1.4 二次函数与一元二次方程的关系（2）- 同步分层练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦二次函数与一元二次方程关系，通过基础、巩固、应用三层设计，实现从概念理解到综合创新的递进，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|二次函数与x轴交点个数、坐标、判别式|选择填空为主，如交点坐标计算，夯实符号意识| |巩固提升|对称轴、顶点坐标、系数关系|综合选择与解答题，如含参数二次函数分析，发展推理能力| |能力应用|新定义（孪生抛物线）、动态问题|情境化解答题，如“孪生抛物线”性质探究，培养创新意识|

1.4 二次函数与一元二次方程的关系（2）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．二次函数 的图象与x轴的交点个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】A 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：令y=0得 ∵a=1，b=-2，c=3 ∴ ∴ 二次函数 的图象与x轴没有交点。 故答案为：A . 【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数可通过判别式△=b2-4ac来判断：当△>0时，函数图象与x轴有两个交点；当△=0时，函数图象与x轴有一个交点；当△<0时，函数图象与x轴没有交点。 2．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：令y=0，得， ∴x=±3， ∴点A和点B的横坐标分别可能是3和-3， ∴线段AB的长为3-（-3）=6， 故答案为：B 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点。根据题意令y=0，进而得到x的值，从而得到点A和点B的横坐标，再相减即可得到其长度。 3．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：若抛物线与轴没有交点，说明对应的一元二次方程不存在实数根， 根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程没有实数根时，根的判别式满足， 在该方程中，二次项系数，一次项系数，常数项，代入得不等式：， 解这个不等式可得． 故答案为：A. 【分析】抛物线与x轴没有交点，等价于对应一元二次方程没有实数根，据此结合根的判别式求解即可. 4．抛物线 与y轴交点的坐标是(　　) A．(-3， 0) B．(1， 0) C．(0， - 3) D．(0， 3) 【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：在y=x2+2x-3中，当x=0时，y=x2+2x-3=-3， ∴抛物线y=x2+2x-3与y轴的交点坐标为(0，-3)， 故选：C. 【分析】根据抛物线与y轴的交点坐标的横坐标为0进行求解即可. 5．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故答案为：D． 【分析】一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，根据二次函数和x轴的交点坐标，直接得到对应一元二次方程的根. 6．二次函数的图象与轴有　 　个交点． 【答案】2 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：令，则， 解得，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， ∴二次函数的图象与轴有2个交点． 故答案为：2． 【分析】根据二次函数图象与x轴的交点个数即为对应方程的解的个数即可求出答案. 7．二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=　 　． 【答案】5 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：根据抛物线解析式y=x2﹣6x+n得：抛物线的对称轴为直线x=3， 抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）； ∴关于x的一元二次方程的一个解为x1=1，则另一个解x2=5． 故答案为：5 【分析】 根据韦达定理，两个根的和等于-，已知一个根为x1=1，代入根的和公式求解另一个根即可. 8．关于x的二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为　 　． 【答案】4 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴且， 解得：； 故答案为：4． 【分析】根据二次函数图象与x轴有且只有一个交点，则对应方程有一个解，则判别式，解方程即可求出答案. 9．若抛物线y=-x2+bx+c的图象如图所示，则方程-x2+bx+c=0的解是　 　. 【答案】x1=-1，x2=2 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线 y=-x2+bx+c 与x轴交于（-1，0），（2，0）两点，因此方程 -x2+bx+c=0 的解为x1=-1，x2=2。 故答案为： x1=-1，x2=2. 【分析】一元二次方程 -x2+bx+c=0 的解可以理解为二次函数 y=-x2+bx+c当函数值为0时的自变量的值，观察图形可知当自变量等于-1和2时，函数值为0. 10．已知：抛物线. 经过(2，-3). （1）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标 （2）X取何值时，Y随X增大而减小 【答案】（1）解：将点(2，-3)代入二次函数得4-4a-3a=-3，得a=1， 故二次函数表达式为y=，令y=0得，解得x1=-1，x2=3， 二次函数与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0) 令x=0，得y=-3，故抛物线与y轴的交点为(0，-3)； （2）解：二次函数y=开口向上，且对称轴为直线x=1，故当x<1(x≤1)时，y随x的增大而减小. 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】(1)将点(2，-3)代入抛物线解析式可得a的值，由此得抛物线解析式，分别令y=0和x=0求出x、y的值，由此可得抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (2)由二次函数解析式知开口方向与对称轴，由此知当x<1时，y随x的增大而减小. 11．已知：关于x的二次函数， （1）当时，求图象与轴的交点坐标； （2）若图象与轴有一个交点，求的值． 【答案】（1）解：当时， 函数解析式为， 当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为和； （2）解：∵图象与轴有一个交点， ∴且， 即且， 解得：． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】 （1）由题意，把代入可得函数解析式为，根据抛物线与x轴相交，则，可得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可； （2）根据 图象与轴有一个交点可得且，于是可得关于k的方程和不等式，解之即可求解． （1）解：当时，函数解析式为， 当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为和； （2）解：∵图象与轴有一个交点， ∴且， 即且， 解得：． 二、巩固提升 12．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论： 甲：； 乙：； 丙：抛物线的顶点坐标为； 丁：当时，随增大而增大． 其中结论正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：如图， 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标， 与轴的另一个交点坐标为， 当时，，当时，， ，，甲、乙结论错误. 对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 当时，， 抛物线的顶点坐标为，丙结论正确. 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而增大，丁结论错误． 故答案为：C. 【分析】根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标，得到另一个交点坐标，观察图象发现，当时，，当时，，即可得，，可判断甲、乙， 根据对称轴得，即可得，根据抛物线经过点，得，当时，，即可得抛物线的顶点坐标为，丙结论正确，根据抛物线的增减性，可判断丁结论． 13．已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【答案】A 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：∵ ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为 ∵抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上 ∴当时，点在抛物线x轴上方的图象上，此时，A正确，符合题意； 当时，或，错误，不符合题意； 当时，k2+1取得最小值，此时抛物线的顶点到达最低点，C错误，不符合题意； 该抛物线与有交点，D错误，不符合题意； 故答案为：A 【分析】将抛物线解析式转换为顶点式可得抛物线的开口向下，顶点坐标为，再根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案. 14．已知二次函数. 有下列结论： ①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c） ②二次函数的顶点坐标是（，c－） ③若二次函数图象经过A（-1，y1）， B（3，y2） ī两点，且. 则b＞-2 ④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m-n的值与c无关. 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：对①：令，得 ，∴二次函数图象与 轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入 坐标得 ， ，∵， ∴ ，化简得 ，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间 分情况讨论： 若 ，即 ，二次函数 随 的增大而增大， ，不含 ； 若 ，即 ，二次函数 随 的增大而减小， ，不含 ； 若 ，即 ，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得 仍消去 ，不含 ； 因此 的值与 无关，④正确． 综上，正确结论共个． 故答案为：B. 【分析】令x=0，求出y的值得到与y轴的交点坐标判断①；配方为顶点式得到顶点坐标判断②；把点A和B 的坐标代入求出函数值，根据得到不等式，求出b的取值范围即可判断③；根据对称轴，，三种情况，根据二次函数图象的性质求出1≤x≤2时的最大值和最小值，然后求出m-n的值即可判断④ 解答即可． 15．抛物线 与x轴交于A，B两点，且 则m的值为　 　. 【答案】1或3 【知识点】完全平方公式及运用；二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 故答案为：1或3. 【分析】设，，即可得到是方程的两个根，利用根与系数的关系得到， ，然后根据完全平方公式的变形，利用列方程求出m的值解答即可． 16．已知二次函数的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B，C构成的的面积是　 　． 【答案】1 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积 【解析】【解答】解：二次函数的图象关于轴对称， 对称轴为：， ， ， 顶点坐标为， 令，得，解得， 与轴的两个交点、坐标为， 的面积为． 故答案为：1． 【分析】本题以二次函数图象关于y轴对称为背景，考查了二次函数的对称轴公式、顶点坐标、与x轴交点坐标的求法及三角形面积的计算。根据对称轴公式求出m的值，得到抛物线解析式，进而求出顶点坐标及与x轴交点坐标，再利用三角形面积公式计算。 17．若函数y=mx2 +（m+2）x+ m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为　 　． 【答案】0，2，-2 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题 【解析】【解答】解：①当m=0时，函数为y=2x+1，此时图象与x轴有一个交点； ②当m≠0时，函数y=mx + (m+2)x+ m+1的图象是抛物线， 若抛物线的图象与x轴只有一个交点，则方程mx + (m+2)x+ m+1=0只有一个根， 即△=0，可得△=(m+2) -4m( m+1)=0， 解得 =2， =-2. 综上可得m的值为0，2，-2. 【分析】分类讨论，利用根的判别式求解即可。 18．已知二次函数 （1）随着a 的取值变化，该函数图象除经过定点(0，-1)，经过的另一个定点的坐标为　 　； （2）该二次函数图象与x 轴有交点，过该二次函数图象的顶点与定点(0，-1)作直线，该直线与x轴交于点P(m，0)，且|m|≥1，则a 的取值范围为　 　. 【答案】（1）(-2，-1) （2）0<a≤1或a=-1 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解：(1)二次函数的对称轴为直线 ∵二次函数图象过定点(0，-1)， 对称轴为x=-1， ∴二次函数的图象过定点(-2，-1). 故答案为：(-2，-1). (2)∵抛物线与x轴有交点， ∴△= 解得a>0或 ∴抛物线的顶点为(-1，-a-1). 设过抛物线的顶点与定点(0，-1)的直线解析式为y=kx-1， 代入顶点(-1，-a-1)得，-a-1=-k-1， ∴k=a， ∴过抛物线顶点与定点(0，-1)的直线解析式为y=ax-1. 令y=0，解得 则点P的坐标为即 ①当a<0时，抛物线开口向下，当抛物线顶点与点P重合时，m=-1，此时|m|=1，由解得a=-1； ②当a>0时，抛物线开口向上，抛物线始终与x轴有交点， 由得解得0<a≤1. 综上，a的取值范围为a=-1或0<a≤1. 故答案为：a=-1或0<a≤1 . 【分析】（1）求出二次函数的对称轴为直线x=-1，然后根据对称性得到另一个定点的坐标解答即可； （2）根据抛物线与x轴有交点得到a>0或求出过抛物线的顶点与定点(0，-1)的直线解析式为y=kx-1，求出直线与x轴的交点坐标，分为a<0和a>0两种情况，得到关于a的不等式求出a的取值范围即可. 19． 在平面直角坐标系中，抛物线(m为常数)． （1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点． （2）若抛物线经过点(2，-4)，求抛物线的顶点坐标． （3）若点 在抛物线上，且当 时，始终满足 求m的取值范围． 【答案】（1）证明：由题意得： 0 所以无论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点． （2）解：把(2，-4)代入解析式， 得： 整理得： 解得： 所以m =1时抛物线的解析式为： ，则顶点坐标为： (1，-5)； 所以m =3时抛物线的解析式为： ， 则顶点坐标为： (3，-5)； （3）解： ， 由题意当t≥1时， 恒成立， 即t+1-m≥0， m≤t+1对任意t≥1恒成立， ∴ m≤2． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（1）令，得到 ，计算判别式得到，从而判断抛物线与x轴交点的坐标即可； （2）把代入抛物线的解析式求出m的值，然后排放为顶点式求出顶点坐标即可； （3）讲两点坐标代入函数解析式求出y1和y2，然后根据 得到<0，即可得到t+1-m≥0，再根据 求出m的取值范围即可． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． （3）当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 【答案】（1）解：当时，抛物线为. 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向下平移个单位后为， 令，即， ， 解得或， 抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， 的最大值与最小值之差为， ， 化简得：，即， ， ， ， . 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数图象的平移变换 【解析】【分析】（1）将a=-1代入抛物线y=ax2-4ax+3a+1，再将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的平移的特征“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式为y=ax2-4ax+3a，令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求得抛物线与x轴的交点坐标； （3）将抛物线y=ax2-4ax+3a+1化为顶点式，得到对称轴直线为x=2，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为列式计算即可． （1）解：当时，抛物线为. 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向下平移个单位后为， 令，即， ， 解得或， 抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， 的最大值与最小值之差为， ， 化简得：，即， ， ， ， . 三、能力应用 21． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且 （1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。 （2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。 （3）若对于 都有 求m的取值范围。 【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0， 解得 m=1或m=-3(舍)， ∴， 令y=0，则， 解得x=-1或x=3， 该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0) （2）解：由可知：对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得：， 解得：或（舍）， 所以； （3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大， ∵， ∴，在直线左侧， 若对于，都有， 则， 因为，， 所以， 解得：． 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标； （2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可； （3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可． 22．定义：把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y=4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y=3x2+4x+5.已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E. （1）直接写出抛物线C2的表达式　 　； （2）若点E的坐标为（0，-1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a-4≤x≤a-2时的最大值为M，最小值为m，且M-m=2a，请你求出a的值. 【答案】（1）y=ax2+4ax+4a-3 （2）解：当x=0时，y=4a-3 ∴E(0，4a-3) ∵E的坐标为（0，-1） ∴4a-3=-1 解得： ∴y=x2+2x-1 （3）解： 当x=a-2时，y=a3-3，当x=a-4时，y=a(a-2)2-3 当a-4≥-2时，即a≥2 ∴M=a(a-2)2-3，m=a3-3 ∴a(a-2)2-3-a3+3=2a 解得：a=2或a=3 当a-2≤-2时，即a≤0 ∴M=a3-3，m=a(a-2)2-3 ∴a3-3-a(a-2)2+3=2a 解得：(舍去) 当a-4<-2<a-3时，即1<a<2 ∴M=a(a-2)2-3，m=-3 ∴a(a-2)2-3+3=2a 解得：(舍去)或a=2- 综上所述，a=2或3或2- 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：（1）∵抛物线的“孪生抛物线”为C2， ∴抛物线C2的表达式为y=ax2+4ax+4a-3 故答案为：y=ax2+4ax+4a-3 【分析】（1）根据孪生抛物线的定义即可求出答案. （2）根据y轴上点的坐标特征可得E(0，4a-3)，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （3）分情况讨论：当a-4≥-2时，当a-2≤-2时，当a-4<-2<a-3时，求出M，m，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 二次函数与一元二次方程的关系（2）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．二次函数 的图象与x轴的交点个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 2．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 3．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 与y轴交点的坐标是(　　) A．(-3， 0) B．(1， 0) C．(0， - 3) D．(0， 3) 5．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 6．二次函数的图象与轴有　 　个交点． 7．二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=　 　． 8．关于x的二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为　 　． 9．若抛物线y=-x2+bx+c的图象如图所示，则方程-x2+bx+c=0的解是　 　. 10．已知：抛物线. 经过(2，-3). （1）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标 （2）X取何值时，Y随X增大而减小 11．已知：关于x的二次函数， （1）当时，求图象与轴的交点坐标； （2）若图象与轴有一个交点，求的值． 二、巩固提升 12．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论： 甲：； 乙：； 丙：抛物线的顶点坐标为； 丁：当时，随增大而增大． 其中结论正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 13．已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 14．已知二次函数. 有下列结论： ①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c） ②二次函数的顶点坐标是（，c－） ③若二次函数图象经过A（-1，y1）， B（3，y2） ī两点，且. 则b＞-2 ④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m-n的值与c无关. 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．抛物线 与x轴交于A，B两点，且 则m的值为　 　. 16．已知二次函数的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B，C构成的的面积是　 　． 17．若函数y=mx2 +（m+2）x+ m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为　 　． 18．已知二次函数 （1）随着a 的取值变化，该函数图象除经过定点(0，-1)，经过的另一个定点的坐标为　 　； （2）该二次函数图象与x 轴有交点，过该二次函数图象的顶点与定点(0，-1)作直线，该直线与x轴交于点P(m，0)，且|m|≥1，则a 的取值范围为　 　. 19． 在平面直角坐标系中，抛物线(m为常数)． （1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点． （2）若抛物线经过点(2，-4)，求抛物线的顶点坐标． （3）若点 在抛物线上，且当 时，始终满足 求m的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． （3）当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 三、能力应用 21． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且 （1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。 （2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。 （3）若对于 都有 求m的取值范围。 22．定义：把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y=4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y=3x2+4x+5.已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E. （1）直接写出抛物线C2的表达式　 　； （2）若点E的坐标为（0，-1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a-4≤x≤a-2时的最大值为M，最小值为m，且M-m=2a，请你求出a的值. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：令y=0得 ∵a=1，b=-2，c=3 ∴ ∴ 二次函数 的图象与x轴没有交点。 故答案为：A . 【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数可通过判别式△=b2-4ac来判断：当△>0时，函数图象与x轴有两个交点；当△=0时，函数图象与x轴有一个交点；当△<0时，函数图象与x轴没有交点。 2．【答案】B 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：令y=0，得， ∴x=±3， ∴点A和点B的横坐标分别可能是3和-3， ∴线段AB的长为3-（-3）=6， 故答案为：B 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点。根据题意令y=0，进而得到x的值，从而得到点A和点B的横坐标，再相减即可得到其长度。 3．【答案】A 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：若抛物线与轴没有交点，说明对应的一元二次方程不存在实数根， 根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程没有实数根时，根的判别式满足， 在该方程中，二次项系数，一次项系数，常数项，代入得不等式：， 解这个不等式可得． 故答案为：A. 【分析】抛物线与x轴没有交点，等价于对应一元二次方程没有实数根，据此结合根的判别式求解即可. 4．【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：在y=x2+2x-3中，当x=0时，y=x2+2x-3=-3， ∴抛物线y=x2+2x-3与y轴的交点坐标为(0，-3)， 故选：C. 【分析】根据抛物线与y轴的交点坐标的横坐标为0进行求解即可. 5．【答案】D 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故答案为：D． 【分析】一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，根据二次函数和x轴的交点坐标，直接得到对应一元二次方程的根. 6．【答案】2 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：令，则， 解得，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， ∴二次函数的图象与轴有2个交点． 故答案为：2． 【分析】根据二次函数图象与x轴的交点个数即为对应方程的解的个数即可求出答案. 7．【答案】5 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：根据抛物线解析式y=x2﹣6x+n得：抛物线的对称轴为直线x=3， 抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）； ∴关于x的一元二次方程的一个解为x1=1，则另一个解x2=5． 故答案为：5 【分析】 根据韦达定理，两个根的和等于-，已知一个根为x1=1，代入根的和公式求解另一个根即可. 8．【答案】4 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴且， 解得：； 故答案为：4． 【分析】根据二次函数图象与x轴有且只有一个交点，则对应方程有一个解，则判别式，解方程即可求出答案. 9．【答案】x1=-1，x2=2 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线 y=-x2+bx+c 与x轴交于（-1，0），（2，0）两点，因此方程 -x2+bx+c=0 的解为x1=-1，x2=2。 故答案为： x1=-1，x2=2. 【分析】一元二次方程 -x2+bx+c=0 的解可以理解为二次函数 y=-x2+bx+c当函数值为0时的自变量的值，观察图形可知当自变量等于-1和2时，函数值为0. 10．【答案】（1）解：将点(2，-3)代入二次函数得4-4a-3a=-3，得a=1， 故二次函数表达式为y=，令y=0得，解得x1=-1，x2=3， 二次函数与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0) 令x=0，得y=-3，故抛物线与y轴的交点为(0，-3)； （2）解：二次函数y=开口向上，且对称轴为直线x=1，故当x<1(x≤1)时，y随x的增大而减小. 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】(1)将点(2，-3)代入抛物线解析式可得a的值，由此得抛物线解析式，分别令y=0和x=0求出x、y的值，由此可得抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (2)由二次函数解析式知开口方向与对称轴，由此知当x<1时，y随x的增大而减小. 11．【答案】（1）解：当时， 函数解析式为， 当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为和； （2）解：∵图象与轴有一个交点， ∴且， 即且， 解得：． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】 （1）由题意，把代入可得函数解析式为，根据抛物线与x轴相交，则，可得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可； （2）根据 图象与轴有一个交点可得且，于是可得关于k的方程和不等式，解之即可求解． （1）解：当时，函数解析式为， 当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为和； （2）解：∵图象与轴有一个交点， ∴且， 即且， 解得：． 12．【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：如图， 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标， 与轴的另一个交点坐标为， 当时，，当时，， ，，甲、乙结论错误. 对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 当时，， 抛物线的顶点坐标为，丙结论正确. 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而增大，丁结论错误． 故答案为：C. 【分析】根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标，得到另一个交点坐标，观察图象发现，当时，，当时，，即可得，，可判断甲、乙， 根据对称轴得，即可得，根据抛物线经过点，得，当时，，即可得抛物线的顶点坐标为，丙结论正确，根据抛物线的增减性，可判断丁结论． 13．【答案】A 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：∵ ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为 ∵抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上 ∴当时，点在抛物线x轴上方的图象上，此时，A正确，符合题意； 当时，或，错误，不符合题意； 当时，k2+1取得最小值，此时抛物线的顶点到达最低点，C错误，不符合题意； 该抛物线与有交点，D错误，不符合题意； 故答案为：A 【分析】将抛物线解析式转换为顶点式可得抛物线的开口向下，顶点坐标为，再根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案. 14．【答案】B 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：对①：令，得 ，∴二次函数图象与 轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入 坐标得 ， ，∵， ∴ ，化简得 ，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间 分情况讨论： 若 ，即 ，二次函数 随 的增大而增大， ，不含 ； 若 ，即 ，二次函数 随 的增大而减小， ，不含 ； 若 ，即 ，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得 仍消去 ，不含 ； 因此 的值与 无关，④正确． 综上，正确结论共个． 故答案为：B. 【分析】令x=0，求出y的值得到与y轴的交点坐标判断①；配方为顶点式得到顶点坐标判断②；把点A和B 的坐标代入求出函数值，根据得到不等式，求出b的取值范围即可判断③；根据对称轴，，三种情况，根据二次函数图象的性质求出1≤x≤2时的最大值和最小值，然后求出m-n的值即可判断④ 解答即可． 15．【答案】1或3 【知识点】完全平方公式及运用；二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 故答案为：1或3. 【分析】设，，即可得到是方程的两个根，利用根与系数的关系得到， ，然后根据完全平方公式的变形，利用列方程求出m的值解答即可． 16．【答案】1 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积 【解析】【解答】解：二次函数的图象关于轴对称， 对称轴为：， ， ， 顶点坐标为， 令，得，解得， 与轴的两个交点、坐标为， 的面积为． 故答案为：1． 【分析】本题以二次函数图象关于y轴对称为背景，考查了二次函数的对称轴公式、顶点坐标、与x轴交点坐标的求法及三角形面积的计算。根据对称轴公式求出m的值，得到抛物线解析式，进而求出顶点坐标及与x轴交点坐标，再利用三角形面积公式计算。 17．【答案】0，2，-2 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题 【解析】【解答】解：①当m=0时，函数为y=2x+1，此时图象与x轴有一个交点； ②当m≠0时，函数y=mx + (m+2)x+ m+1的图象是抛物线， 若抛物线的图象与x轴只有一个交点，则方程mx + (m+2)x+ m+1=0只有一个根， 即△=0，可得△=(m+2) -4m( m+1)=0， 解得 =2， =-2. 综上可得m的值为0，2，-2. 【分析】分类讨论，利用根的判别式求解即可。 18．【答案】（1）(-2，-1) （2）0<a≤1或a=-1 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解：(1)二次函数的对称轴为直线 ∵二次函数图象过定点(0，-1)， 对称轴为x=-1， ∴二次函数的图象过定点(-2，-1). 故答案为：(-2，-1). (2)∵抛物线与x轴有交点， ∴△= 解得a>0或 ∴抛物线的顶点为(-1，-a-1). 设过抛物线的顶点与定点(0，-1)的直线解析式为y=kx-1， 代入顶点(-1，-a-1)得，-a-1=-k-1， ∴k=a， ∴过抛物线顶点与定点(0，-1)的直线解析式为y=ax-1. 令y=0，解得 则点P的坐标为即 ①当a<0时，抛物线开口向下，当抛物线顶点与点P重合时，m=-1，此时|m|=1，由解得a=-1； ②当a>0时，抛物线开口向上，抛物线始终与x轴有交点， 由得解得0<a≤1. 综上，a的取值范围为a=-1或0<a≤1. 故答案为：a=-1或0<a≤1 . 【分析】（1）求出二次函数的对称轴为直线x=-1，然后根据对称性得到另一个定点的坐标解答即可； （2）根据抛物线与x轴有交点得到a>0或求出过抛物线的顶点与定点(0，-1)的直线解析式为y=kx-1，求出直线与x轴的交点坐标，分为a<0和a>0两种情况，得到关于a的不等式求出a的取值范围即可. 19．【答案】（1）证明：由题意得： 0 所以无论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点． （2）解：把(2，-4)代入解析式， 得： 整理得： 解得： 所以m =1时抛物线的解析式为： ，则顶点坐标为： (1，-5)； 所以m =3时抛物线的解析式为： ， 则顶点坐标为： (3，-5)； （3）解： ， 由题意当t≥1时， 恒成立， 即t+1-m≥0， m≤t+1对任意t≥1恒成立， ∴ m≤2． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（1）令，得到 ，计算判别式得到，从而判断抛物线与x轴交点的坐标即可； （2）把代入抛物线的解析式求出m的值，然后排放为顶点式求出顶点坐标即可； （3）讲两点坐标代入函数解析式求出y1和y2，然后根据 得到<0，即可得到t+1-m≥0，再根据 求出m的取值范围即可． 20．【答案】（1）解：当时，抛物线为. 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向下平移个单位后为， 令，即， ， 解得或， 抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， 的最大值与最小值之差为， ， 化简得：，即， ， ， ， . 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数图象的平移变换 【解析】【分析】（1）将a=-1代入抛物线y=ax2-4ax+3a+1，再将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的平移的特征“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式为y=ax2-4ax+3a，令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求得抛物线与x轴的交点坐标； （3）将抛物线y=ax2-4ax+3a+1化为顶点式，得到对称轴直线为x=2，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为列式计算即可． （1）解：当时，抛物线为. 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向下平移个单位后为， 令，即， ， 解得或， 抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， 的最大值与最小值之差为， ， 化简得：，即， ， ， ， . 21．【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0， 解得 m=1或m=-3(舍)， ∴， 令y=0，则， 解得x=-1或x=3， 该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0) （2）解：由可知：对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得：， 解得：或（舍）， 所以； （3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大， ∵， ∴，在直线左侧， 若对于，都有， 则， 因为，， 所以， 解得：． 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标； （2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可； （3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可． 22．【答案】（1）y=ax2+4ax+4a-3 （2）解：当x=0时，y=4a-3 ∴E(0，4a-3) ∵E的坐标为（0，-1） ∴4a-3=-1 解得： ∴y=x2+2x-1 （3）解： 当x=a-2时，y=a3-3，当x=a-4时，y=a(a-2)2-3 当a-4≥-2时，即a≥2 ∴M=a(a-2)2-3，m=a3-3 ∴a(a-2)2-3-a3+3=2a 解得：a=2或a=3 当a-2≤-2时，即a≤0 ∴M=a3-3，m=a(a-2)2-3 ∴a3-3-a(a-2)2+3=2a 解得：(舍去) 当a-4<-2<a-3时，即1<a<2 ∴M=a(a-2)2-3，m=-3 ∴a(a-2)2-3+3=2a 解得：(舍去)或a=2- 综上所述，a=2或3或2- 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：（1）∵抛物线的“孪生抛物线”为C2， ∴抛物线C2的表达式为y=ax2+4ax+4a-3 故答案为：y=ax2+4ax+4a-3 【分析】（1）根据孪生抛物线的定义即可求出答案. （2）根据y轴上点的坐标特征可得E(0，4a-3)，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （3）分情况讨论：当a-4≥-2时，当a-2≤-2时，当a-4<-2<a-3时，求出M，m，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $