16.3.2完全平方公式 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过回顾多项式乘多项式及平方差公式，结合拼图活动引导学生从几何面积推导公式，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式的推导过程、结构特点与几何意义。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，通过图形面积验证公式（如边长a+b的正方形面积推导），错误辨析（如(p-1)²的常见错误纠正）培养运算能力和推理意识，实际应用（如99²计算、长方形面积问题）提升应用意识。学生能深化理解，教师可高效教学。

第十六章 整式的乘法 八年级上 16.3.2 完全平方公式 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何意义. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 学习目标 多项式乘多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 平方差公式 (a+b)(a－b)=a2+b2 ？ 一般形式 特殊形式 这节课我们一起来学习另一种特殊形式. 回 顾 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 一、用完全平方公式分解因式 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2+2ab+b2 （a+b）2 = （a+b）2 a2+2ab+b2 = 将上面的等式倒过来看，能得到： a b a b a² ab ab b² a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 我们把a²+2ab+b² 和a²-2ab+b² 这样的式子叫作完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 探索新知 你能几何的形式证明公式成立吗? 思路： (a－b)2 = . a2－2ab＋b2 整体求：总面积 ＝ (a － b)2. 部分求： 面积差 ＝ a2－ab－b(a－b) ＝ a2－ab－ab＋b2. a－b a a ab b(a−b) b b (a－b)2 a−b 探索新知 完全平方公式 (a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 是多项式乘法 (a＋b)(p＋q) 中p＝a，q＝b 的特殊情形. (a + b)2 ＝a2 + 2ab + b2， (a - b)2 ＝a2 - 2ab + b2. 两个数的和 (或差) 的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去) 它们的积的 2 倍. 公式的特征 积为二次三项式、积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同； 公式中的字母 a、b 可以表示数、单项式或多项式. 1 2 3 　　追问 1　运用添括号法则计算时，要注意什么问题？ 　 (x＋2y－3)(x－2y＋3) ＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)] ＝x2－(2y－3)2 ＝x2－(4y2－12y＋9) ＝x2－4y2＋12y－9 注意 （1）有些整式相乘需要先作适当变形，再用乘法公式计算． （2）计算时准确把握添括号前后各项的符号是关键． 9 　　追问 2　第（2）题还有其他做法吗？ （2）(a＋b＋c)2 ＝[a＋(b＋c)]2 ＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2 ＝ a2＋2ab＋2ac＋b2＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc． 这是完全平方公式的推广运用，其结果的规律性和完全平方公式是一致的． 把 b＋c 看作整体． 10 完全平方公式 运算法则： 文字说明： 两个数的_________的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的_____. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 和 (或差) 2 倍 这两个公式叫做 (乘法的) 完全平方公式. 定义总结 典例精析 例1 运用完全平方公式计算： 解：(4m + n)2 = = 16m2 (1) (4m + n)2； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (4m)2 + 2×(4m) · n + n2 + 8mn + n2. (2) . b a a b a2 ab ab b2 你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗? (a-b)2 a b b a ab ab b2 图 1 图2 b a a b a2 ab ab b2 图 1 如图，边长为 (a + b) 的正方形的面积是 . (a+b)2 它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和： . a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 【结论】 (a+b)2 = a2+2ab+b2 (1) 1022； 解： 1022 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. 解：992 = (100 – 1)2 = 10000 - 200 + 1 = 9801. 例 运用完全平方公式计算： 积的次数和项数 相同的项 不同的项 和的完全平方公式 差的完全平方公式 问题：观察这两个公式，回答下列问题. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 二次三项式 二次三项式 a2，b2 a2，b2 +2ab -2ab 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式还可以表示多项式吗？ 想一想 做一做 下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (p1)2=p21 (m2)2=m22m+4 (x+y)2=x2+y2 (x+y)2=x2+2xy+y2 (2x+y)2=x2+2xy+y2 (m2n)2=m24mn+4n2 (x+y)2=x22xy+y2 (p1)2=p22p+1 (m2)2=m24m+4 (x+y)2=x2+2xy+y2 (2x+y)2=x2+4xy+y2 一级标题：黑体， 17 典型例题 【例1】运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ； (2) (y )2 解：(1) (4m+n)2=(4m)2+2(4m)n+n2 = 16m2+8mn+n2； (2) (y )2 = y22y +( )2 =y2y+ . 一级标题：黑体， 18 利用乘法公式计算： (1)982–101×99； (2)20162–2016×4030＋20152. ＝(2016–2015)2＝1. 解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1) ＝1002–400＋4–1002＋1＝–395； (2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152 例3 已知x–y＝6，xy＝–8. 求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36 –16＝20； 解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8， (x–y)2＝x2＋y2–2xy， ∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20 –16＝4. 利用完全平方公式的变形求整式的值 (1)用两种不同方法表示图④中阴影部分面积： 方法1：__________________，方法2：____________________； (2)由(1)可得到一个等量关系式为_________________________； (3)若m＋n＝5，m2＋n2＝20，求(m－n)2的值； (a－b)2 (a＋b)2－4ab (a＋b)2－4ab = (a－b)2 解：(3)由(2)可得(m－n)2＝(m＋n)2－4mn， 因为m＋n＝5，m2＋n2＝20， 所以(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝25， 所以2mn＝5， 所以4mn＝10， 所以(m－n)2＝25－10＝15. 随堂练习 (4)如图⑤，小明家打算在自家长方形土地(即长方形ABCD)旁边，以AB、AD为边分别向外用篱笆围出正方形ABEF、正方形ADGH两块空地(不包含长方形ABCD的边长)，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，已知篱笆一共长210m，其种植面积和为2 500m2，求长方形土地ABCD的面积． (4)设AB＝x m，AD＝y m，则3(x＋y)＝210， 所以x＋y＝70， 因为x2＋y2＝2 500， 所以2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝702－2 500＝2 400， 所以xy＝1 200， 故长方形土地ABCD的面积为1 200m2. 随堂练习 D 4052 已知，则的值是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 解析：， ，，. 已知，则__________. 解析：，，.故答案为4052. $