16.3.2完全平方公式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过多项式乘法实例引导学生自主探究规律，结合几何图形面积（边长a+b的大正方形分解为a²、2ab、b²）直观理解公式，衔接整式乘法与去括号法则，构建学习支架。 其亮点在于以“特殊—一般”探究过程培养抽象能力，通过图形面积分析发展几何直观，例题中添括号法则应用（如(x+2y-3)(x-2y+3)变形）训练推理意识。采用数形结合教学方法，小结明确公式结构与应用要点，助力学生提升符号感和问题解决能力，为教师提供系统教学资源和多样化实例。

16.3.2 完全平方公式 第十六章 整式的乘法 【2025新教材】人教版数学 八年级上册 1. 通过学生自主探究理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算，提高学生解决问题的能力． 2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力． 3．让学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力． 4．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想． 重点 难点 一级标题：黑体， 2 完全平方公式 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 1.(p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 2.(m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 3.(p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 4.(m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 前面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘. 由于(a+b) 2= ( a + b)(a + b )=a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 (a-b) 2= ( a - b)(a - b )=a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 归纳 对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 简记为：“首平方，尾平方， 积的2倍放中间” 思考：你能根据图(1) 和图(2) 中图形的面积说明完全平方公式吗？ b a a b 图(1) ① ④ ② ③ b a a b 图(2) ① ② ④ ③ 探究点一：完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. b a a b 图(1) ① ④ ② ③ 方法一 大正方形的边长为 a＋b，面积就是(a＋b)2. 方法二 ①②③④ 四个部分，它们的面积分别为 a2，ab，ab，b2 整个面积为 a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. 分析：如何用不同的方法表示大正方形的面积？ 分析： S总 = S①+S②+S③+S④. ① ② ③ ④ = + + + a2 ab ab b2 = (a + b) 2 (a+b)2= . 和的完全平方公式： a2+2ab+b2 图(1) 分析： S① = S总－ S② － S③+S④. = － － ＋ a2 ab ab b2 = (a － b) 2 (a－b)2= . 差的完全平方公式： a2－2ab+b2 图(2) ① ④ ② ③ 想一想 下列式子是否能用乘法公式计算？ (1) (m+n+1)(m+n1) (2) (m+n1)(m+n1) 能 [(m+n)+1][ (m+n)1] 能 [(n1)m][(n1)+m] =(m+n)212 =(n1)2m2 可通过添括号变形成乘法公式的形式，将其中某一部分看作一项. 一级标题：黑体， 10 典型例题 【例】运用乘法公式计算： (1) (x+2y3)(x2y+3)； (2) (a+b+c)2 . 解：(1) (x+2y3)(x2y+3) =[x+(2y3)][x(2y3)] =x2(2y3)2 =x2(4y212y+9) =x24y2+12y9； 有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式. 将2y3看作整体 运用添括号法则变形成乘法公式的形式 一级标题：黑体， 11 例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2. 分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多 项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 归纳总结 例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=(100－99)² (2)原式＝(34＋16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算 =1. ＝2500. 例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． ＝112＝121. 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0. a+(b+c) = a+b+c; a-(b+c) = a–b–c. a + b + c = a + ( b + c) ; a–b–c = a – ( b + c ) . 去括号法则： 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）. 添括号法则： 回归旧知 16 例3 、运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] 解: (1) (2)原式 = [(a+b)+c]2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 典例精析 17 计算：(1)(a+2b-1)2； (2)(2x+y+z)(2x-y-z)． ＝4x2－y2-2yz-z2 解：(1)原式＝[(a+2b)-1]2 ＝(a+2b)2-2(a+2b) ＋12 ＝a2+2ab＋b2-2a－4b+1 (2)原式＝[2x＋(y+z)][2x－(y+z)] ＝4x2－(y+z)2 针对训练 18 今天我们收获了哪些知识？ 1.说一说乘法的完全平方公式? 2.应用完全平方公式时要注意什么？ (a ± b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面） 课堂小结 19 C 1．计算(－a－b)2的结果是( ) A．a2＋b2 B．a2－b2 C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2 知识点拨： (a+b)2 与（-a-b)2 相等. 2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( ) A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2 D 知识点拨：完全平方公式的逆运算，注意符号. 综合演练 20 3．下列添括号错误的是( ) A．a2－b2－b＋a＝a2－b2＋(a－b) B．(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] C．a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b) D．a－b＝－(b＋a) D 知识点拨：添加括号时，负变正不变. 21 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”). 添括号法则 例 运用乘法公式计算: (1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)] 解: (1) (2)原式= [(a+b)+c]2 = x2–(2y–3)2 = x2–(4y2–12y+9) = x2–4y2+12y–9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 素养考点 添括号法则的应用 $