1.5 二次函数的应用【分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“二次函数的应用”为核心，通过“前置梳理-基础达标-能力提升-素养探究-中考链接”五级分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，强化模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|二次函数应用步骤、最值条件等核心概念|填空形式夯实基础，培养抽象能力| |基础达标|几何面积、销售利润等基础模型|题型聚焦单一考点，如矩形面积最值，强化运算能力| |能力提升|限定范围最值、复杂利润问题|结合实际约束条件，提升逻辑推理能力| |素养探究|动点几何面积探究|动态情境中建立函数关系，发展几何直观与创新意识| |中考链接|中考真题及模拟题|对接中考题型，培养应用意识与问题解决能力|

1.5 二次函数的应用【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】几何图形面积最值基础问题 2 【题型2】销售利润基础应用 3 【题型3】抛物线轨迹基础建模 4 【题型4】实际问题自变量取值范围判断 5 【题型5】利用二次函数模型求解简单实际数值 6 三.能力提升 8 【题型1】限定自变量范围求实际问题最值 8 【题型2】条件复杂的销售利润综合题 9 四.素养探究 11 【题型1】动点背景下几何面积探究 11 五.中考链接 13 六.自我评价 17 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请完成下列填空，梳理二次函数解决实际问题的核心知识与解题步骤： 1. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤：审清题意、____、列二次函数解析式、求解、________、作答。 2. 二次函数 ，当 ，开口向上，函数有最____值；当 ，开口向下，函数有最____值；顶点横坐标为_____，顶点纵坐标为________。 3. 实际问题求最值时，必须考虑________，若顶点的横坐标不在该范围内，则最值在自变量取值范围的________处取得。 4. 销售利润模型：总利润＝________________ × 销售数量。 5. 处理抛物线形实物（拱桥、喷水、抛射）问题，关键是恰当建立________，利用关键点坐标求函数解析式。 二.基础达标 【题型1】几何图形面积最值基础问题 核心考点：围栏、矩形等简单几何情境，列出面积关于边长的二次函数，求最大面积；注意边长大于0的限制条件。 1.（25-26九年级上·山东滨州·期末）实际应用：如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积为多少？ 2.（25-26九年级上·山西阳泉·期中）用长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 4.（25-26九年级上·吉林·期末）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． （1）求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求菜园面积的最大值． 【题型2】销售利润基础应用 核心考点：理解总利润公式，根据题意列出利润的二次函数，求最大利润，基础难度，不设置复杂参数陷阱。 1.（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． （1）写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 2.（2026·甘肃庆阳·一模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3.（25-26九年级上·山东烟台·期末）某种商品每件的进价为元．经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为_____元． 4.（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． （1）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； （2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【题型3】抛物线轨迹基础建模 核心考点：已知简单坐标系与关键点坐标，用待定系数法求抛物线解析式，求解最大高度、水平距离等基础量。 1.（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． （1）求y与x的关系式； （2）球能否越过球网？ 2.（2026·甘肃武威·一模）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 3.（25-26九年级上·上海浦东新·期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 4.（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． （1）求水流的最高点到地面的距离； （2）求左、右两条水流最高点之间的距离． 【题型4】实际问题自变量取值范围判断 核心考点：根据实际情境判断自变量取值范围，会判断顶点横坐标是否在取值范围内。 1.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发， （1）写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围； （2）四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围． 2.（25-26九年级上·福建厦门·周测）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，其中t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是_______． 4.（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为15米，求的取值范围． 【题型5】利用二次函数模型求解简单实际数值 核心考点：已经给出二次函数解析式，代入自变量求目标量，或给定函数值求对应的自变量。 1.（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． （1）写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）当时，求y的函数值． 2.（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 3.（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 4.（25-26九年级上·江西宜春·期末）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（米）弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点． （1）若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式． （2）在一次表演中，已知人梯高米，演员弹跳到最高点处后落到人梯上，为了这次表演成功，一人梯离起跳点A的水平距离是多少米？请说明理由． 三.能力提升 【题型1】限定自变量范围求实际问题最值 核心考点：顶点横坐标不在自变量取值区间内，需要比较区间端点函数值得到实际最大、最小值，高频易错题型。 1.（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：； （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，直接写出销售单价的取值范围． 2.（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 3.（25-26九年级上·全国·课后作业）乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为（单位：）的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积（单位：）随的变化而变化． （1）与之间的函数解析式为________________（写出自变量的取值范围）； （2）当________时，这个三角形的面积最大，最大面积是________． 4.（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为元时，每天可销售件；当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件． （1）销售量与售价有怎样的函数关系？写出的取值范围 （2）售价与销售该纪念品每天获得的利润有怎样的函数关系？当取何值时利润最大并求出最大利润． （3）当每天获得的利润不低于元时，售价的取值范围 【题型2】条件复杂的销售利润综合题 核心考点：涨价、降价带来销量变化，结合售价限制、整数条件，建立利润函数，求解最优方案。 1.（25-26九年级下·重庆开州·开学考试）在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． （1）请求出与的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 2.（25-26九年级下·天津·开学考试）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3.（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 4.（25-26九年级上·云南昭通·期末）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． （1）若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ （2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 四.素养探究 【题型1】动点背景下几何面积探究 核心考点：结合动点运动，建立面积的二次函数，求面积最值，同时分析动点运动范围对自变量的约束。 1.（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：______，______；（用含的代数式表示） （2）求出当为何值时，？ （3）设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． （4）在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 2.（2025·贵州铜仁·二模）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小． 4.（25-26九年级上·新疆和田·期中）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动． （1）直接写出抛物线的解析式： （2）求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？ 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 5．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 6．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 三、解答题 7．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． （1）当投掷的距离为时，求的值； （2）当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； （3）当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 8．（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 9．（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 二次函数的应用【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】几何图形面积最值基础问题 2 【题型2】销售利润基础应用 5 【题型3】抛物线轨迹基础建模 9 【题型4】实际问题自变量取值范围判断 13 【题型5】利用二次函数模型求解简单实际数值 17 三.能力提升 20 【题型1】限定自变量范围求实际问题最值 20 【题型2】条件复杂的销售利润综合题 26 四.素养探究 33 【题型1】动点背景下几何面积探究 33 五.中考链接 40 六.自我评价 55 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请完成下列填空，梳理二次函数解决实际问题的核心知识与解题步骤： 1. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤：审清题意、____、列二次函数解析式、求解、________、作答。 2. 二次函数 ，当 ，开口向上，函数有最____值；当 ，开口向下，函数有最____值；顶点横坐标为_____，顶点纵坐标为________。 3. 实际问题求最值时，必须考虑________，若顶点的横坐标不在该范围内，则最值在自变量取值范围的________处取得。 4. 销售利润模型：总利润＝________________ × 销售数量。 5. 处理抛物线形实物（拱桥、喷水、抛射）问题，关键是恰当建立________，利用关键点坐标求函数解析式。 【参考答案】 1. 设变量；检验结果是否符合实际意义 2. 小；大；； 3. 自变量的取值范围；端点 4. 单件利润（单件售价‑单件进价） 5. 平面直角坐标系 二.基础达标 【题型1】几何图形面积最值基础问题 核心考点：围栏、矩形等简单几何情境，列出面积关于边长的二次函数，求最大面积；注意边长大于0的限制条件。 1.（25-26九年级上·山东滨州·期末）实际应用：如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积为多少？ 【答案】羊羔饲养室面积最大为45平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设垂直于墙的一边长为米，则平行墙的一边为米，先求出x的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 解：设垂直于墙的一边长为米，则平行墙的一边为米， 根据题意，得：， 解得：． 由题意得， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，， 该羊羔饲养室面积最大为45平方米． 2.（25-26九年级上·山西阳泉·期中）用长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设窗框的较长一边为，窗户的面积为，则较短一边（宽）为，据此得到窗户透光面积的表达式，根据二次函数的性质，求解最大值即可． 解：设窗框的较长一边为，窗户的面积为， 则较短一边（宽）为， 根据题意得，， ∵， ∴当，即时，y有最大值，最大值为6， ∴窗户的最大透光面积为 故选：A． 3.（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 【答案】/ 【分析】设围成矩形的一边长，根据周长得到邻边长，列出面积关于边长的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可． 解：设围成矩形的一边长为米，则该矩形邻边长为米，其中， 因此矩形面积为， 因为二次项系数， 所以当时，S取得最大值， 所以所围成的最大面积为平方米． 4.（25-26九年级上·吉林·期末）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． （1）求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求菜园面积的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意列不等式求出的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可． （1）解：根据题意得， 解得， ， 即； （2）由（1）知，， 当时，有最大值，最大值是． 【题型2】销售利润基础应用 核心考点：理解总利润公式，根据题意列出利润的二次函数，求最大利润，基础难度，不设置复杂参数陷阱。 1.（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． （1）写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． （1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 2.（2026·甘肃庆阳·一模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 解：∵，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入解析式得 即一周可获得的最大利润是1550元． 3.（25-26九年级上·山东烟台·期末）某种商品每件的进价为元．经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为_____元． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．正确得出利润关于的关系式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设利润为元，根据利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价得出关于的关系式，再根据二次函数的性质求最大值即可得答案． 解：设利润为元， ∵商品每件的进价为元，以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件， ∴， ∵， ∴时，有最大值， ∴要使利润最大，每件的售价应为元． 故答案为： 4.（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． （1）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； （2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【答案】（1）50元或60元；（2）当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及一元二次函数的最值，解决本题的关键是根据题意建立等式 （1）设每个售价为元，表示出日均销售量计算即可； （2）设日均利润为元，将二次函数配方为顶点式求解最大值即可． （1）解：设每个售价为元， 根据题意可得：， 整理得， 解得：，， 答：当每个售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元； （2）解：设日均利润为元， 则 ， ∵， 当时，取最大值，最大值为2250， 答：当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元． 【题型3】抛物线轨迹基础建模 核心考点：已知简单坐标系与关键点坐标，用待定系数法求抛物线解析式，求解最大高度、水平距离等基础量。 1.（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． （1）求y与x的关系式； （2）球能否越过球网？ 【答案】（1）；（2）球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． （1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； （2）∵当时，， ∴球能越过球网． 2.（2026·甘肃武威·一模）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 3.（25-26九年级上·上海浦东新·期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，由题意可知水珠落地时高度，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 4.（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． （1）求水流的最高点到地面的距离； （2）求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】（1）水流的最高点到地面的距离为10米；（2）左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． （1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米； （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米． 【题型4】实际问题自变量取值范围判断 核心考点：根据实际情境判断自变量取值范围，会判断顶点横坐标是否在取值范围内。 1.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发， （1）写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围； （2）四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围． 【答案】（1）；（2）四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， 【分析】（1）根据题意，用表示出线段、，求解即可； （2）四边形的面积为减去的面积，即可求解． （1）解：∵在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动， ∴，， ∴的面积关于出发时间的解析式为． （2）解：四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， ． 【点拨】此题考查了二次函数与图形的应用，解题的关键是理解题意，用表示出线段、． 2.（25-26九年级上·福建厦门·周测）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，其中t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用． 将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 解： ， ∵当时，取最大值，飞机停止滑行， ∴t的取值范围是． 故选B． 3.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求自变量的取值范围． 用x表示的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长列不等式，可求x的范围． 解：由已知得：， ∴， ∵墙长， ∴， 解得， ∴x的取值范围为； 故答案为：，． 4.（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为15米，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先用表示出的长度，再利用矩形的面积公式，求出函数表达式即可； （2）根据二次函数的性质，求出的最大值和最小值即可得解． （1）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴时，取得最大值，最大值为：， 当时，， ∴． 【点拨】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【题型5】利用二次函数模型求解简单实际数值 核心考点：已经给出二次函数解析式，代入自变量求目标量，或给定函数值求对应的自变量。 1.（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． （1）写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）当时，求y的函数值． 【答案】（1），；（2）800 【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可． （1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中； （2）解：由（1）知，， ∴当时，． 2.（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 3.（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 4.（25-26九年级上·江西宜春·期末）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（米）弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点． （1）若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式． （2）在一次表演中，已知人梯高米，演员弹跳到最高点处后落到人梯上，为了这次表演成功，一人梯离起跳点A的水平距离是多少米？请说明理由． 【答案】（1）；（2）解：点A的水平距离是4米，理由如下： 把代入得： ， 解得：（舍去）， ∵点B在对称轴的右侧， ∴人梯到起跳点A的水平最远距离是4米时，这次表演是成功的． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求二次函数的解析式． （1）先利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入（1）中解析式即可． （1）解：∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵， ∴把代入中得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：： （2）略 三.能力提升 【题型1】限定自变量范围求实际问题最值 核心考点：顶点横坐标不在自变量取值区间内，需要比较区间端点函数值得到实际最大、最小值，高频易错题型。 1.（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：； （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，直接写出销售单价的取值范围． 【答案】（1），；（2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元；（3） 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润定价进价销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据题意得到，再利用图象法即可求解． （1）解：由题意，得：， 即； ∵， ∴， ∴自变量的取值范围； （2）解：对于函数 ∵， 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． （3）解：， 解方程 得：，． 当时，． ∵ 当时，． 2.（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 3.（25-26九年级上·全国·课后作业）乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为（单位：）的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积（单位：）随的变化而变化． （1）与之间的函数解析式为________________（写出自变量的取值范围）； （2）当________时，这个三角形的面积最大，最大面积是________． 【答案】 20 【分析】（1）根据题意可知，这个三角形中一边为，这条边上的高为，然后根据三角形面积公式即可获得答案； （2）根据，即可获得答案． 解：（1）根据题意，可知在这个三角形中，其中一边为，这条边上的高为， 则该三角形的面积； （2）∵， ∴当时，这个三角形的面积最大，最大面积是． 故答案为：（1）；（2）20，． 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数解析式是解题关键． 4.（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为元时，每天可销售件；当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件． （1）销售量与售价有怎样的函数关系？写出的取值范围 （2）售价与销售该纪念品每天获得的利润有怎样的函数关系？当取何值时利润最大并求出最大利润． （3）当每天获得的利润不低于元时，售价的取值范围 【答案】（1）；（2），当时，利润最大为元；（3）不存在售价，使每天获得的利润不低于元． 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，二次函数与不等式，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握． （1）根据“当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件”可先求出销售量减少的件数，再用减去减少的件数即可求解，注意销售量，可求出售价的取值范围； （2）每件纪念品的利润为元，则销售该纪念品每天获得的利润为，即可得到售价与销售该纪念品每天获得的利润的函数关系，再根据一元二次函数的性质即可求出最大利润； （3）根据题意建立一元二次不等式，通过分析一元二次方程的解和一元二次函数的图象可知，不存在售价，使每天获得的利润不低于元． （1）解：由题意可知，， 当售价为元时，销售价增加了元， 当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件， 销售量减少了件， 当售价为元时，销售量为， ， ， 解得，， ， 销售量与售价的函数关系为； （2）解：依题意，每件纪念品的利润为元， 销售该纪念品每天获得的利润为：， 对于二次函数，二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为， ， 当时，有最大值， 将代入， 可得（元）， 故售价与销售该纪念品每天获得的利润的函数关系为，当时，利润最大为元； （3）解：由（2）知，利润， 利润不低于元，即， ， 移项得，，即， 两边同时除以得，， 对于一元二次方程，其中， 判别式， 一元二次方程无实根， 又一元二次函数开口向上，且与轴没有交点， 一元二次不等式的解集为空集， 不存在售价，使每天获得的利润不低于元． 【题型2】条件复杂的销售利润综合题 核心考点：涨价、降价带来销量变化，结合售价限制、整数条件，建立利润函数，求解最优方案。 1.（25-26九年级下·重庆开州·开学考试）在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． （1）请求出与的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 【答案】（1）；（2）该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元；（3）当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天的销售利润为W元，根据每天的利润每支电动牙刷的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得，解之即可得到答案． （1）解：设， 由题意得， ∴， ∴； （2）解：设每天的销售利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为810， 答：该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； （3）解：由（2）和题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组，可知该不等式组无解， 综上所述，， 答：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元． 2.（25-26九年级下·天津·开学考试）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设降价元，可得每件利润为元，销售量为件，依次验证三个结论，利用一元二次方程和二次函数的性质即可判断． 解：设商品降价元，则售价为元．，每件利润为元，每星期销售量为件． ①：∵售价为57元， ∴，得， ∴销售量（件），故①正确； ②：当利润为5850元时，根据题意，得， 整理得， 若零售价为55元，即，则，代入方程左边得， 若零售价为59元，即，则，代入方程左边得，故②错误； ③：设每星期利润为y元，则， 整理得， 配方得， ∵， ∴当，y取得最大值6125，故③正确； 综上所述，正确结论共2个． 3.（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价元时，利润最大，可设解析式为，其中，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大，据此结合题意列不等式组即可求解. 解：设月利润为元，涨价额为元，二次函数为，，其对称轴为． 存在最大值， 抛物线开口向下，，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大， 由题意可得：， 当时，不等式组可化为：，不等式组无解， 当时，不等式组可化为：，解得， 当时，不等式组可化为：，该不等式组恒成立， 综上所述：． 4.（25-26九年级上·云南昭通·期末）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． （1）若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ （2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】（1）；（2）①898万元；②当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为917.6万元 【分析】（1）设该景区游客人数的月平均增长率为，则三月份的游客为万人，四月份的游客为万 人，再列方程，解方程可得答案； （2）①分别计算购买甲，乙，丙三种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案； ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案． （1）解：设该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：该景区游客人数平均每月增长率为． （2）解：①由题意，得： （万元）， 答：景区5月份的门票总收入为898万元． ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元， 由题意，得： ， ， 当时，取最大值，为元，即万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为万元． 四.素养探究 【题型1】动点背景下几何面积探究 核心考点：结合动点运动，建立面积的二次函数，求面积最值，同时分析动点运动范围对自变量的约束。 1.（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：______，______；（用含的代数式表示） （2）求出当为何值时，？ （3）设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． （4）在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）当时，；（3）；（4）存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的运用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． （1）解：由题意可得，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； （3）由（2）可知，， ； （4）存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 2.（2025·贵州铜仁·二模）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点Q在线段上和当点Q在线段上时，然后分别表示出，，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 解：∵在直角三角形中，，，， ∴， 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 综上所述，， 故选：A． 【点拨】此题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3.（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值27， 即经过3秒，四边形的面积最小， 故答案为：3． 4.（25-26九年级上·新疆和田·期中）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动． （1）直接写出抛物线的解析式： （2）求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）y=-x2+3x+8；（2）S=-t2+5t，当t=5时，CED的面积最大，最大面积是 【分析】（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8； （2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8-t，然后令y=0，点E的坐标为（-2，0），进而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=-t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=． （1）解：将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-x2+bx+c得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8， （2）解：根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t， ∴OD=8-t， ∴DE=OE+OD=10-t， ∴S=•DE•OC=•（10-t）•t=-t2+5t， 即S=-t2+5t=-（t-5）2+， ∴当t=5时，S最大=． ∴CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式S=-t2+5t，当t=5时，CED的面积最大，最大面积是． 【点拨】此题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练以下知识点：用待定系数法求函数关系式，函数的最值问题，三角形的面积公式，综合性较强，难度中等． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 二、填空题 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 5．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 6．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 三、解答题 7．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． （1）当投掷的距离为时，求的值； （2）当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； （3）当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. （1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得（舍去）或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得（舍）或（舍）． 综上：或． 8．（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】（1）函数关系式为，的取值范围是；（2）函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． （1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 9．（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】（1）；（2）生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元；（3）m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． （1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $