第2章 特殊三角形 培优卷 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册 第2章 特殊三角形 培优卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．用下列数字为长度的线段，能构成直角三角形的一组是（　　） A．4，5，6 B．6，8，12 C．8，15，17 D．13，14，15 3．下列说法正确的是 (　　) A．两条直线平行，同旁内角相等 B．直角三角形两个内角的和为90度 C．成轴对称的两个三角形一定全等 D．等腰三角形的高和中线及角平分线互相重合 4．“坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡AB的坡比是(　　) A． B． C．1：3 D．3：1 5．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，AB=5，DC=1，BD=BA，则AC是（　　） A．8 B．4 C．5 D．3 6．如图，在中，，点的延长线上，于点于点，若，则的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，AC=8，点D 位于AC的右侧，CD∥AB，AD=CD=5，则△ACD 面积为（　　） A．30 B．12 C．15 D．24 8．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 9．如图，在中，，，点D是边的中点，点E，F分别在边，上．若，则四边形的面积是（　　） A．18 B．12 C．9 D．不能确定 10．如图，AB//CD，F为AB上一点，FD//EH，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG=2∠D，FE平分∠AFG，则下列结论： ① ② ③ ④FH平分∠GFD 其中正确的结论是 (　　) A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于点D，M为AD 上任一点，则 的值为　 　. 12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别等于，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到点，最短路线长度是　 　． 13．如图，在△ABC中，边AB 的垂直平分线EF 分别交边BC，AB 于点E，F，过点A 作AD⊥BC 于点D，且D 为线段CE 的中点.若∠C=66°，则∠BAC 的度数为　 　. 14． 如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是　 　． 15．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是　 　． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AB边上的一点，延长CD至点E，使得∠BAE=∠CAB，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，若∠ACB=53°，则∠FGB=　 　°. 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17． 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC交BC 于点D，DE∥AB交AC 于点E.已知CE=3，CD=4，求AD2 的值. 18．如图，在△ABC 中，已知AB=AC，AD 是∠BAC的平分线，AC的垂直平分线交AD 于点E，交AC于点F，连接 BE. ①求证：AE=BE； ②若AB=AC=5，BC=6，求△ABE的周长. 19．如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． （1）站应建在站多少处？ （2）求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 20．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点 G，且 AD=AB， E， F分别是边 AB， AC上的点，且∠EDF=60°. （1）求证： △ABD是等边三角形； （2）若 AB=AC=10， AE=7，求 AF的长. 21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E. （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形. 22．在“测量学校旗杆的高度”综合与实践课中，优优所在的小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米.当把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米. （1）求旗杆BC的高度； （2）优优把绳子底端刚好压在头顶处（按住处忽略不计），一直向东走，当绳子拉直时，优优恰好走到D处.已知优优身高1.5米.求优优从A处到D处走了多少米？（计算结果保留2位小数，） 23．我们知道，四边形内角和为360°，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补，因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”，例如：在四边形PQRS中，若∠P+∠R=180°（或∠Q+∠S=180°），则称四边形PQRS为“双补四边形”. （1）已知四边形EFGH是“双补四边形”. ①若∠E：∠F：∠G=7：4：2，则∠H=　 　； ②如图1，若∠F=90°，FG=8，GH=，EH=，则EF=　 　； （2）如图2，在四边形EFGH中，FH平分∠EFG，EH=GH.求证：四边形EFGH是“双补四边形”； （3）如图3，四边形EFGH是“双补四边形”，EF=FG，点M，N分别在边EH，GH上，且满足EM+GN=MN．试探究∠MFN和∠H之间满足的数量关系，并证明你的结论. 24． 如图，△ABC 为等边三角形，D，E 分别为线段AC，AB 上一点，AE=CD，CE 与 BD 交于点 F。 （1）求证：△AEC≌△CDB； （2）如图1，若 求 EF 的长； （3）如图2，H为射线BC上一点，连接HF，将线段 HF 绕点 F 逆时针旋转120°得 GF，连接BG，若∠GBD=60°，求证：BG=BF+2CF。 参考答案 1．A；2．C；3．C；4．A；5．D；6．C；7．B；8．C；9．C；10．B 11．45 12．13 13．81° 14． 15． 16．106 17．解：在 Rt△ABC中，∠C=90°，CE=3，CD=4， 由勾股定理，得 ∴DE=5. ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠ADE. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠CAD=∠ADE， ∴AE=DE=5， ∴AC=AE+EC=8， 18．解：①证明：如图，连接EC. ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD垂直平分BC. ∵点E在AD上， ∴BE=EC. ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE=EC， ∴AE=BE. ②由①，得 ∵BC=6， ∴BD=3， 设AE=BE=x，则 DE=AD-AE=4-x. 在 Rt△BDE中，. ，即 ∴△ABE的周长为 19．（1）解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； （2）解：，，， ∴， ，， ∵， ， ， ， 两村与土特产品收购站围成的三角形的面积为：平方千米． 20．（1）证明：△ABC中， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点 G， 在△ABD中， AD=AB， ∠BAD=60°， ∴△ABD 是等边三角形 （2）解：因为AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC， 所以∠BAD=∠CAD=60°. 由(1)知△ABD是等边三角形， 所以BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°， 所以∠ABD=∠DAF=60°。 因为∠EDF=60°， 所以∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF=60°， 所以∠BDE=∠ADF。 在△BDE和△ADF中：∠DBE=∠DAF，BD=AD，∠BDE=∠ADF 所以△BDE≌△ADF(ASA)， 所以BE=AF。 因为AB=10，AE=7， 所以BE=AB-AE=10-7=3， 所以AF=3 21．（1）解：∵AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠C=（180°-∠BAC）=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABC=36°， ∴∠ADB=∠C+∠DBC=72°+36°=108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠C=72°， ∵∠C=72°，∠DBC=36°， ∴∠ADE=∠CDB=180°-72°-36°=72°， ∴∠EAD=∠ADE， ∴AE=DE， ∴△ADE是等腰三角形． 22．（1）解：设旗杆BC的高度长为x米，则米 在Rt△ABC中，由勾殿定理可知 即 解得x＝12 答：旗杆的高度BC长为12米. （2）解：如图，过点E作EF⊥BC于点F， 则米，CF＝DE＝1.5米，CD＝EF ∴米 在Rt△BEF中，由勾股定理可得 米 ∴米 所以米 答：优优从A处到D处走了1.71米. 23．（1）100°；6 （2）解：如图所示，过点H分别作HA⊥EF，HB⊥FG， ∵FH平分∠EFG， ∴HA＝HB， ∵EH=GH， ∴Rt△HAE≌Rt△HBG(HL)， ∴∠E=∠HGB， ∵∠HGB+∠FGH=180°， ∴∠E+∠FGH=180°， ∴四边形EFGH是“双补四边形” （3）解：， 延长HE至点D，使，连接FD， ∵四边形EFGH是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 24．（1）证明：在等边△ABC中，AC=BC， ∠A =∠ACB=∠ABC=60°， 在△AEC和△CDB 中， ∴△AEC≌△CDB(SAS)； （2）解：过点E作EG⊥BD于点 G，如图1所示， 图1 ∵△AEC≌△CDB， ∴∠ACE=∠CBD， 设∠ACE=∠CBD=α， 则∠ABD=3∠ACE=3α， ∴4α=60°，解得α=15°， ∴∠EBG=60°-15°=45°， ∴∠BEG=45°。 ∵∠BEF=∠A+∠ACE=75°， ∴∠GEF=30°。 在Rt△EFG中，设FG=x，则EF=2x， 解得x=1，则EF=2x=2 （3）解：证明：延长CE 交 BG 于点 J，在 GB 上取 GI=FC，如图2所示， 由(1)知，△AEC≌△CDB， ∴∠ACE=∠CBD。 ∵∠FCB 是△FCH的一个外角， ∴∠FCB=∠H+∠HFC。 ∵将线段 HF 绕点 F 逆时针旋转120°得GF， ∴FH=FC，∠GFH=120°，∠HFC+∠GFE=60°。 ∵∠FCB+∠ACE=60°=∠H+∠HFC+∠ACE，∠H+∠G +∠ACE =∠H +∠G +∠CBD =360°-∠CBD-∠GFB-∠BFH=360°-60°-(∠GFB+∠BFH)=360°-60°-(360°-∠GFH)=360°-60°-240°=60°， ∴∠HFC=∠G。 在△HFC 和△FGI中， ∴△HFC≌△FGI(SAS)， ∴∠GFI=∠H， 由∠HFC+∠GFE=60°，知∠HFC+∠GFI+∠JFI=60°，则∠HFC+∠H+∠JFI=60°。 ∵∠H+∠HFC+∠ACE=60°， ∴∠JFI=∠ACE，即∠JFI=∠CBD∵∠FJB 是△FJI的一个外角， ∴∠FJB =∠JFI +∠JIF =∠JFI +∠G +∠GFI =∠JFI +∠HFC+∠GFI=60°。 ∵∠BFJ是△FBC的一个外角， ∴∠BFJ=∠FCB+∠CBD=∠FCB+∠ACE=60°， ∴△BFJ是等边三角形，则BF=FJ=BJ。 ∵∠JIF=∠G+∠GFI，∠FCB=∠H+∠HFC， ∴∠JIF=∠FCB， 在△JFI和△FBC中， ∴△JFI≌△FBC(AAS)， ∴JI=FC， ∴BC=BJ+JI+IG=BF+2CF。 学科网（北京）股份有限公司 $