模拟）如图所示，一半径为的圆形边界内部（不含其边界）存在一磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。磁场边界最低点点处有一个粒子源，该粒子源向磁场区域内同一时刻向各个方向均匀发射大量速度大小不等，质量均为、电荷量均为的同种带电粒子，然后立即停止发射，粒子的速度范围是。这些粒子射出磁场时的位置均分布在点右侧圆弧上，已知圆弧弧长为圆周长的。忽略粒子间的相互作用，不计重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子运动的最大速度 C．在磁场中有带电粒子出现的区域面积为 D．磁场边界上另有一点，从点射出的粒子运动时间最长为 【答案】D 【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力。根据题意，粒子射出磁场的位置分布在点右侧的圆弧上，结合左手定则（磁场垂直纸面向外），若粒子带正电，洛伦兹力方向会使粒子轨迹向右偏转；若带负电则向左偏转，因此粒子应带正电，故A错误。 B．已知弧长为圆周长的，对应的圆心角为，最大速度对应的轨迹圆与磁场边界相切，此时轨迹圆半径满足几何关系 解得 由洛伦兹力公式，可得，故B错误。 C．可能出现的所有区域如图甲所示 则粒子出现的区域面积 解得，故C错误。 D．粒子运动时间最长对应轨迹圆心角最大，当轨迹圆的弦长时，由几何关系可得圆心角为或，粒子运动周期 若轨迹圆的圆心角为，运动时间 若轨迹圆的圆心角为，运动时间，故D正确。 故选D。 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏南京·高二上）如图所示，在轴上方存在一垂直平面向外的匀强磁场。轴下方另有一个半径为的圆形磁场区域，其圆心为轴上的点，边界过坐标原点，磁感应强度大小为，方向垂直平面向里。位于轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置可以发射一束在轴方向均匀分布、速率相同并且平行于方向的带负电粒子流，粒子的质量为，电荷量为，粒子束的宽度为。处于装置中央的粒子速度方向对准点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (3)在第（2）问的小孔宽度下，使轴上方磁场的磁感应强度变为原来的倍，求通过小孔的粒子所占比例。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由题可知粒子速度方向对准点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）设粒子从点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过轴时所在位置离点距离为，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准点时，刚好从坐标原点射出并从点射入第三象限，所以粒子在轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从点入射时，方向速度越大，偏转位移越大，由于初始粒子沿轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，即距离轴的粒子均能从小孔通过，其中距离轴时，的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （3）由（2）可知，越大，越小，对此分为如下三种情况： （i）当从点沿轴正向入射时（最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从点入射时，其与轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从点入射时，其与轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离大于小孔右边界，故粒子所占比例为 考点三　临界问题、多解问题与科技应用 知识点1　临界与极值问题 知●识●解●构 1．临界轨迹的特征 粒子轨迹恰好与磁场边界相切是最常见的临界状态：“恰好不射出”时轨迹与边界相切后返回，“恰好射出”时切点即为出射点。 2．常见极值问题 最大（小）轨道半径、最大（小）速度、最长与最短运动时间、粒子打在收集板（屏）上的范围等。 3．解题流程 ①画出临界状态下的轨迹圆；②由几何关系求出临界半径；③代入 r＝mv/(qB) 求出临界速度（或速度范围）；④分别讨论速度大于、小于临界值时轨迹的走向。 知识点2　多解问题的四类成因 知●识●解●构 1．带电粒子电性不确定：正、负电荷在同一磁场中的偏转方向相反，形成关于入射方向对称的两类轨迹； 2．磁场方向不确定：磁场垂直纸面向里还是向外未指明时，偏转方向有两种可能； 3．临界状态不唯一：粒子可能穿出磁场，也可能偏转后从原边界返回，对应不同轨迹与时间； 4．运动具有周期性：粒子在磁场中往复运动或连续穿越多个磁场区域时，运动时间和位置随圈数 n 不同而出现多解。 考●向●破●译 考向一 临界与极值问题【难】 例1（25-26·山东威海·高二上）如图所示，垂直纸面向外的匀强磁场分布在正方形区域内，是边的中点。一带负电的粒子（不计重力）从点沿纸面垂直边射入磁场，经时间粒子刚好从点射出磁场。现让大量速率不同的上述粒子从点沿纸面与成的方向射入该磁场，能从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为。关于的取值范围，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方形边长为，是中点，故。带负电粒子垂直射入，从射出时，轨迹为半圆，对应圆心角，运动时间，因此粒子运动周期 粒子以与成向下射入磁场，能从射出的两个临界情况： 临界1：轨迹刚好与相切（最小时间） 由几何关系得，此时轨迹对应的圆心角 运动时间： 半径更大的粒子无法到达，因此能从射出的粒子满足 临界2：轨迹刚好与相切（最大时间） 由几何关系得，此时轨迹对应的圆心角 运动时间： 圆心角更大的粒子会从边射出，无法从射出，因此满足 故选C。 【变式训练1·变考法】（2026·福建泉州·模拟）如图所示的平面直角坐标系xOy内，虚线OP与y轴间夹角，OP右侧有沿x轴负方向的匀强电场，OP左侧适当位置有一半圆形匀强磁场区域（图中未画出）。一质量为m、电荷量为的粒子以速度从坐标原点O沿y轴正方向入射，运动一段时间后进入半圆形匀强磁场区域，经偏转粒子从OP上的M点离开磁场，并同时垂直OP射入电场，此后从x轴上的N点垂直x轴射入第四象限，已知O点到M点的距离为l，磁场方向垂直纸面向外，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)半圆形磁场区域的最小面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子沿y轴负方向做匀速直线运动有 沿x轴正方向匀减速到零有 根据牛顿第二定律有 解得 （2） 粒子在磁场中运动时 解得 根据洛伦兹力提供向心力 解得 联立可得 （3）当粒子圆周运动的弦长为半圆形磁场直径时，半圆形磁场面积最小，根据几何关系有 半圆形磁场区域的最小面积 解得 考向二 带电粒子运动的多解问题【重】 例2（25-26·山东淄博第七中学·高二上）如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成 的速度从 P 点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是 （     ） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在 Q 点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为1：2 【答案】B 【详解】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期。粒子从以与轴正向成射入，经过原点到达，存在两种典型轨迹。 A．最短时间对应图1轨迹，总圆心角，，故A错误； B．图2轨迹轨道半径，总路程，该运动情景可以实现，故B正确； C．两种轨迹到达点时速度方向均与轴成，不可能与轴垂直，故C错误； D．图1时间之比；图2时间之比，故D错误。 故选B。 【变式训练1·变考法】（多选）（25-26·广东汕头·高二下）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（     ） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【详解】AB．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向里时，负离子所受洛伦兹力初始向右，圆心在点右侧，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，A项对应的轨道半径为，B项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故A错误，B正确。 CD．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向外时，负离子所受洛伦兹力初始向左，圆心在点左侧。要使圆轨道不越过直线，圆心应在，之间，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，C项对应的轨道半径为，D项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故C错误，D正确。 故选BD。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·江苏·高考）平面内存在垂直平面向外的匀强磁场，一电子垂直磁场射入，不计空气阻力。如图所示，则电子偏转的轨迹可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【详解】由于不计空气阻力，则电子做匀速圆周运动，且根据左手定则可知电子向左偏转，可知电子偏转的轨迹为圆弧的一部分。 故选A。 2．（2026·黑吉辽蒙·高考）如图，真空中一带正电的小球用绝缘轻绳悬于点，处于竖直向下的匀强磁场中。将小球从点由静止释放，小球运动轨迹的俯视示意图可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球从点由静止释放，初始阶段速度方向大致向右（指向点）。根据左手定则可知，洛伦兹力方向垂直速度指向里（即俯视图中连线的上方），轨迹向洛伦兹力方向偏转（即俯视图中向上弯曲），当小球运动到右侧最高点（点）后返回，速度方向大致向左，根据左手定则可知，洛伦兹力方向垂直速度指向外（即俯视图中连线的下方），且轨迹依然向洛伦兹力方向偏转（即俯视图中向下弯曲），综上所述，B选项图符合题意。 故选B。 3．（2026·广西·高考真题）圆心在原点、半径为的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；质量为、电荷量为的带电粒子以初速度（未知）从磁场外沿轴正方向从点进入磁场，从点射出，出射速度方向与轴正方向夹角为，如图所示。不计粒子的重力，则（     ） A．带电粒子带正电 B．粒子的运动轨迹是抛物线 C．粒子运动速度大小 D．粒子在磁场内的运动时间 【答案】C 【详解】A．根据题意，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A错误； B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则粒子的运动轨迹是圆弧，故B错误； CD．根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，则粒子在磁场内的运动时间，故C正确，D错误。 故选C。 4．（2026·广东·高考）（多选）如图是一种长方体电子磁谱仪结构示意图，磁谱仪内存在磁感应强度大小为、方向垂直底面向上的匀强磁场，磁场区域长为、宽为。电子束中有三个电子通过准直器后垂直左侧面沿边缘进入磁场，偏转后分别到达磁谱仪三个侧面，与边缘的距离分别为、和，电子电荷量为、质量为，不考虑相对论效应，下列说法正确的有（     ） A．电子1的动能比电子3的大 B．电子1在磁场中的运动时间为 C．电子2的动能为 D．电子3的动量大小为 【答案】BCD 【详解】A．电子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 根据几何关系可知电子1的运动半径小于电子3的运动半径，则电子1的速度小于电子3的速度，根据可知电子1的动能比电子3的小，故A错误； B．电子在磁场中做匀速圆周运动的周期 结合 可得 根据题图可知电子1在磁场中运动的圆心角为，则电子1在磁场中的运动时间为，故B正确； C．设电子2运动半径为，如图所示 根据几何关系有 可得 根据可得 电子2的动能为，故C正确； D．设电子3运动半径为，如图所示 根据几何关系有 可得 根据可得 电子3的动量大小为，故D正确。 故选BCD。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $