专题复习二二次函数图象与系数的关系同步训练2026-2027学年浙教版九年级数学上册

数学 · 九年级上册 专题复习二 二次函数图象与系数的关系 【重点提示】(1)系数 决定抛物线的开口方向和大小， 时，开口向上； 时，开口向下。(2)对称轴在 轴的左侧， 同号；对称轴在 轴的右侧， 异号。(3) 时，图象与 轴的交点在 轴上方； 时，图象过原点； 时，图象与 轴交点在 轴下方。(4) 的符号决定抛物线与坐标轴的交点个数。 ▍基础过关集训 1. 已知二次函数 的图象如图所示，则 的符号为（　）。 A. B. C. D. 2. 如图所示为二次函数 的图象，对称轴是直线 ，则下列结论中，错误的是（　）。 A. B. C. D. 3. 已知抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点 在 和 之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④方程 有两个相等的实数根。其中，正确的结论有（　）。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知抛物线 与 轴的交点都在原点的右侧，则点 在第＿＿＿＿象限。 5. 已知二次函数 的图象开口向下，顶点落在第二象限。 (1) 试确定 的符号，并简述理由。 (2) 若此二次函数的图象经过原点，且顶点在直线 上，顶点与原点的距离为 ，求抛物线的二次函数的表达式。 6. 已知函数 的图象的顶点为点 。 (1) 求点 的坐标（用含 的代数式表示）。 (2) 求函数 的图象与 轴的交点坐标。 (3) 若函数 的图象在直线 的上方，求 的取值范围。 ▍进阶能力拓展 7. 已知抛物线 ， 是常数且 ，下列选项中，可能为它的大致图象的是（　）。 8. 二次函数 的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④。其中，正确的结论有（　）。 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 二次函数 的图象的顶点在第一象限，且过点 。设 ，则 的取值范围是＿＿＿＿。 10. 已知二次函数 的图象如图所示，则 的值为＿＿＿＿， 的取值范围是＿＿＿＿。 11. 如图所示为抛物线 的图象， 为抛物线与坐标轴的交点，且 ，则 之间满足的关系式为＿＿＿＿。 12. 对于二次函数 ，如果当 取任意整数时，函数值 都是整数，那么我们把该函数的图象叫作“整点抛物线”（例如：）。 (1) 请你写出一个二次项系数的绝对值小于 1 的“整点抛物线”的函数表达式：＿＿＿＿。（不必证明） (2) 请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于 的“整点抛物线”？若存在，请写出其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由。 ▍中考真题实训 13. 【湘西州】已知二次函数 图象的对称轴为直线 ，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤。其中，正确的是（　）。 A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 14. 【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数 ，其中 。 (1) 若函数 的图象经过点 ，求函数 的表达式。 (2) 若一次函数 的图象与 的图象经过 轴上的同一点，探究实数 满足的表达式。 (3) 已知点 和点 在函数 的图象上，若 ，求 的取值范围。 ▍综合应用探究 15. 如图所示，二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于 两点（点 在点 右侧），点 关于直线 对称。 (1) 求 两点的坐标，并证明点 在直线 上。 (2) 求二次函数的表达式。 (3) 过点 作直线 交直线 于点 。 分别为直线 和直线 上的两个动点，连结 ，求 的最小值。 参考答案 1. C 2. D 3. C 4. 三 5. (1) ∵抛物线开口向下，∴. ∵顶点在第二象限，∴ ∴，. (2) 由题意可得，此时顶点坐标为. ∵顶点在直线上，∴. ∴. 此时顶点坐标为. ∴. ∴或(舍去). ∴抛物线的函数表达式为. 6. (1) ，∴顶点. (2) 令，得，解得，. ∴函数的图象与轴的交点坐标为，. (3) ∵函数的图象在直线的上方，∴顶点在直线的上方. ∴，即. ∴的取值范围是. 7. B 8. B 9. 10. ； 11. 12. (1) (2) 假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线，当时，；当时，. 由整点抛物线定义知：为整数，为整数，∴必为整数. 当时，是整数，∴必为整数. ∴. ∴不存在二次项系数的绝对值小于的“整点抛物线”. 13. D 14. (1) 由函数的图象经过点，得，解得，. 当时，；当时，. 综上所述，函数的表达式为. (2) 当时，，解得，. ∴的图象与轴的交点是，. 当经过时，，即；当经过时，，即. (3) 由题意知，函数的对称轴为直线. 当点在对称轴的左侧（含顶点）时，随的增大而减小，与关于对称轴对称，由，得；当点在对称轴的右侧时，随的增大而增大，由，得. 综上所述，，所求的取值范围是. 15. (1) 由题意得，解得，. ∴点的坐标为，点的坐标为. ∵直线，当时，，∴点在直线上. (2) ∵点关于过点的直线对称，∴. ∵，∴为正三角形. 如图1所示，过顶点作于点，则，，∴顶点，代入二次函数表达式，解得. ∴二次函数表达式为. (3) 易求得直线的函数表达式为，直线的函数表达式为. 由解得即. ∴. ∵点关于直线对称，∴的最小值是. 如图2所示，过点作直线的对称点，连结，交直线于点，则，，则，. ∴的最小值是，即的长是的最小值. ∵，∴. 由勾股定理可求得. ∴和的最小值为. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $