第一章 特殊的平行四边形 单元测试（培优卷）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形培优卷，单元复习适用，覆盖矩形、菱形、正方形核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形菱形性质判定、中点四边形|多结论判断（如第8题等边三角形与正方形综合）| |填空题|6/18|菱形面积、矩形折叠、动态最值|文化情境（第11题故宫窗棂图案）| |解答题|8/72|图形旋转证明、动态探究|综合探究（第24题动点E与菱形判定）|

第一章 特殊的平行四边形（培优卷）2026-2027学年北师大版数学九年级上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对边分别平行 C．对角线相等 D．两组对角分别相等 2．如图，在下列条件中，能够判定□ABCD为矩形的是（　　) A．AB=AD B．BD=2BC C．AC⊥BD D．AC=BD 3．如图，把长方形沿折叠后，点D，的位置，若，则（　　） A． B． C． D． 4．如果、、、是四边形四条边的中点，要使四边形是菱形，那么四边形应具备的条件是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等且互相平分 C．一组对边平行而另一组对边不平行 D．对角线相等 5．如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（　　） A． B． C．10 D．20 7．如图，在矩形中，点为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧过与的交点，连结．若，则（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8． 如图， 在正方形ABCD中， 点E、F分别在BC，CD上， △AEF是等边三角形， 连接AC交 EF于 点G， 下列结论： ①BE=DF：②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF； ④BE+DF=EF其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（　　） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为　 　． 12．如图，在菱形中，连接，，，以为边作正方形，则正方形的周长为　 　． 13．如图，在矩形中，对角线相交于点垂直且平分线段，垂足为点已知，则的长为　 　． 14．如图，中，，，，、分别为，的中点，为上一点，且满足，则　 　． 15．如图，在矩形ABCD中，，点是CD边上一动点，将沿AP翻折得到，延长AE与直线BC交于点．下列结论： ①若，则； ②与一定互补； ③若，则． 其中正确的结论是　 　．（填写序号） 16．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上.请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形(所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上) （1）在 图1中画一个正方形ABCD； （2） 在 图2 中画一个菱形ABMN； （3）在图3中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3. 18．如图，在平行四边形中，，垂直平分分别交于点E，O，F． （1）判断四边形是何种特殊四边形？并说明理由． （2）求四边形的面积． 19．如图，四边形 ABCD中， CD∥AB， ∠ABC=90°， AB=BC，将△BCD绕点 B逆时针旋转 90°得到△BAE，连接 CE，过点 B作 BG⊥CE于点 F，交 AD于点 G，若 CD=AB. （1）求证：四边形 ABCD是正方形； （2）若 CD=4，求 DG的长. 20．正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，． （1）当时，求的度数； （2）当时，，请直接写出正方形的边长为______． 21．如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点，请从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：四边形为菱形. 条件①：平分；条件②：. 22．如图1，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．且连接 （1）求证：四边形是矩形； （2）在图1中，若点M是上一点，沿折叠，使点B恰好落在线段上的点处（如图2），求的长． 23．如图1， 在四边形ABCD中， AB∥CD， AC， BD相交于点O，且O为BD的中点． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2） 如图2， 延长CB至点E， 使得CB=BE， 若AE=AC=5， CE=6， ①求四边形ABCD 的面积； ②设G为CD上一动点，连结GO并延长交AB 于 F，若求 DG的长． 24．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题.已知矩形ABCD中，AD>AB.点E是平面内的一个动点，且BE=AD，∠CBE的平分线交射线CD于点F，连接EF，过点E作CD的平行线交直线BF于点G，连接CG. （1）初步思考：如图1，点E在矩形ABCD内部，猜想四边形EGCF的形状，并证明你的结论； （2）深入探究：如图2，已知AB=3，当点E落在AD边上，且恰好是AD的中点时，求此时GF的长； （3）保持（2）中矩形ABCD的形状大小不变，继续改变点E的位置.若请直接写出所有满足条件的CF的长. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】 12．【答案】16 13．【答案】 14．【答案】1 15．【答案】①②③ 16．【答案】 17．【答案】（1） （2） （3） 18．【答案】（1）解：四边形是菱形， 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 19．【答案】（1）证明：∵CD=AB，CD∥AB， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵∠ABC=90°， AB=BC， ∴平行四边形 ABCD是正方形 （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴. 20．【答案】（1）解：如图， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， . （2） 21．【答案】证明：选择条件①：平分. 证明过程如下： ， ，∠ADB=∠CBD， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， 平分， ， ， ， ∴四边形ABCD为菱形. 选择条件②：. 证明过程如下： ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形ABCD为菱形. 22．【答案】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠ABE=∠ECF ∵E为BC中点 ∴BE=CE ∴在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（ASA） ∴AB=CF 又四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CF 四边形ABFC为平行四边形， ∴BE=CE，AE=EF ∵∠AEC=2∠ABC，∠AEC=∠ABC+∠EAB ∴∠ABC=∠EAB ∴AE=BE ∴AE+EF=BE+CE ∴AF=BC ∴四边形ABFC为矩形； （2）解：四边形ABFC是矩形，AB=13，AC=12， ∴CF=AB=13，BF=AC=12，∠ACF=∠MFB'=90° △AB'M是由△ABM折叠得到的， ∴AB=AB'=13，B'M=BM ， ∴B'F=CF=B'C=13-5=8， 设MF=x，则B'M=BM=12-x ， 即：， 解得：， ． 23．【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD，∠ABD=∠BDC， 又∵O为BD的中点， ∴OB=OD， ∴△AOB≌△COD， ∴OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：①∵AE=AC，BC=BE， ∴AB⊥EC，BC=3， ∴ABCD是矩形， 在Rt△ABC中，， ∴矩形ABCD的面积为：3×4=12； ②如图，取DC的中点H，连接OH， ∵ABCD是矩形， ∴AB∥CD，BO=OD， ∴∠ABD=∠CDB，∠BFG=∠DGO， ∴△OBF≌△ODG， ∴OG=OF=， 又∵点H是DC的中点， ∴OH∥BC，，DH=2， ∴∠OHD=90°， ∴， 当点G在DH上时。DG=DH-GH=2-1=1； 当点G在CG上时，DG=DH+GH=2+1=3； 故DG长为1或3.​​​​​​​​​​​​​​ 24．【答案】（1）解：四边形EGCF是菱形，证明如下： ∵四边形ABCD为矩形，BE=AD， ∴AD=BC=BE， ∵BF平分∠CBE， ∴∠EBF=∠CBF， ∵BF=BF， ∴△EBF≌△CBF（SAS）， ∴EF=CF，∠EFB=∠CFB， 同理EG=CG， ∵EG∥CD， ∴∠EGF=∠CFB， ∴∠EGF=∠EFB， ∴EG=EF=CF=CG， ∴四边形EGCF是菱形 （2）如图，延长EG交BC于点H，连接CE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC⊥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD=3， ∵EG∥CD， ∴EG⊥AD，EG⊥BC， ∴四边形CDEH为矩形， ∴DE=CH，EH=CD=3， ∵点E是AD的中点， 即EH垂直平分BC， ∴BC=BE=CE， ∴△BCE为等边三角形， 由（1）得：四边形EGCF是菱形， ∴∠FEG=2∠CEG=60°，EG=EF， ∴△EGF为等边三角形， ∴FG=EF， 在Rt△DEF中， 解得：FG=2； （3）或4 1 学科网（北京）股份有限公司 $