1.5 二次函数的应用（1） 同步分层练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 分层递进式设计，从基础应用到综合探究，全面覆盖二次函数实际应用，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|二次函数在抛球、拱桥等单一情境中的应用|以选择、填空为主，如抛球落地时间计算，强化概念理解与基本运算能力| |巩固提升|二次函数与行程、喷水等多情境综合应用|结合图像分析（如汽车制动距离），提升推理能力与问题转化能力| |能力应用|跨学科探究（水火箭、水流装置）|任务驱动式解答，如建立运动轨迹模型，发展模型意识与创新意识|

1.5 二次函数的应用（1）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(　　) A．5 B．10 C．1 D．2 2．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为 由此可知小童此次实心球训练的成绩为(　　) A．6m B．7m C．8m D．9m 3． 一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度（米）与时间（秒）之间的关系由二次函数描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 4．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 6．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽度增加　 　m.(结果可保留根号) 7．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2．则经过　 　秒时球的高度为15米． 8．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，铅球落地点在B处，已知铅球经过的路线是抛物线y＝﹣，则铅球的落地点B到运动员的水平距离为　 　米． 9．一名男生推铅球，铅球行进高度 y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数表达式是 铅球运行路线如图所示. （1）求铅球推出的水平距离； （2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m . 10．如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． （1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 二、巩固提升 11．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中(如图1)，在某一时刻观测到了一座灯塔，10 分钟后测得灯塔位于船的北偏东45°方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里.经过持续测量船只与灯塔之间距离d (海里)，发现(d2与船行路程x(海里)之间满足二次函数的数量关系(如图2)，其中最低点为点B，以下说法正确的是(　　) A．m=15 B．点(25，225)在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 12．如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S(米)关于行驶时间t(秒)的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A 出发，以v0的速度沿AB方向匀速行驶，2秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点 D处停止，这个过程中S与t满足关系： (a为常数且a≠0)． 下列选项中正确的是(　　) A．米/秒 B．汽车行驶总时间为10秒 C．a=6 D．n=150米 13．如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程y1(单位：m)与滑行时间t1(单位：s)满足函数关系： 在缓冲道上的滑行路程 y2(单位：m)与在缓冲道上的滑行时间t2(单位：s)满足函数关系： 小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时68s.则他在坡道上的滑行路程为(　　) A．32m B．240m C．270m D．280m 14．粗糙的地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止 C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点 15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是 6).有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动中的高度可以是30 m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s 时的高度.其中，正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 16．2026 年6月11日晚， “吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队.金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分.最终点球以6：5战胜温州队，获得冠军。如下图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网.这条抛物线的表达式为　 　. 17．一个球从地面上竖直向上弹起的高度h米与经过的时间t秒的关系式为 当球的高度第一次达到3.75米时，经过的时间t为　 　秒． 18．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x- 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA 为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB 为　 　m. 19． 2025的夏天，浙江省城市篮球联赛（简称浙BA）火遍全网. 小甬同学观察发现篮球在空中的运行路线近似为一条抛物线，他将某球员投篮后的篮球运行路线绘制成下图. 已知篮圈中心距地面3.05m，球员在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m. （1） 建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2） 在球出手后，未达到最高点时，若被防守队员出手拦截则属于盖帽，已知某防守球员的最大摸球高度为3.1m，若该球员在距离投篮球员1m处起跳盖帽，请通过计算说明篮球能否顺利投进篮圈. 20．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米. （1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地. （2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值. 三、能力应用 21．【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图6-3①是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭. 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，并确定了函数表达式为x=3t.同时也收集了飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如下表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度 y/m 0 10 16 18 16 m （1）【建立模型】 任务1：求y 关于t 的函数表达式.(不用体现自变量的取值范围) （2）【反思优化】 图②是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置的一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为 PQ)，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段 AB 为水火箭回收区域，已知 任务2：当水火箭落地(高度为0 m)时，求水火箭飞行的水平距离. （3）任务3：在（2）的条件下，当水火箭落到AB 内(包括端点 A，B)时，求发射台高度 PQ 的取值范围. 22．根据已知条件，探索完成任务． 制作简易水流装置 　 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线形.以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，为水流抛物线的顶点，点，，，，在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为. 任务一 （1）求水流抛物线的函数表达式. 任务二 （2）现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由.（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 （3）在（2）的条件下，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：球回到地面时，高度h=0，代入公式h=10t-5t2得，0=10t-5t2，因式分解为5t(2-t)=0，解得t=0（球刚弹起的时刻，舍去）或t=2.因此，球弹起后回到地面所花的时间是2秒. 故答案为：D . 【分析】将“回到地面”转化为高度h=0的条件，代入函数公式后解一元二次方程，舍去初始时刻t=0，即可得到实际运动时间. 2．【答案】D 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：根据实际情况，实心球的成绩时实心球落地点与起点的距离. 即当y=0时，方程的正根是实心球训练的成绩， 解此方程得x1=-1（舍），x2=9， ∴小童此次实心球训练的成绩为9m. 故选：D . 【分析】本题要实心球成绩的实际情况，实际情况就是实心球落地点与起点的距离，此时实心球在地面上，飞行高度为0，即二次函数的y值为0，则令函数值为0，构造方程，方程的解取符合实际的即可. 3．【答案】B 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解： ∴当t=2时，h最大=20， ∴物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米； 当h=0时， 解得： ∴在4秒时返回地面， 故选： B. 【分析】先配方得到二次函数的最值，然后令h=0解一元二次方程求出t值，即可解答. 4．【答案】C 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：令函数解析式中，， 得到， 解得，（舍去）， 即铅球推出的距离是， 故选：C． 【分析】根据题意得到，解方程后满足实际应用即可得到答案． 5．【答案】B 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故答案为：B． 【分析】根据所建坐标系及图形特点，利用二次函数的对称性可求出点A、B的坐标，再求出点D的坐标，利用二次函数的两根式可求出函数解析式，再求出当x=0时y的值，可得到门的高度. 6．【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2， 由题意知点(2，-2)在抛物线上，代入y=ax2，得4a=-2，得a=，故抛物线解析式为y=x2， 令y=-3，则有，得x1=-，x2=，此时水面宽度为2，故水面宽度增了2-4米. 故答案为： . 【分析】建立平面直角坐标系并设抛物线的解析式y=ax2，将函数经过的点代入可得抛物线解析式，令y=-3，可得x的值，由此可得水面宽度，亦可知水面宽度增加的长度. 7．【答案】1或3 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：当h=15时，由15=20t﹣5t2得：t2﹣4t+3=0， 解得：t1=1，t2=3， 答：经过1或3秒时球的高度为15米． 故答案为：1或3． 【分析】令h=0，即可得到15=20t﹣5t2，解题即可． 8．【答案】10 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】当y＝0时， 得， ∴， 解得x＝10或x＝﹣2 ∵B点在x轴正半轴， ∴B点坐标为（10，0）， ∴OB＝10， ∴铅球的落地点离运动员水平距离有10米远， 故答案为：10． 【分析】铅球的落地点B就是抛物线与x轴的交点，所以令时，根据抛物线求出的值，再结合铅球在正半轴即可得到答案． 9．【答案】（1）解：当y=0时，即 解得：x1=10，x2=-2（舍）， 答： 铅球推出的水平距是10m. （2）解： ∴当x=4时，y有最大值3， ∴铅球行进高度不能达到4m. 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】（1）令y=0，即可得出答案； （2）先求出抛物线的顶点坐标，再进行比较即可. 10．【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：能通过，理由如下： 当时，， 能通过． 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用待定系数法（利用顶点式）求出抛物线解析式即可； （2）把代入（1）所求抛物线解析式，算出对应的函数值，然后作出判断即可． （1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：当时，， 能通过． 11．【答案】B 【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 【分析】由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D． 12．【答案】D 【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：由题意可知， (米/秒)，故A错误；汽车从A出发到D停止，共行驶2+6=8(秒)，故B错误； 把(2， 60)和 代入 得： 解得a=5，故C错误； 把(8， n)， 代入 得： 故D正确， 故答案为：D. 【分析】先根据图象求出v0，再把(2， 60)和 代入 求出a，再把(8， n)， 代入 求出n. 13．【答案】B 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：由题意得：当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时， ∴， ∴把代入函数得：； 故选B． 【分析】由题意可得当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时，然后可得，进而代入进行求解即可． 14．【答案】B 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得， 当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止. 故答案为：B. 【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案. 15．【答案】C 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：①当h=0时，则 解得： ∴小球从抛出到落地需要6s， 故①结论正确，符合题意； 45， ∴当t=3时，h取得最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30m，故③结论正确，符合题意； ③当t=2时， 当t=5时， ∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故②结论错误，不符合题意； 综上所述，其中正确结论是①②，共2个. 故选： C. 【分析】①令h=0，解出方程即可判断；②将关系式化成顶点式，得到函数最大值即可判断；③分别求出t=2和t=5时的值即可判断. 16．【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】 由题意得：顶点B的横坐标=24-14=10，A（24，0） ∴抛物线的对称轴为x=10， 由对称性可得，抛物线与x轴的另一交点为（-4，0） ∴设抛物线的交点式为y=a(x+4)(x-24)， 将点（10，1.2）坐标代入， 解得a= ∴抛物线表达式为：​​​​​​​. 【分析】根据题意可得：顶点B的横坐标为10，然后利用待定系数法求二次函数的解析式进行计算，即可解答. 17．【答案】0.5 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：据题意得：-5t2+10t=3.75， 整理得：4t2-8t+3=0， (2t-1)(2t-3)=0， 解得：t=0.5或t=1.5， ∵第一次达到 ∴t=0.5 故答案为：0.5. 【分析】根据题意，将高度代入关系式得到方程，解方程求时间t，取较小根即为第一次达到的时间. 18．【答案】8 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：由题意，OA=1.6m，得A(0，1.6)， 将 A(0，1.6)代入 得：1.6=a(0- 解得 2.5. 令y=0，得 解得 为8 m. 故答案为：8. 【分析】先利用顶点式求出二次函数的解析式，然后令y=0求出x的值解答即可. 19．【答案】（1）解： ∵抛物线的顶点坐标为(3，4)， 设抛物线的函数解析式为. 把(0，2.2)代入，得， 解得 ， . （2）解：当 时，. ∵， ∴ 不能成功盖帽. 把代入抛物线解析式， 得； ∵， 篮球不能顺利投进篮圈。 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】(1)由题意设二次函数的顶点式.将点(0，2.2)代入可得a的值，即得抛物线解析式； (2)令x=1，得y=3.2>3.1，即不能成功盖帽，令x=5.5得y的值，即知篮球不能顺利投进. 20．【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 (10，6)，设水流形成的抛物线为 将点 (0， 1)代入可得 ∴抛物线为 当x=15时， 答：能浇灌到小树后面的草坪； （2）解：由题可知A 点坐标为(15，3)，则直线OA为 ∴当x=8时， y1-y2的最大值为 ； 答： y1-y2的最大值为 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【分析】(1)利用顶点式设抛物线解析式为将(0，1)代入得a的值即得抛物线解析式，令x=15得y的值即知能否浇到草坪； (2)先求出可得，即知当x=8时，可得最大值. 21．【答案】（1）解：∵二次函数经过点(4，16)， (8，16)，∴抛物线的顶点坐标为(6，18). 设抛物线解析式为： ∵抛物线经过点(0，0)， 解得： ∴y关于t的函数表达式为： （2）解： 当水火箭落地 (高度为0m)时， 解得： (不合题意，舍去)， 答：水火箭飞行的水平距离为36米 （3）解：设PQ的长度为c.∴水火箭的抛物线解析式为 ①当抛物线经过点A时. ∴点A的坐标为(42，0). 解得：(c=14. ②当抛物线经过点B时. ∴点B的坐标为( =0. 解得：c=18. ∵水火箭落到AB内 (包括端点A，B)， 答：发射台高度PQ的取值范围为： 18m 【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【分析】任务1：易得抛物线的顶点坐标为(6，18)，用顶点式设出抛物线解析式，把(0，0)代入后可求得a的值，即可求得抛物线解析式； 任务2：用含x的式子表示出t，代入任务1得到的函数解析式可得y关于x的函数解析式，水火箭落地，那么高度为0，函数值取0可求得相应的x的值，找到符合题意的解即可； 任务3：设PQ的长度为c.那么水火箭的抛物线解析式为 把点A、B的坐标代入函数解析式可得c的值，进而可得c也就是PQ的取值范围. 22．【答案】解：（1）∵AB//x轴，AB=5cm，点B为水流抛物线的顶点 ∴抛物线的对称轴为：x=5. ∴ ​​​​​​​∴b=-10a 把点M(15，0)代入抛物线y=ax2+bx+15得：15a+b+1=0， 把b=-10a代入15a+b+1=0得：15a-10a+1=0 解得： ​​​​​​​∴b=2， ​​​​​​​∴水流抛物线的函数表达式为：. （2）圆柱形水杯最左端到点O的距离是15-3=12， 当x=12时，， ∵11>10.2 ∴水流不能流到圆柱形水杯内 （3） ​​​​​​​ 【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【解答】解：(3)令， 解得(负值舍去) cm，cm， ∴OP长的取值范围是. 故答案为：. 【分析】(1)易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x=5，即可得到，那么b=-10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b=-10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式； (2)根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x=12代入抛物线解析式，计算出y的值，若圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内； (3)计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 二次函数的应用（1）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(　　) A．5 B．10 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：球回到地面时，高度h=0，代入公式h=10t-5t2得，0=10t-5t2，因式分解为5t(2-t)=0，解得t=0（球刚弹起的时刻，舍去）或t=2.因此，球弹起后回到地面所花的时间是2秒. 故答案为：D . 【分析】将“回到地面”转化为高度h=0的条件，代入函数公式后解一元二次方程，舍去初始时刻t=0，即可得到实际运动时间. 2．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为 由此可知小童此次实心球训练的成绩为(　　) A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】D 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：根据实际情况，实心球的成绩时实心球落地点与起点的距离. 即当y=0时，方程的正根是实心球训练的成绩， 解此方程得x1=-1（舍），x2=9， ∴小童此次实心球训练的成绩为9m. 故选：D . 【分析】本题要实心球成绩的实际情况，实际情况就是实心球落地点与起点的距离，此时实心球在地面上，飞行高度为0，即二次函数的y值为0，则令函数值为0，构造方程，方程的解取符合实际的即可. 3． 一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度（米）与时间（秒）之间的关系由二次函数描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 【答案】B 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解： ∴当t=2时，h最大=20， ∴物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米； 当h=0时， 解得： ∴在4秒时返回地面， 故选： B. 【分析】先配方得到二次函数的最值，然后令h=0解一元二次方程求出t值，即可解答. 4．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：令函数解析式中，， 得到， 解得，（舍去）， 即铅球推出的距离是， 故选：C． 【分析】根据题意得到，解方程后满足实际应用即可得到答案． 5．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故答案为：B． 【分析】根据所建坐标系及图形特点，利用二次函数的对称性可求出点A、B的坐标，再求出点D的坐标，利用二次函数的两根式可求出函数解析式，再求出当x=0时y的值，可得到门的高度. 6．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽度增加　 　m.(结果可保留根号) 【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2， 由题意知点(2，-2)在抛物线上，代入y=ax2，得4a=-2，得a=，故抛物线解析式为y=x2， 令y=-3，则有，得x1=-，x2=，此时水面宽度为2，故水面宽度增了2-4米. 故答案为： . 【分析】建立平面直角坐标系并设抛物线的解析式y=ax2，将函数经过的点代入可得抛物线解析式，令y=-3，可得x的值，由此可得水面宽度，亦可知水面宽度增加的长度. 7．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2．则经过　 　秒时球的高度为15米． 【答案】1或3 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：当h=15时，由15=20t﹣5t2得：t2﹣4t+3=0， 解得：t1=1，t2=3， 答：经过1或3秒时球的高度为15米． 故答案为：1或3． 【分析】令h=0，即可得到15=20t﹣5t2，解题即可． 8．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，铅球落地点在B处，已知铅球经过的路线是抛物线y＝﹣，则铅球的落地点B到运动员的水平距离为　 　米． 【答案】10 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】当y＝0时， 得， ∴， 解得x＝10或x＝﹣2 ∵B点在x轴正半轴， ∴B点坐标为（10，0）， ∴OB＝10， ∴铅球的落地点离运动员水平距离有10米远， 故答案为：10． 【分析】铅球的落地点B就是抛物线与x轴的交点，所以令时，根据抛物线求出的值，再结合铅球在正半轴即可得到答案． 9．一名男生推铅球，铅球行进高度 y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数表达式是 铅球运行路线如图所示. （1）求铅球推出的水平距离； （2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m . 【答案】（1）解：当y=0时，即 解得：x1=10，x2=-2（舍）， 答： 铅球推出的水平距是10m. （2）解： ∴当x=4时，y有最大值3， ∴铅球行进高度不能达到4m. 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】（1）令y=0，即可得出答案； （2）先求出抛物线的顶点坐标，再进行比较即可. 10．如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． （1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：能通过，理由如下： 当时，， 能通过． 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用待定系数法（利用顶点式）求出抛物线解析式即可； （2）把代入（1）所求抛物线解析式，算出对应的函数值，然后作出判断即可． （1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：当时，， 能通过． 二、巩固提升 11．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中(如图1)，在某一时刻观测到了一座灯塔，10 分钟后测得灯塔位于船的北偏东45°方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里.经过持续测量船只与灯塔之间距离d (海里)，发现(d2与船行路程x(海里)之间满足二次函数的数量关系(如图2)，其中最低点为点B，以下说法正确的是(　　) A．m=15 B．点(25，225)在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 【答案】B 【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 【分析】由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D． 12．如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S(米)关于行驶时间t(秒)的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A 出发，以v0的速度沿AB方向匀速行驶，2秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点 D处停止，这个过程中S与t满足关系： (a为常数且a≠0)． 下列选项中正确的是(　　) A．米/秒 B．汽车行驶总时间为10秒 C．a=6 D．n=150米 【答案】D 【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：由题意可知， (米/秒)，故A错误；汽车从A出发到D停止，共行驶2+6=8(秒)，故B错误； 把(2， 60)和 代入 得： 解得a=5，故C错误； 把(8， n)， 代入 得： 故D正确， 故答案为：D. 【分析】先根据图象求出v0，再把(2， 60)和 代入 求出a，再把(8， n)， 代入 求出n. 13．如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程y1(单位：m)与滑行时间t1(单位：s)满足函数关系： 在缓冲道上的滑行路程 y2(单位：m)与在缓冲道上的滑行时间t2(单位：s)满足函数关系： 小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时68s.则他在坡道上的滑行路程为(　　) A．32m B．240m C．270m D．280m 【答案】B 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：由题意得：当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时， ∴， ∴把代入函数得：； 故选B． 【分析】由题意可得当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时，然后可得，进而代入进行求解即可． 14．粗糙的地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止 C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点 【答案】B 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得， 当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止. 故答案为：B. 【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案. 15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是 6).有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动中的高度可以是30 m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s 时的高度.其中，正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：①当h=0时，则 解得： ∴小球从抛出到落地需要6s， 故①结论正确，符合题意； 45， ∴当t=3时，h取得最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30m，故③结论正确，符合题意； ③当t=2时， 当t=5时， ∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故②结论错误，不符合题意； 综上所述，其中正确结论是①②，共2个. 故选： C. 【分析】①令h=0，解出方程即可判断；②将关系式化成顶点式，得到函数最大值即可判断；③分别求出t=2和t=5时的值即可判断. 16．2026 年6月11日晚， “吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队.金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分.最终点球以6：5战胜温州队，获得冠军。如下图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网.这条抛物线的表达式为　 　. 【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】 由题意得：顶点B的横坐标=24-14=10，A（24，0） ∴抛物线的对称轴为x=10， 由对称性可得，抛物线与x轴的另一交点为（-4，0） ∴设抛物线的交点式为y=a(x+4)(x-24)， 将点（10，1.2）坐标代入， 解得a= ∴抛物线表达式为：​​​​​​​. 【分析】根据题意可得：顶点B的横坐标为10，然后利用待定系数法求二次函数的解析式进行计算，即可解答. 17．一个球从地面上竖直向上弹起的高度h米与经过的时间t秒的关系式为 当球的高度第一次达到3.75米时，经过的时间t为　 　秒． 【答案】0.5 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：据题意得：-5t2+10t=3.75， 整理得：4t2-8t+3=0， (2t-1)(2t-3)=0， 解得：t=0.5或t=1.5， ∵第一次达到 ∴t=0.5 故答案为：0.5. 【分析】根据题意，将高度代入关系式得到方程，解方程求时间t，取较小根即为第一次达到的时间. 18．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x- 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA 为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB 为　 　m. 【答案】8 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：由题意，OA=1.6m，得A(0，1.6)， 将 A(0，1.6)代入 得：1.6=a(0- 解得 2.5. 令y=0，得 解得 为8 m. 故答案为：8. 【分析】先利用顶点式求出二次函数的解析式，然后令y=0求出x的值解答即可. 19． 2025的夏天，浙江省城市篮球联赛（简称浙BA）火遍全网. 小甬同学观察发现篮球在空中的运行路线近似为一条抛物线，他将某球员投篮后的篮球运行路线绘制成下图. 已知篮圈中心距地面3.05m，球员在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m. （1） 建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2） 在球出手后，未达到最高点时，若被防守队员出手拦截则属于盖帽，已知某防守球员的最大摸球高度为3.1m，若该球员在距离投篮球员1m处起跳盖帽，请通过计算说明篮球能否顺利投进篮圈. 【答案】（1）解： ∵抛物线的顶点坐标为(3，4)， 设抛物线的函数解析式为. 把(0，2.2)代入，得， 解得 ， . （2）解：当 时，. ∵， ∴ 不能成功盖帽. 把代入抛物线解析式， 得； ∵， 篮球不能顺利投进篮圈。 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】(1)由题意设二次函数的顶点式.将点(0，2.2)代入可得a的值，即得抛物线解析式； (2)令x=1，得y=3.2>3.1，即不能成功盖帽，令x=5.5得y的值，即知篮球不能顺利投进. 20．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米. （1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地. （2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值. 【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 (10，6)，设水流形成的抛物线为 将点 (0， 1)代入可得 ∴抛物线为 当x=15时， 答：能浇灌到小树后面的草坪； （2）解：由题可知A 点坐标为(15，3)，则直线OA为 ∴当x=8时， y1-y2的最大值为 ； 答： y1-y2的最大值为 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【分析】(1)利用顶点式设抛物线解析式为将(0，1)代入得a的值即得抛物线解析式，令x=15得y的值即知能否浇到草坪； (2)先求出可得，即知当x=8时，可得最大值. 三、能力应用 21．【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图6-3①是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭. 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，并确定了函数表达式为x=3t.同时也收集了飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如下表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度 y/m 0 10 16 18 16 m （1）【建立模型】 任务1：求y 关于t 的函数表达式.(不用体现自变量的取值范围) （2）【反思优化】 图②是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置的一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为 PQ)，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段 AB 为水火箭回收区域，已知 任务2：当水火箭落地(高度为0 m)时，求水火箭飞行的水平距离. （3）任务3：在（2）的条件下，当水火箭落到AB 内(包括端点 A，B)时，求发射台高度 PQ 的取值范围. 【答案】（1）解：∵二次函数经过点(4，16)， (8，16)，∴抛物线的顶点坐标为(6，18). 设抛物线解析式为： ∵抛物线经过点(0，0)， 解得： ∴y关于t的函数表达式为： （2）解： 当水火箭落地 (高度为0m)时， 解得： (不合题意，舍去)， 答：水火箭飞行的水平距离为36米 （3）解：设PQ的长度为c.∴水火箭的抛物线解析式为 ①当抛物线经过点A时. ∴点A的坐标为(42，0). 解得：(c=14. ②当抛物线经过点B时. ∴点B的坐标为( =0. 解得：c=18. ∵水火箭落到AB内 (包括端点A，B)， 答：发射台高度PQ的取值范围为： 18m 【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【分析】任务1：易得抛物线的顶点坐标为(6，18)，用顶点式设出抛物线解析式，把(0，0)代入后可求得a的值，即可求得抛物线解析式； 任务2：用含x的式子表示出t，代入任务1得到的函数解析式可得y关于x的函数解析式，水火箭落地，那么高度为0，函数值取0可求得相应的x的值，找到符合题意的解即可； 任务3：设PQ的长度为c.那么水火箭的抛物线解析式为 把点A、B的坐标代入函数解析式可得c的值，进而可得c也就是PQ的取值范围. 22．根据已知条件，探索完成任务． 制作简易水流装置 　 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线形.以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，为水流抛物线的顶点，点，，，，在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为. 任务一 （1）求水流抛物线的函数表达式. 任务二 （2）现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由.（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 （3）在（2）的条件下，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围. 【答案】解：（1）∵AB//x轴，AB=5cm，点B为水流抛物线的顶点 ∴抛物线的对称轴为：x=5. ∴ ​​​​​​​∴b=-10a 把点M(15，0)代入抛物线y=ax2+bx+15得：15a+b+1=0， 把b=-10a代入15a+b+1=0得：15a-10a+1=0 解得： ​​​​​​​∴b=2， ​​​​​​​∴水流抛物线的函数表达式为：. （2）圆柱形水杯最左端到点O的距离是15-3=12， 当x=12时，， ∵11>10.2 ∴水流不能流到圆柱形水杯内 （3） ​​​​​​​ 【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【解答】解：(3)令， 解得(负值舍去) cm，cm， ∴OP长的取值范围是. 故答案为：. 【分析】(1)易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x=5，即可得到，那么b=-10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b=-10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式； (2)根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x=12代入抛物线解析式，计算出y的值，若圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内； (3)计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可. 学科网（北京）股份有限公司 $