第一章特殊的平行四边形2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版9年级上2026-2027数学第一章特殊的平行四边形 一．选择题（共10小题） 1．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B＝70°，则∠EDC的大小为（　　） A．15° B．20° C．30° D．25° 2．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中AB＝9，BC＝6，则FC'的长为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 3．如图，两条宽都为1cm的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D．2 5．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（　　） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 6．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为（　　） A．10 B．9.8 C．10 D．5 7．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 8．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（　　） A．2 B．2 C． D．5 9．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为12．则PE+PF的值为（　　） A． B． C．3 D． 10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在BC和CD上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF＝45°，EC＝3，则CF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共6小题） 11．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 _________________ ． 12．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点．设AM的长为x，则x的取值范围是 ____________ ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC和BC为边在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形BCFG，延长ED和GF交于点P，AM⊥AB交EP于点M，BN⊥AB交GP于点N，PC的延长线交AB于点Q．若PM＝2ME，PQ＝14，则阴影部分的面积为 ________ ． 14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是_______ （填序号） 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边上一点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，使点D落在点F处，当△AEF为直角三角形时，AE＝ ____________________ ． 16．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），则EP+BP的最小值为________________ ． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，交BC边于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 18．如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证：OE＝OF； （2）若BC＝2，求AB的长． 19．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 20．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连接CG，试说明：△CGB是等腰三角形． 21．在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E为BC边上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AEF，点B的对应点为F． （1）如图1，若点F恰好落在边AD上时，试判断四边形CDFE的形状，并说明理由； （2）如图2，若点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （3）如图3，当点F落在矩形ABCD内部时，将△AEF展平后，过点F作AB平行线，分别交AD，BC于点M，N．作FG⊥AB，G为垂足．问BE的长度为何值时，矩形纸片AGFM或矩形纸片GBNF的长宽比为2：1． 22．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上． （1）求证：BF＝NF； （2）已知AB＝2，AE＝1，求EG的长； （3）已知∠MEF＝30°，求的值． 23．如图①正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM交∠CBE的平分线于N，在DA上截取DF＝MB，∴DF＝FA＝AM＝AD，连结FM，易证△DFM≌△MBN，∴DM＝MN． （1）如图②当点M是边AB上任意一点时的结论是什么？ （2）如图③当点M在AB的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？ 北师大版9年级上2026-2027数学第一章特殊的平行四边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B＝70°，则∠EDC的大小为（　　） A．15° B．20° C．30° D．25° 【分析】根据折叠的性质得到AB＝AE，∠AEB＝∠B＝70°，根据菱形的性质求出∠ADC，AD＝AB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：由折叠的性质可知：AB＝AE，∠AEB＝∠B＝70°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ADC＝∠B＝70°，AD＝AB，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝70°，AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝×（180°﹣70°）＝55°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣55°＝15°， 故选：A． 【点评】本题考查的是翻折变换、菱形的性质，熟记折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 2．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中AB＝9，BC＝6，则FC'的长为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【分析】设FC'＝x，则FD＝9﹣x，根据矩形的性质和勾股定理列式即可求出答案． 【解答】解：设FC'＝x，则FD＝9﹣x． 由题意可得： ∴AD＝BC＝6，C'D＝3， ∴FC'2＝FD2+C'D2， 即x2＝（9﹣x）2+32， 解得x＝5． 故选：D． 【点评】本题考查的是矩形的性质和勾股定理，能够熟练运用所学知识是解题的关键． 3．如图，两条宽都为1cm的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 【分析】过点A作AF⊥BC于点F，过点C作CE⊥AB于点E，先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，然后由30°所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求出AB的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点A作AF⊥BC于点F， 由题意可得AF＝CE＝1cm，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC•AF＝AB•CE， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∵AF⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAF＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴ ∵AF＝1cm， ∴， ∴， 即重叠四边形的面积为， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理、30°所对的直角边是斜边的一半等知识，求出AB的长是解题的关键． 4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】首先证明MN是△AEF的中位线，得到，然后由正方形的性质与勾股定理得到，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C重合时，BE最大，即可求出BC的长度，最后代入即可得到答案． 【解答】解：连接AE，如图所示： ∵M，N分别是EF，AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴， ∴， ∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大， ∵E是BC上的动点， ∴当点E和点C重合时，BE最大， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形中位线的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键， 5．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（　　） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可． 【解答】解：由题意可得：图1中所得矩形的长为5cm，宽为4cm， ∵虚线的端点为该矩形两邻边的中点， ∴AC＝4cm，BD＝5cm， ∴如图（2）所示的菱形的面积为：×4×5＝10（cm2）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 6．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为（　　） A．10 B．9.8 C．10 D．5 【分析】如图：连接PD，DE，由AE＝AB﹣EB＝5，则，由翻折可得PE＝EB＝3，由EP+DP≥DE可知，当E，P，D三点共线时，DP最小，进而完成解答． 【解答】解：如图：连接PD，DE， ∵AD＝12，AB＝8，EB＝3， ∴AE＝AB﹣EB＝5， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°， ∴， 由翻折可得PE＝EB， ∴PE＝3， ∵DP≥DE﹣EP， ∴当E，P，D三点共线时，DP最小， ∴DP最小值＝DE﹣EP＝13﹣3＝10． 故选：A． 【点评】本题主要考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 7．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可． 【解答】解：连接AM， ∵点B和M关于AP对称， ∴AB＝AM＝3， ∴M在以A为圆心，3为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，CM最短， ∵AC＝，AM＝AB＝3， ∴CM＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上． 8．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（　　） A．2 B．2 C． D．5 【分析】先判定四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，可得点N为FC的中点，BE＝FC；再证明△AFG为等腰直角三角形，然后由直角三角形斜边中线的性质可得MN＝FC，由勾股定理可得BE的长，即为FC的长，从而可得MN的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵EF∥BC， ∴∠BFE+∠ABC＝180°， ∴∠BFE＝90°， ∴四边形BCEF为矩形， 连接FM，FC，如图： ∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形． ∴点N为FC的中点，BE＝FC． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝45°， 又∵∠AFG＝90°， ∴△AFG为等腰直角三角形． ∵M是AG的中点， ∴AM＝MG， ∴FM⊥AG， ∴△FMC为直角三角形， ∵点N为FC的中点， ∴MN＝FC， ∵四边形ABCD是边长为6的正方形，DE＝2， ∴BC＝CD＝6，CE＝4， 在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝2， ∴FC＝2， ∴MN＝FC＝． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股数及直角三角形的斜边中线性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 9．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为12．则PE+PF的值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】连接BP，根据菱形的性质得，然后利用三角形面积公式，由S△ABC＝S△PAB+S△PBC，得到，再整理即求解． 【解答】解：连接BP，如图， ∵菱形ABCD的周长为20，四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝5，△ABC的面积＝菱形ABCD的面积＝6， ∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC， ∴， ∴， 则PE+PF的值为． 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在BC和CD上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF＝45°，EC＝3，则CF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，根据旋转的性质可得HD＝BE，AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，然后求出∠FAH＝∠EAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等，由勾股定理可求DF的长，即可求解． 【解答】解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH， 由旋转的性质得，HD＝BE，AH＝AE，∠DAH＝∠BAE， 所以，∠FAH＝∠DAH+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠EAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAH＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAH＝∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AHF（SAS）， ∴EF＝FH， ∵EC＝3， ∴BE＝3， ∴HF＝3+DF＝EF， ∵EF2＝FC2+EC2， ∴（3+DF）2＝（6﹣DF）2+9， ∴DF＝2， ∴FC＝CD﹣DF＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角形． 二．填空题（共6小题） 11．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 　　 ． 【分析】如图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB＝NC＝，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP＝BP，设MP＝x，则EP＝BP＝，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解． 【解答】解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上， ∴EF＝CE＝1， ∴CF＝， ∴BF＝﹣1， ∵∠BFE＝45°， ∴阴影部分的面积＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1； 方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如图所示， ∵B在对角线CF上， ∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1， ∴△ENC为等腰直角三角形， ∴MB＝CN＝EC＝， 又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形， ∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL）， ∴PB＝PE， 又∠PFB＝45°， ∴∠FPB＝45°＝∠MPE， ∴△MPE为等腰直角三角形， 设MP＝x，则EP＝BP＝， ∵MP+BP＝MB， ∴，解得， ∴BP＝， ∴阴影部分的面积＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长． 12．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点．设AM的长为x，则x的取值范围是 　2.4≤x＜4　 ． 【分析】连接AP，首先根据勾股定理的逆定理可求出△ABC是直角三角形，进而得出四边形AEPF是矩形，由矩形的性质求出AM＝EF＝AP，然后根据垂线段最短的性质，利用直角三角形的面积公式可求出AP的最小值，结合点P不与点B，C重合，即可得出AP的取值范围，从而可得出答案． 【解答】解：连接MP， ∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝36+64＝100， 又∵BC2＝100， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴∠BAC＝90°． ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°． ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴AM＝EF＝AP． 当AP⊥BC时，AP最短，此时S△BAC＝×6×8＝×10•AP， 解得AP＝4.8． 即AP的范围是AP≥4.8． 当P和C重合时，AP＝8， ∴4.8≤AP＜8． ∴2.4≤AM＜4． 即2.4≤x＜4． 故答案为：2.4≤x＜4． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质的应用是解题的关键． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC和BC为边在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形BCFG，延长ED和GF交于点P，AM⊥AB交EP于点M，BN⊥AB交GP于点N，PC的延长线交AB于点Q．若PM＝2ME，PQ＝14，则阴影部分的面积为 　100　 ． 【分析】由题意得四边形AEPF，BGPD均是矩形，证明△AEM≌△ACB，EM＝BC，则PM＝AC，则得四边形AMPC是平行四边形，则PQAM，PQ⊥AB；同理四边形BCPN也是平行四边形；设BC＝a，AC＝b，则可得b＝2a，由勾股定理求得；再证明利用同角的三角函数值相等，求得QC，结合PQ＝14，则可求得a的值，从而由平行四边形的面积可求得阴影部分面积． 【解答】解：∵四边形ACDE和四边形BCFG都是正方形， ∴∠EAF＝∠E＝∠AFP＝90°，AC＝AE＝DE，BC＝BG＝CF， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EP＝AF＝AC+CF＝AC+BC； 同理：四边形BGPD是矩形， ∴PD＝BC＝BC； ∵AM⊥AB， ∴∠EAC＝∠MAB＝90°， ∴∠EAM＝∠CAB， ∵∠E＝∠ACB＝90°，AE＝AC， ∴△AEM≌△ACB（SAS）， ∴EM＝BC，AE＝AC； ∵DM＝ED﹣EM＝AC﹣BC， ∴PM＝PD+DM＝BC+AC﹣BC＝AC； ∵PM∥AC， ∴四边形AMPC是平行四边形， ∴PQ∥AM，PC＝AM＝AB； ∵AM⊥AB，BN⊥AB， ∴PQ⊥AB，PQ∥|BN； ∵BD∥PG， ∴四边形BCPN也是平行四边形， 设BC＝a，AC＝b， ∵PM＝2ME，即b＝2a， 则在Rt△ABC中，由勾股定理得， ∴， ∵∠ACB＝∠CQB＝90°， ∴，即， ∴， ∵PQ＝PC+QC＝14，即， 解得：， 故阴影部分面积为PM•AE+BC•PD＝b2+a2＝5a2＝100• 故答案为：100． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形全等、利用三角函数求出a的值是解题的关键． 14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是　①④　 （填序号） 【分析】由条件可得∠APE＝30°，则∠PEF＝∠BEF＝60°，可得EF＝2BE，PF＝PE，EF＝2BE＝4EQ，从而可判断出正确的结论． 【解答】解：由折叠可得PE＝BE，PF＝BF，∠PEF＝∠BEF，∠EFB＝∠EFP， ∵AE＝AB， ∴BE＝PE＝2AE， ∴∠APE＝30°， ∴∠PEF＝∠BEF＝60°， ∴∠EFB＝∠EFP＝30°， ∴EF＝2BE，PF＝PE， ∴①正确，②不正确； 又∵EF⊥BP， ∴EF＝2BE＝4EQ， ∴③不正确； 又∵PF＝BF，∠BFP＝2∠EFP＝60°， ∴△PBF为等边三角形， ∴④正确； 所以正确的为①④， 故答案为：①④． 【点评】本题主要考查矩形的性质和轴对称的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识，综合性较强，掌握直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边上一点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，使点D落在点F处，当△AEF为直角三角形时，AE＝ 　1或　 ． 【分析】由矩形性质得CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠DAB＝∠D＝90°，BC∥AD，由折叠性质得CF＝CD＝3，EF＝DE，∠EFC＝∠D＝90°，则∠EAF＜∠DAB＝90°，由此得当△AEF为直角三角形时，有以下两种情况：①当∠AEF＝90°时，则EF⊥AD，进而得EF⊥BC，此时点F在BC上，证明四边形形CDEF是正方形得DE＝CD＝3，据此得AE＝1；②当∠AFE＝90°时，则点A，F，C共线，设AE＝a，则EF＝DE＝4﹣a，再由勾股定理求出AC＝5得AF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理可求出AE＝a＝2.5，综上所述即可得出AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠DAB＝∠D＝90°，BC∥AD， 由折叠性质得：CF＝CD＝3，EF＝DE，∠EFC＝∠D＝90°， ∴∠EAF＜∠DAB＝90°， ∴当△AEF为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠AEF＝90°时，则EF⊥AD，如图1所示： ∴BC∥AD， ∴EF⊥BC，此时点F在BC上， ∴∠C＝∠DEF＝∠BFC＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， 又∵CF＝CD＝3， ∴矩形CDEF是正方形， ∴DE＝CD＝3， ∴AE＝AD﹣DE＝1； ②当∠AFE＝90°时，如图2所示： ∴∠AFE+∠EFC＝180°， ∴点A，F，C共线， 设AE＝a，则DE＝AD﹣AE＝4﹣a， ∴EF＝DE＝4﹣a， 在△ACD中，∠D＝90°， 由勾股定理得：AC＝＝＝5， ∴AF＝AC﹣DF＝5﹣3＝2， 在△AEF中，∠AFE＝90°， 由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2， ∴a2＝22+（4﹣a）2， 解得：a＝2.5， ∴AE＝a＝2.5， 综上所述：AE的长为1或2.5． 故答案为：1或． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 16．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），则EP+BP的最小值为　　 ． 【分析】连接DP，延长CD交y轴于F，则DF⊥y轴，依据菱形的对称性即可得到BP＝DP，进而得出EP+BP＝EP+DP，当点D，P，E在同一直线上时，EP+DP的最小值等于线段DE的长，利用勾股定理求得DE的长，即可得到EP+BP的最小值． 【解答】解：如图所示，连接DP，延长CD交y轴于F，则DF⊥y轴， ∵四边形OBCD是菱形， ∴BP＝DP， ∴EP+BP＝EP+DP， 当点D，P，E在同一直线上时，EP+DP的最小值等于线段DE的长， ∵B（2，0），∠DOB＝60°， ∴DO＝2，∠DOF＝30°， ∴DF＝，FO＝3， 又∵E（0，﹣1）， ∴EF＝3+1＝4， ∴Rt△DEF中，DE＝＝＝， ∴EP+BP的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，交BC边于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 【分析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证EA＝ED，即可得出结论． 【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴EA＝ED， ∴平行四边形AEDF为菱形． 【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明EA＝ED是解题的关键． 18．如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证：OE＝OF； （2）若BC＝2，求AB的长． 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE＝OF； （2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，接下来运用勾股定理即可求出AB的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠FCO． 在△AOE和△COF中，∠BAC＝∠FCO，∠AOE＝∠COF，AE＝CF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF． （2）解：如图，连接OB． ∵BE＝BF，OE＝OF， ∴BO⊥EF， 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO＝90°． ∵△AOE≌△COF， ∴OA＝OC． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90° ∴OA＝OB＝OC， ∴∠BAC＝∠ABO． ∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝30°． ∵BC＝2， ∴AC＝2BC＝4， ∴AB＝＝＝6． 【点评】此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 19．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质证明； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算； （3）仿照（2）的计算过程解答． 【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DM＝BC，ME＝BC， ∴DM＝ME， 又∵N为DE中点， ∴MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）， ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）， ＝360°﹣2（180°﹣∠A）， ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC， ＝2（180°﹣∠BAC）， ＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）， ＝2∠BAC﹣180°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 20．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连接CG，试说明：△CGB是等腰三角形． 【分析】先由SAS证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE＝∠DAF，再根据角的互余关系求出AF⊥BE，同理得出CM⊥BE，证出AF∥CM，得出CM垂直平分BG，从而证出CG＝BC，得出结论． 【解答】解：取AB的中点M，连接CM交BE于N，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA＝CD，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵点E、F分别是边AD和CD的中点， ∴AE＝AB，DF＝CD， ∴AE＝DF， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DAF+∠AEB＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴AF⊥BE， 同理可得CM⊥BE， ∴AF∥CM， ∵M是AB的中点， ∴MN是△ABG的中位线， ∴N是BG的中点， ∴CM垂直平分BG， ∴CG＝BC， ∴△CGB是等腰三角形． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质、平行的判定；通过证明三角形全等，进一步证出平行线是解决问题的关键． 21．在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E为BC边上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AEF，点B的对应点为F． （1）如图1，若点F恰好落在边AD上时，试判断四边形CDFE的形状，并说明理由； （2）如图2，若点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （3）如图3，当点F落在矩形ABCD内部时，将△AEF展平后，过点F作AB平行线，分别交AD，BC于点M，N．作FG⊥AB，G为垂足．问BE的长度为何值时，矩形纸片AGFM或矩形纸片GBNF的长宽比为2：1． 【分析】（1）先求出CD＝AB＝5，AD＝BC＝12，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由点F在AD上，得出∠DFE＝90°，AF＝AB＝5，即可得出答案； （2）设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝12﹣x，进而求出AC由折叠知，AF＝AB＝5，EF＝BE＝x，∠AFE＝∠B＝90°，再由点F在AC上，得出∠CFE＝90°，CF＝8，最后用勾股定理即可求出答案； （3）先判断出四边形AGFM与四边形BGFN都是矩形，得出AG＝FM，BG＝FN，FG＝BN，由折叠知，AF＝AB＝5，分三种情况讨论：①当FM＝2FG时，设FG＝a，则FM＝2a，得出AG＝FM＝2a，根据勾股定理求出a＝，得出FG＝，FM＝2，FN＝5﹣2，设BE＝m，则EN＝BN﹣BE＝﹣m，由折叠知，EF＝BE＝m，用勾股定理即可求出答案，②当FG＝2FM是，同①的方法得，即可求出答案③当FG＝2FN时，用①的方法得，即可求出答案． 【解答】解：（1）四边形CDFE是矩形，理由： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝12，∠B＝∠C＝∠D＝90°， 由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°， ∵点F在AD上， ∴∠DFE＝90°，AF＝AB＝5， ∵∠C＝∠D＝∠DFE＝90°，DF＝AD﹣AF＝7≠CD， ∴四边形CDFE是矩形； （2）设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝12﹣x， 在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12， ∴AC＝＝＝13， 由折叠知，AF＝AB＝5，EF＝BE＝x，∠AFE＝∠B＝90°， ∵点F在AC上， ∠CFE＝90°，CF＝AC﹣AF＝8， 在Rt△CEF中，CE2＝EF2+CF2， ∴（12﹣x）2＝x2+82， ∴x＝， 即BE的长为； （3）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠C＝90°， ∵MN∥AB， ∴∠AMN＝∠ANM＝90°， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝∠BGF＝90°， ∴四边形AGFM与四边形BGFN都是矩形， ∴AG＝FM，BG＝FN，FG＝BN， 由折叠知，AF＝AB＝5， ①当FM＝2FG时，设FG＝a，则FM＝2a， ∴AG＝FM＝2a， 在Rt△AGF中，AG2+FG2＝AF2， ∴（2a）2+a2＝52， ∴a＝（舍去负值）， ∴FG＝，FM＝2， ∴FN＝MN﹣FM＝5﹣2， 设BE＝m，则EN＝BN﹣BE＝﹣m， 由折叠知，EF＝BE＝m， 在Rt△EFN中，EN2+FN2＝EF2， ∴（﹣m）2+（5﹣2）2＝m2， ∴， ②当FG＝2FM是，同①的方法得，BE＝， ③当FG＝2FN时，用①的方法得，BE＝， 即BE的长度为5﹣10或或时，矩形纸片AGFM或矩形纸片GBNF的长宽比为2：1． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 22．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上． （1）求证：BF＝NF； （2）已知AB＝2，AE＝1，求EG的长； （3）已知∠MEF＝30°，求的值． 【分析】（1）连接BE，EN，根据矩形的性质和旋转的性质即可求解； （2）根据矩形的性质和旋转的性质可证△NGF≌△HGE，再由勾股定理即可求解； （3）根据平行线的性质可得∠DME＝∠MEF＝30°，设DE＝x，由∠D＝90°，可得ME＝DC＝AB＝2x，DM＝x，MC＝（2﹣）x，再表示出BC＝AD＝DM+MN＝2（2﹣）x+x＝（5﹣2）x，进一步即可求解． 【解答】解：（1）连接BE，EN，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BFE＝90°， 由旋转得BE＝EN， ∴BF＝NF； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴BF＝AE，EF＝AB， 由旋转得EH＝EA， ∵BF＝NF， ∴EH＝NF， ∵∠BFE＝∠GHE＝90°，∠NGF＝∠HGE， ∴△NGF≌△HGE， ∴FG＝GH， 设EG＝x，则GF＝GH＝2﹣x， 由勾股定理得x2﹣（2﹣x）2＝1， 解得x＝， ∴EG＝； （3）∵EF∥DC， ∴∠DME＝∠MEF＝30°， 设DE＝x， ∵∠D＝90°， ∴ME＝DC＝AB＝2x，DM＝x， ∴MC＝（2﹣）x， ∵∠NME＝90°，∠DME＝30°， ∴∠NMC＝60°， ∴∠MNC＝30°， ∴MN＝2MC＝2（2﹣）x， ∴BC＝AD＝DE+MN＝2（2﹣）x+x＝（5﹣2）x， ∴＝． 【点评】考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，（2）的关键是证明△NGF≌△HGE，注意方程思想的应用． 23．如图①正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM交∠CBE的平分线于N，在DA上截取DF＝MB，∴DF＝FA＝AM＝AD，连结FM，易证△DFM≌△MBN，∴DM＝MN． （1）如图②当点M是边AB上任意一点时的结论是什么？ （2）如图③当点M在AB的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？ 【分析】（1）在AD上截取AF'＝AM，连接F′M，构建△DF′M≌△MBN，即可得出DM＝MN； （2）在AD延长线上截取AG＝AM，连接GM．通过证明△DGM≌△MBN（ASA），即可得出结论． 【解答】解：（1）如图②，正方形ABCD中，在AD上截取AF'＝AM，连接F′M． ∴AD＝AB，∠CBM＝90°， ∵DF'＝AD﹣AF'，MB＝AB﹣AM， ∴DF'＝MB． ∵∠F'DM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°， ∴∠F'DM＝∠BMN． ∵BN平分∠CBE， ∴∠CBN＝45°， ∴∠MBN＝∠CBN+∠CBM＝45°+90°＝135°， ∵AF'＝AM， ∴∠AF′M＝45°， ∴∠DF′M＝135°， ∴∠DF'M＝∠MBN＝135°， 在△DF′M和△MBN中， ， ∴△DF′M≌△MBN（ASA）， ∴DM＝MN； （2）如图③，在AD延长线上截取AG＝AM，连接GM． ∵DG＝AG﹣AD，MB＝AM﹣BM，AD＝AB，AG＝AM， ∴DG＝MB． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠CDM＝∠AMD， ∵∠GDM＝90°+∠CDM，∠BMN＝90°+∠AMD， ∴∠GDM＝∠BMN， ∵AG＝AM， ∴∠G＝45°， ∵BN平分∠CBE， ∴∠MBN＝45°， ∴∠G＝∠MBN， 在△DGM和△MBN中， ， ∴△DGM≌△MBN（ASA）， ∴DM＝MN． 【点评】本题综合考查了利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键要明确：在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/22 20:50:21；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $