模型六：带电粒子在电场中的运动（常考题型合集）讲义 -2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

模型六 带电粒子在电场中的运动 一、带电粒子在电场中的直线运动 1.模型解析 (1)带电粒子平行于电场线方向进入匀强电场，电场力方向与运动方向在同一条直线上，做匀变速直线运动，如图所示： (2)模型知识 ①基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。 ②带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。 2.解题方法(不考虑重力) (1)方法一(动力学) 加速度：由 及 F=ma 得 速度： 故 ，若初速度 ，则 (2)方法二(功能关系) 加速度：由 及 F=ma 得 速度：电场力做功等于动能变化量 ， 故 ，若初速度 ，则 注：方法一适用于匀强电场，方法二适用于所有电场。 3.案例分析 (1)案例一：不计重力 一质量为 m、电量为 q 的带正电粒子由静止经电场强度为 E，宽度为 d 的匀强电场加速，不计带电粒子的重力，求带电粒子飞出加速电场时的速度 v？ [解析] 方法一(动力学)： 加速度：由 qE=ma 得 ，解得 方法二(功能关系)： 根据动能定理得 ，解得 (2)案例二：考虑重力 一质量为 m、电荷量为+q 的带电小球(考虑重力)由静止经电场强度为 E，宽度为 d 的匀强电场加速。若 qE=mg，求带电粒子飞出加速电场时的速度 v？ [解析] 方法一(动力学)： 由图中几何关系得，小球运动在电场中运动距离 加速度：由于 qE=mg，所以 ，由 得 由 ，解得 方法二(功能关系)： 合外力：由于 qE=mg，所以 根据动能定理得 ，解得 二、带电粒子在匀强电场中的偏转运动 1.模型解析 带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场，仅受电场力作用；粒子射出电场后，做匀速直线运动，如图所示： 2.解题思路 (1)运用类似于平抛运动的处理方法，分解成相互垂直的两个方向上的运动。 ①沿 方向的匀速直线运动 水平方向：， 运动时间分情况讨论： A.能飞出电容器： B.不能飞出电容器：， ②沿电场力方向做匀加速直线运动 电场力方向：，，(能飞出电容器) 加速度： 离开电场时的偏移量： 离开电场时的偏转角： (2)带电粒子在电场中偏转的重要结论 ①不同带电粒子(电性相同)由静止开始，经过同一电场加速后，再经过同一偏转电场，射出角度θ总是相同的，与带电量大小q、粒子质量m无关。 证明：带电粒子先经过加速电场 加速，又进入偏转电场 ，射出偏转电场 时的偏转距离： ，偏转角的正切值：(均与 q、m 无关) ②粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中点。 ③位移方向与初速度方向的夹角的正切值 tanα 为速度偏转角正切值 tanθ 的 1/2 3.案例分析 如图所示，一质量为 m、电量为 q 的带电粒子(重力不计)由静止经电压为 U 的加速电场加速后，水平飞入偏转电场。离开偏转电场后，粒子沿直线运动，最终打在荧光屏上的 P 点处。若偏转电场的板长为 L，两板间距也为 L，板间电压为 U，偏转电场右端到荧光屏的距离为 L，则： ①求带电粒子飞出偏转电场时的侧位移 y？ [解析] 设带电粒子在经过加速电场，进入偏转电场的速度为 ，根据动能定理有 解得 带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，则电子飞出偏转电场时的侧位移 ，加速度 在水平方向 联立解得 ②求带电粒子离开电场时速度偏转角θ的正切值？ [解析] 带电粒子飞出电场时在水平方向：，在竖直方向上： 离开电场时偏转角的正切值： 联立解得： ③带电粒子离开电场后，打到屏上的 P 点，求 OP 的长 l？ [解析] 水平方向：速度为 的匀速直线运动 竖直方向：速度为 的匀速直线运动 从带电粒子离开电场后到打在屏上需要的时间： 离开电场后带电粒子在竖直方向的位移： OP 的长度为： 联立解得： [另法]利用二级结论速解： 由于粒子经电场偏转后，合速度 v 的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中点(本案例分析前的"重要结论②") 上图中，M 是粒子水平位移的中点。 在 ΔPOM 中，有几何关系：，故 注：无论粒子带正电还是带负电，以上三问答案均不变。 4.思路总结 (1)处理带电粒子在匀强电场中的偏转问题，可将运动分解为相互垂直的两个方向上的运动。 (2)参考平抛运动的合成与分解，利用 、、 这三个方程或动能定理来解题。 三、带电粒子在电场和重力场的复合场中的圆周运动 1.模型解析 (1)带电粒子在复合场中的运动常与圆周运动结合考察，常见情景如下： (2)知识回顾 [圆周运动-模型讲解]竖直圆绳杆模型：在重力场的圆周运动中，当小球通过最低点 D 时速度最大，最高点 A 时速度最小。 (3)模型知识 ①等效重力法：在效果不变的前提下，将重力与电场力进行合成，则合力 等效为重力场中的"重力"， 等效为重力加速度 ， 的方向等效为"重力"的方向。等效后，可运用重力场中的运动结论来解题。 如上图所示，匀强电场水平向右，带电荷量为+q，质量为 m 的小球在重力和电场力的作用下做圆周运动，电场力大小与重力大小相等，根据等效重力法，电场力和重力的合力 为等效重力。 ②等效最高点和等效最低点 等效最低点：沿着等效场方向的圆的最低点，带电体在此处速度最大； 等效最高点：沿着等效场方向的圆的最高点，且等效最高点与等效最低点关于圆心对称，带电体在此处速度最小，恰好通过最高点时等效重力提供向心力。 2.解题步骤 (1)求等效重力：即重力和电场力的合力。 (2)找等效最低点和等效最高点。 (3)根据向心力公式和功能关系求解。 3.案例分析 如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为 m、电荷量为+q 的小球，系在一根长为 L 的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕 O 点做圆周运动。AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径。已知重力加速度为 g，电场强度 ，求小球运动的最小速度 ？ [解析] 第一步：求等效重力(重力和电场力的合力) 因为电场强度 ，所以小球所受电场力大小也为 mg，故小球所受合力大小为 ，方向斜向右下方，与水平方向夹角为 45°，如图。 第二步：找等效最高点 根据圆周运动的性质可知，小球运动到等效最高点即圆弧 AD 的中点 E 时速度最小。 第三步：根据向心力公式求解 通过 E 处时等效重力提供向心力，有 ，因此小球做圆周运动的最小速度 4、 带电粒子在交变电场中的运动 1.模型解析 (1)模型背景 带电粒子在电场强度大小不变，方向周期性变化的电场中运动时(通常题目会给出交变电场的 U-T 图像)，加速度大小不变，每隔一定的时间 t 反向一次。 (2)知识回顾 ①[模型讲解]带电粒子在电场中的直线运动。 ②[直线运动-模型讲解]运动图像(v-t 图、a-t 图)。 (3)模型知识 ①图像的处理 注：上面的 U-t 图也可能变式为 φ-t 图，E-t 图。 ②t=0 时静止进入交变电场的带电粒子运动状态： 每个周期内，粒子先沿电场力方向加速，达到最大速度以后开始减速到 0(加速度反向但运动方向相同)。 ③t≠0 时静止进入交变电场的带电粒子的运动状态： 若粒子在 时刻静止进入交变电场，则粒子运动的 v-t 图像需要在原始的 v-t 图的基础上把 v 轴和 t 轴平移到对应的位置。比如： 2.解题步骤 (1)将题目所给的交变电场的 U-t 图(或 φ-t 图，E-t 图)转化为 v-t 图。 (2)利用 v-t 图像及运动学公式，计算粒子在一个周期内沿交变电场的分方向的位移。 (3)判断粒子全程的运动过程(是否会飞出交变电场、从哪个位置飞出、何时飞出……)。 3.案例分析 左图为板间距为 d，长度 2d 两水平金属板，在两板间加上周期为 T 的交变电压 u，电压 u 随时间 t 变化的图线如右图所示。在 t=0 时刻，一质量为 m，电荷量 的带电粒子(不计重力)沿板间中线垂直电场方向以初速度 射入电场。若电场变化周期 ，则粒子会碰到极板吗？如果会，粒子碰到极板的位置到极板左端的距离 x 为多少？如果不会，粒子离开交变电场时垂直极板方向的位移 y 是多少？ [解析] 第一步：把题目所给的 u-t 图转化为 v-t 图 竖直方向： 由 可知 故一个周期内粒子沿 y 方向的最大速度为 故可作出粒子运动的 v-t 图像： 第二步：计算一个周期内粒子在竖直方向的分位移 由 v-t 图像求面积可得，一个周期内粒子在竖直方向的位移为 第三步：判断粒子在全过程中的运动过程 假设粒子在板间运动的过程中不碰到极板，则在该过程中， 水平方向：，解得 ，即粒子在板间的运动恰好在电场的一个变化周期中， 故 ，这说明粒子最终恰好在极板的右边缘以平行于极板的速度(大小为 )水平飞出。 4.思路总结 (1)对于交变电场，把题目所给的图像转化为 v-t 图。 (2)先研究一个周期内粒子的位移变化，再根据题意进行计算和判断。 学科网（北京）股份有限公司 $