浙教版9上数学-1.4二次函数与一元二次方程的关系同步训练2026-2027学年浙教版数学九年级上册

数学 · 九年级上册 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 【重点提示】二次函数与一元二次方程之间有着密切联系，对于二次函数 ，当它的图象与 轴没有交点时，一元二次方程 没有实数根；当它的图象与 轴只有一个交点（即切点）时，一元二次方程 有两个相等的实数根，交点的横坐标即为方程的根；当它的图象与 轴有两个交点时，一元二次方程 有两个不等的实数根，交点的横坐标即为方程的根。除此之外，我们可以根据二次函数的图象近似地求解一元二次方程的根，还可以通过解一元二次方程来求二次函数图象与 轴的交点坐标。 ▍基础过关集训 1. 若一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶点在（　）。 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 小颖用计算器探索方程 的根，作出如图的图象，并求得一个近似根 ，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　）。 A. 4.4 B. 3.4 C. 2.4 D. 1.4 3. 已知函数 的图象如图，那么关于 的方程 的根的情况是（　）。 A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个同号不等的实数根 D. 有两个异号的实数根 4. 已知方程 的解是 ，那么抛物线 （）与 轴的两个交点的坐标分别是＿＿＿＿。 5. 关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根都在 和 之间（不包括 和 ），则 的取值范围是＿＿＿＿。 6. 如图，平面直角坐标系中有抛物线 和直线 。 (1) 取何值时，抛物线 与直线 没有公共点？ (2) 当抛物线 的顶点在直线 上时，求直线 被它截得的线段长。 7. 使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数 ，令 可得 ，我们说1是函数 的零点。已知函数 （ 为常数）。 (1) 当 时，求该函数的零点。 (2) 求证：无论 取何值，该函数总有两个零点。 ▍进阶能力拓展 8. 下列关于二次函数 的图象与 轴交点情况的判断，正确的是（　）。 A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于 轴右侧 C. 有两个交点，且它们均位于 轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于 轴右侧 9. 下列关于函数 的图象与坐标轴的公共点情况：①当 时，有三个公共点；② 时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则 ；④若有三个公共点，则 。其中描述正确的有（　）。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 二次函数 的自变量 与函数 的对应值如下表。若 ，则方程 的两根 的取值范围分别是＿＿＿＿。 11. 对于每个非零自然数 ，抛物线 与 轴交于 两点，以 表示这两点间的距离，则 ＿＿＿＿。 12. 抛物线 与 轴交于点 ，其中 ，且 。 (1) 求实数 的值。 (2) 设 是抛物线 上的一点，在该抛物线的对称轴上找一点 ，使得 的值最小，并求出点 的坐标。 ▍中考真题实训 13. 【铜仁】已知抛物线 与 轴有两个交点 ，抛物线 与 轴的一个交点是 ，则 的值是（　）。 A. 5 B. C. 5 或 1 D. 或 14. 【荆门】如图，抛物线 与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴为直线 ，给出下列结论：①；②若点 的坐标为 ，则 的面积可以等于2；③， 是抛物线上两点 ，若 ，则 ；④若抛物线经过点 ，则方程 的两根为 。其中正确结论的序号为＿＿＿＿。 ▍综合应用探究 15. 若 是一元二次方程 的两个根，则 和系数 有如下关系：。把它称为一元二次方程根与系数关系定理。若设二次函数 的图象与 轴的两个交点为 。利用根与系数关系定理可以得到 两个交点间的距离为：。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 的图象与 轴的两个交点为 ，抛物线的顶点为 ，显然 为等腰三角形。 (1) 当 为直角三角形时，求 的值。 (2) 当 为等边三角形时，求 的值。 参考答案 1. A 2. D 3. C 4. 5. 6. (1) 根据题意得 ，整理得 ， ∵抛物线 与直线 没有公共点，∴，解得 。 ∴当 时，抛物线 与直线 没有公共点。 (2) ∵抛物线 的顶点在直线 上，∴抛物线 的顶点为 。代入 得 ， ∴抛物线的表达式为 。由 ，得 或 。 ∴直线 和抛物线的交点为 和 。∴直线 被抛物线截得的线段长为 。 7. (1) 当 时，令 ，则 ，解得 ， ∴ 时，该函数的零点为 。 (2) 令 ，则 ， ∵， ∴关于 的方程总有两个不相等的实数根，即无论 取何值，该函数总有两个零点。 8. D 9. A 10. 11. 12. (1) ∵抛物线 与 轴交于 两点，∴。 ∵，∴，解得 。∵，∴ 的值为 。 (2) ∵ 是抛物线 上的一点，∴。令 ，则 ，解得 。∴。 抛物线 的对称轴为 ，要在抛物线的对称轴上找一点 ，使得 的值最小，根据两点之间线段最短可知直线 与直线 的交点即为所求。 设直线 的表达式为 ，过 两点，则 解得 ∴。当 时，，∴。 13. C 14. ①④ 15. (1) 过点 作 于点 ，当 为直角三角形时，。 ∵抛物线与 轴有两个交点，∴，则 。 ∵，∴。又∵，∴。 ∴。∵，∴。 (2) 当 为等边三角形时，由(1)可知 ，∴。 ∴。∵，∴。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $