1.5 二次函数的应用(2) 同步训练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

数学 · 九年级上册 1.5 二次函数的应用(2) 【重点提示】与二次函数有关的实际问题有以下几类：①面积问题；②销售问题；③增长率问题；④利用勾股定理求距离等。列函数表达式时要注意正确应用等量关系。 ▍基础过关集训 1. 烟花厂为春节特别设计了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 (m)关于飞行时间 (s)的函数表达式为 。若这种礼炮在上升到最高点时引爆，则从点火升空到引爆，需要的时间为（　）。 A. 3 s B. 4 s C. 5 s D. 6 s 2. 如图所示，假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m，则所围成矩形 的最大面积是（　）。 A. 60 m B. 63 m C. 64 m D. 66 m 3. 如图所示， 是直角三角形，， cm， cm。点 从点 出发，沿 方向以 2 cm/s 的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 方向以 1 cm/s 的速度向点 运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也停止运动，则 的最大面积是（　）。 A. 4 cm B. 8 cm C. 16 cm D. 24 cm 4. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有的墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门。已知计划使用的材料可建造的墙体(不包括门)的总长度为 27 m，则能建成的饲养室的面积最大为＿＿＿＿ m。 5. 用长度一定的不锈钢材料设计、制作外观为矩形的框架(如图 1，2 所示的一种)。设竖档 (m)，请根据图案解答下列问题(题中的不锈钢材料的总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与 ， 平行)： (1) 在图 1 中，如果不锈钢材料的总长度为 12 m，当 为多少时，矩形框架 的面积为 3 m？ (2) 在图 2 中，如果不锈钢材料的总长度为 12 m，当 为多少时，矩形框架 的面积 最大？最大面积是多少？ 6. ， 两个水管同时开始向一个空容器内注水。如图所示为 ， 两个水管各自的注水量 (m)与注水时间 (h)之间的函数图象，已知 水管的注水速度是 1 m/h，1 h 后， 水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是 ，且注水 9 h，容器刚好注满。请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1) 写出 ， 的注水量 (m)与注水时间 (h)之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围。 (2) 求容器的容量。 (3) 根据图象，求：当 时， 的取值范围。 ▍进阶能力拓展 7. 一同学推铅球，铅球的高度 (m)关于时间 (s)的函数表达式为 。若铅球在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在（　）时铅球最高。 A. 第 7 秒 B. 第 8 秒 C. 第 10.5 秒 D. 第 21 秒 8. 某公园草坪的防护栏由 100 段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏下每隔 0.4 m 需要加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图所示)，则该条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为＿＿＿＿。 9. 如图所示，线段 的长为 2， 为线段 上的一个动点，分别以 ， 为斜边在 的同侧作两个等腰直角三角形： 和 。 长的最小值为＿＿＿＿。 10. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园。如图所示，图中点的横坐标 表示科技馆从 8:30 开门后经过的时间(min)，纵坐标 表示到达科技馆的总人数。图中曲线对应的函数表达式为 10:00 之后来的游客较少，可忽略不计。 (1) 请写出图中曲线对应的函数表达式。 (2) 为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不得超过 684 人，后来的人需在馆外休息区等待。从 10:30 开始到 12:00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4 人，直到馆内人数减少到 624 人时，馆外等待的游客方可全部进入。请问：馆外游客最长等待了多少分钟？ 11. 工人师傅用一块长 10 dm、宽 6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，现需要将它的四角各裁掉一个正方形(厚度不计)。 (1) 在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；当长方体的底面积为 12 dm 时，裁掉的正方形的边长为多少？ (2) 若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 5 倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最低？最低为多少？ ▍中考真题实训 12. 【衢州】某农场拟建三间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长 50 m)，中间用两道墙隔开(如图所示)。已知计划使用的建筑材料可建造的墙的总长度为 48 m，则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积的最大值为＿＿＿＿ m。 13. 【连云港】某快餐店销售 ， 两种快餐，每份的利润分别为 12 元、8 元，每天卖出的份数分别为 40 份、80 份。该店为了增加利润，准备降低每份 种快餐的利润，同时提高每份 种快餐的利润。售卖时发现，在一定范围内，每份 种快餐的利润每降 1 元可多卖 2 份，每份 种快餐利润每提高 1 元就少卖 2 份。如果这两种快餐每天销售的总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是＿＿＿＿元。 ▍综合应用探究 14. 如图 1 所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为 60 m、宽 40 m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道的宽为 (m)。 (1) 用含 的代数式表示花圃的面积。 (2) 如果通道所占的面积是整个长方形空地面积的 ，求此时通道的宽。 (3) 已知某园林公司修建通道、花圃的造价 (元)，(元)与修建面积 (m)之间的函数关系如图 2 所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于 2 m 且不超过 10 m，那么通道的宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低？最低为多少元？ 参考答案 1. B 2. C 3. C 4. 75 5. (1) 由题意得 的长为 m，∴，即 ，解得 ，。∴当 或 3 时，矩形框架 的面积为 3 m。 (2) 由题意得 ，∴。∴当 时，矩形框架 的面积最大，最大面积是 3 m。 6. (1) 。 (2) 容器的总容量是： 时，(m)。 (3) 当 时，解得 ，，利用图象可得，当 时， 的取值范围是 或 。 7. C 8. 160 m 9. 1 10. (1) 由图象可知 ，解得 ，由 ，，解得 ，∴ (2) 由题意得 ，解得 或 (舍去)。∴(min)。∵(min)，∴馆外游客最长等待了 57 min。 11. (1) 如图所示。 设裁掉的正方形的边长为 (dm)。由题意得 ，即 ，解得 或 (舍去)。∴裁掉的正方形的边长为 2 dm，底面积为 12 dm。 (2) ∵长不大于宽的 5 倍，∴，解得 。 设总费用为 元，由题意可知 ， ∵对称轴为直线 ，开口向上，∴当 时， 随 的增大而减小。∴当 时， 有最小值，最小值为 50 元。∴当裁掉的边长为 2.5 dm 的正方形时，总费用最低，最低费用为 50 元。 12. 144 13. 1264 解析 设每份 种快餐降价 元，则每天卖出 份，每份 种快餐提高 元，则每天卖出 份。由题意可得 ，解得 。∴总利润 。∵，∴当 时， 取得最大值 1264，即两种快餐一天的总利润最多为 1264 元。 14. (1) 花圃的面积为 m。 (2) 由题意得 ，解得 ，(舍去)。∴通道的宽为 5 m。 (3) 设修建的道路和花圃的总造价为 (元)。设 的函数表达式为 ，把点 代入，得 ，解得 ，∴。 当 时，设 ，把点 代入，得 ，解得 ；当 时，设 ，把点 ， 代入，得 解得 ∴ 花圃的面积 ；通道的面积 ，∴通道造价 ()。当 时， 花圃的面积 ，∴。∴当 时， 有最小值，最小值为 105920。∴当通道的宽为 2 m 时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低为 105920 元。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $