精品解析：山东济宁市金乡县第一中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

金乡一中2025-2026学年度高一月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若i是虚数单位，，则复数z的虚部是（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定等式求出复数z即可得解. 【详解】因，则， 于是得复数z的虚部是. 故选：C 2. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 3. 经过两条不同直线的平面个数可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【详解】若两条直线平行或相交，则有且仅有1个平面经过两条不同直线； 若两条直线异面，则不存在经过两条不同直线的平面，即0个. 4. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 5. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过 三点共线，即可求解. 【详解】由，可得： ，即， ， 因为 共线，则 . 6. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据母线与底面的夹角求出圆台的高，再代入圆台体积公式计算结果即可. 【详解】已知圆台的上底面半径为，即，下底面半径为，即，母线与底面的夹角为， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得，， 因此圆台的高， 由圆台的体积公式得. 7. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 【答案】B 【解析】 【详解】根据棱柱的定义可知，在图（1）（2）中棱柱的上下底面分别为， 图（3）中，棱柱的上下底面分别为，故A正确； 在四边形中长度不变，但到直线的距离一直在变化， 所以水面四边形的面积是变化的，故B错误； 因为棱始终与，平行，故棱始终与水面所在平面平行，故C正确； 因为水的体积是不变的，有水的部分始终呈棱柱形，且高始终是也不变， 所以底面积也不会变 ，即是定值，故D正确. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若且，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，结合正弦定理可得： , 故，则或，又，故舍去， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】取特殊复数计算判断A，C，设复数结合复数乘法及复数模长计算判断B，根据已知复数运算律得出模长判断D. 【详解】对于选项A，取，，则，，满足，但，则A不正确； 对于选项B，设，， 因为，所以不同时为0，，则B正确； 对于选项C，取，，满足，则C不正确； 对于选项D，因为，所以，所以或，则，则D正确． 故选：BD． 10. 已知向量，，则（ ） A. 与向量平行的单位向量为 B. 当时， C. 若与夹角为锐角，则的取值范围为 D. 当时，向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用单位向量的定义、向量垂直的坐标关系、投影向量的计算公式以及夹角的表示依次判断即可. 【详解】对于A，与向量平行的单位向量为或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，若与夹角为锐角，则， 解得且，故C错误； 对于D，当时，，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于B：先找过三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积；对于C：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于选D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，利用长方体的外接球计算半径，再代入球的体积公式计算. 【详解】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，，，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动，所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线， ，即点的轨迹长为2，A正确； 对于B：，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且，，， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确； 对于C：，为定值， C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以体积，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 13. 光善寺塔（图）是金乡县星湖公园的标志性建筑，俗称文峰塔，始建于唐代贞观四年，属于全国重点文物保护单位．我校某数学兴趣小组成员为测量此塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则光善寺塔的高度______． 【答案】 【解析】 【分析】由仰角得；设塔底到直线的垂足为，令，用勾股定理列三式，消去得关于的方程，解得，故塔高米. 【详解】设塔高， 由仰角可得水平距离： ， 设到直线的垂足为，令，， 由水平距离可知最短，所以在与之间，且，， 由勾股定理： ， 由①得，代入：， 化简得：， 代入③得：， 化简得：⑤， 由④得，代入⑤：， 即， 解得. 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，代入并利用，化简得，因锐角三角形，得，再由锐角条件确定，最后用，进而求得范围. 【详解】已知，由正弦定理得：， 又，所以， 代入化简：， 因三角形为锐角三角形，，故， 且正弦在上单调递增，所以， 于是， 由锐角条件：， ， 综上可得， 由正弦定理：， 令，因，所以， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C． （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值． 【答案】（1） （2） 点坐标为， 【解析】 【分析】（1）先计算得到三个复数对应的复平面内点的坐标，得到坐标后计算模长即可； （2）根据平行四边形对边向量相等求出点坐标，再根据向量夹角公式计算. 【小问1详解】 由已知条件可得，，， 所以，则，故； 【小问2详解】 由平行四边形的性质可得，已知， 设，则，于是有， 解得，即，进而有， 所以. 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜二测画法的规则还原平面图形，得到原图形为直角梯形，利用梯形面积公式求解. （2）旋转体的结构特征：该几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，分别计算圆柱底面积和侧面积、挖去的圆锥侧面积，这些面积之和即为所求. 【小问1详解】 如图所示，由斜二测的画法规则，得到原图形为直角梯形且，， ，，. 所以，. 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所形成的几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，如图所示： 圆柱的底面半径为3，母线长为6；圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5. 则圆柱侧面积，圆柱底面积，圆锥侧面积. 则几何体的表面积为. 17. 如图，在平面四边形中，，，的面积为． ⑴求的长； ⑵若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长； （2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长． 【详解】⑴∵，，的面积为 ∴ ∴ ∴由余弦定理得 ∴ ⑵由（1）知中，， ∴ ∵,∴ 又∵ ， ∴在中，由正弦定理得 即,∴ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 18. 如图三棱锥中，，，平面平面．平面平面． （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：在内任取一点，过点作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而得线线垂直，即可根据线面垂直的判定求证， （2）根据等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面， ，，就是二面角的平面角， ，， ， 所以三棱锥的体积． ,,故, 又，，， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积，， 所以点到平面的距离为． 19. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、． 为的中点，且． 平面，平面， ，． 又，． 四边形为平行四边形，则． 平面，平面， 平面． AI    （2）证明：为等边三角形，为的中点，． 平面，平面，． ，所以，， 又，平面， 平面． 平面，平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 在平面内，过作于，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面． 为和平面所成的角． 因为，，则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金乡一中2025-2026学年度高一月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若i是虚数单位，，则复数z的虚部是（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 3. 经过两条不同直线的平面个数可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 1或2 4. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 5. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若且，则（ ） A. 或 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，，则（ ） A. 与向量平行的单位向量为 B. 当时， C. 若与夹角为锐角，则的取值范围为 D. 当时，向量在向量上的投影向量为 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 13. 光善寺塔（图）是金乡县星湖公园的标志性建筑，俗称文峰塔，始建于唐代贞观四年，属于全国重点文物保护单位．我校某数学兴趣小组成员为测量此塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则光善寺塔的高度______． 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C． （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值． 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 17. 如图，在平面四边形中，，，的面积为． ⑴求的长； ⑵若，，求的长． 18. 如图三棱锥中，，，平面平面．平面平面． （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为，求点到平面的距离． 19. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $