2.1～2.2 认识有理数 有理数的加减运算 周练错题巩固与压轴训练 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

初中数学同步周练　|　北师大版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 七年级上册数学周练 第2章 有理数及其运算（2.1～2.2） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•宜州区期末）·【A】下列说法中正确的是（　　） A．0是最小的正数 B．任何有理数的绝对值都是正数 C．最大的负有理数是﹣1 D．若两个数互为相反数，则它们的绝对值相等 2．（2025秋•玄武区校级期末）·【A】|x﹣1|+|x+a|的最小值为3，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2或﹣4 C．3或﹣1 D．2 3．（2026•河东区校级模拟）·【A】将式子7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（+2）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．7+3﹣5﹣2 B．7﹣3﹣5﹣2 C．7+3+5﹣2 D．7+3﹣5+2 4．（2026•市中区模拟）·【A】计算：﹣3+2＝（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5 5．（2025秋•莱州市期末）·【A】徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山脚平均气温为7℃，山顶平均气温为﹣1℃，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（　　） A．﹣6℃ B．﹣8℃ C．6℃ D．8℃ 6．（2025秋•都江堰市期末）·【B】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•成都校级期末）·【A】比较大小： 　 　 ．（填上“＞”、“＝”或“＜”） 8．（2026•湖北）·【A】数轴上表示数a，b的点如图所示，则a+b　 　 0．（填“＞”“＝”或“＜”） 9．（2025秋•金湾区期末）·【A】比较大小：﹣0.5 　 　 ．（用“＜”“＞”或“＝”填空） 10．（2026•颍泉区校级一模）·【A】计算：（﹣1）＝　 　 ． 11．（2024秋•福建期末）·【B】如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 　 　 平方米． 12．（2025秋•德惠市校级期中）·【B】把算式：写成省略“+”和的形式为：　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•同步）·【A】如图，A，B，C为数轴上的三点，请解答下面的问题： （1）将点A向右移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度，它们各自表示的新数是什么？ （2）移动A，B，C中的两个点，使得三个点表示的数相同，写出其中一种移动方法． 14．（2025秋•呼玛县期末）·【A】随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣11 ﹣14 0 ﹣16 +38 +18 （1）这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少km？ （2）请求出这七天中平均每天行驶多少千米？ （3）若每天行驶100km需用汽油6升，汽油价8.2元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？（计算结果精确到个位） 15．（2025秋•诏安县期中）·【A】小明用如图直观解释4﹣（﹣3）＝7，请你用类似的方法直观解释5﹣（﹣2）＝7． 16． （2025秋•曲靖期中）·【A】已知|a|＝5，|b|＝3，且a＜b，求a+b的值． 17．（2025秋•蕉岭县期末）·【B】对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2．若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6． （1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是4，则点B表示的数为 　 　 ； （2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”C2表示的数为11，则点C表示的数为 　 　 ； （3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 18．（2025秋•淮安区期中）·【B】有序数对（x，y）表示从左到右依次排列的两个数，把（x，y）变换成（﹣y+1，x+3）称为1次“伴随运算”．如：（2，1）经过1次“伴随运算”变成（﹣1+1，2+3），即为（0，5）． （1）把数对（1，2）经过1次“伴随运算”变成　 　 ； （2）把数对（a，b）经过104次“伴随运算”变成（3，﹣1），求a+b的值； （3）若数对（a，b）经过m次（m为正整数）“伴随运算”所得的m个数对中，右边所有数的和与b的取值无关，则m的取值可能为　 　 ．（填序号） ①2022 ②2025 ③2029 ④2032． 19．（2025秋•扶余市期末）·【C】在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝　 　 ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　 　 ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　 　 ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 20．（2025秋•九龙坡区校级同步）·【C】我们知道：式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）若|x+5|＝6，则x的值为　 　 ． （2）当|x+3|+|x﹣1|取最小值时，x可以取整数　 　 ；|x+3|﹣|x﹣1|的最大值为　 　 ． （3）当x＝　 　 时，|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的值最小，最小值为　 　 ． （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A A D A 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•宜州区期末）·【A】下列说法中正确的是（　　） A．0是最小的正数 B．任何有理数的绝对值都是正数 C．最大的负有理数是﹣1 D．若两个数互为相反数，则它们的绝对值相等 【答案】D 【解答】解：A．0不是正数，故A不符合题意； B．0的绝对值是0，故B不符合题意； C．没有最大负有理数，故C不符合题意； D．互为相反数的绝对值相等，故D符合题意； 故选：D． 2．（2025秋•玄武区校级期末）·【A】|x﹣1|+|x+a|的最小值为3，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2或﹣4 C．3或﹣1 D．2 【答案】B 【解答】解：由绝对值的几何意义可知|x﹣1|+|x+a|即为点x到点1和到点﹣a的距离之和， ∴当点﹣a在点1的左侧时，即，a＞﹣1，此时它们的距离之和为1﹣（﹣a）＝3，解得a＝2， 当点﹣a在点1的右侧时，即a＜﹣1，此时它们的距离之和为﹣a﹣1＝3，解得a＝﹣4， 当点﹣a与点1重合时，即a＝﹣1，此时|x﹣1|+|x+a|＝2|x﹣1|，最小值为0，不满足最小值为3，故舍去， 综上所述，a的值为2或﹣4， 故选：B． 3．（2026•河东区校级模拟）·【A】将式子7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（+2）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．7+3﹣5﹣2 B．7﹣3﹣5﹣2 C．7+3+5﹣2 D．7+3﹣5+2 【答案】A 【解答】解：原式＝7+3﹣5﹣2． 故选：A． 4．（2026•市中区模拟）·【A】计算：﹣3+2＝（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5 【答案】A 【解答】解：﹣3+2＝﹣（3﹣2）＝﹣1， 故选：A． 5．（2025秋•莱州市期末）·【A】徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山脚平均气温为7℃，山顶平均气温为﹣1℃，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（　　） A．﹣6℃ B．﹣8℃ C．6℃ D．8℃ 【答案】D 【解答】解：7﹣（﹣1）＝7+1＝8（℃）， 故选：D． 6．（2025秋•都江堰市期末）·【B】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 【答案】A 【解答】解：观察数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，b﹣a＜0，ab＜0，|b|＞|a|， ∴四个选项中A选项正确，B，C，D选项错误． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•成都校级期末）·【A】比较大小： 　＞　 ．（填上“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】＞． 【解答】解：∵||，||， ∴， ∴， 故答案为：＞． 8．（2026•湖北）·【A】数轴上表示数a，b的点如图所示，则a+b　＞　 0．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】＞． 【解答】解：∵a＜0，b＞0，并且a的绝对值小于b的绝对值， ∴a+b＞0． 故答案为：＞． 9．（2025秋•金湾区期末）·【A】比较大小：﹣0.5 　＞　 ．（用“＜”“＞”或“＝”填空） 【答案】＞ 【解答】解：∵|﹣0.5|＝0.5，||， ∴0.5， ∴﹣0.5， 故答案为：＞． 10．（2026•颍泉区校级一模）·【A】计算：（﹣1）＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：（﹣1）． 故答案为：． 11．（2024秋•福建期末）·【B】如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 　130　 平方米． 【答案】130． 【解答】解：设第二小的正方形的边长是x米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米， 根据长方形展板上下对边相等，得（x+3）+（x+4）＝3x+（x+1）， 解得x＝3， ∴展板的长是（x+3）+（x+4）＝2x+7＝13（米），展板的宽是x+（x+4）＝2x+4＝10（米）， ∴长方形展板的面积是13×10＝130（平方米）． 故答案为：130． 12．（2025秋•德惠市校级期中）·【B】把算式：写成省略“+”和的形式为：　32+5　 ． 【答案】32+5． 【解答】解：将原式写成省略“+”和的形式为：32+5． 故答案为：32+5． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•同步）·【A】如图，A，B，C为数轴上的三点，请解答下面的问题： （1）将点A向右移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度，它们各自表示的新数是什么？ （2）移动A，B，C中的两个点，使得三个点表示的数相同，写出其中一种移动方法． 【答案】（1）0；﹣2；（2）点C向左移动7个单位长度，点B向左移动2个单位长度． 【解答】解：根据题意得：（1）点A向右移动3个单位长度后，变为﹣3+3＝0，点C向左移动6个单位长度后，变为4﹣6＝﹣2， ∴A表示的新数是0，C表示的新数是﹣2． （2）点C向左移动7个单位长度后，变为4﹣7＝﹣3，点B向左移动2个单位长度后，变为﹣1﹣2＝﹣3． 14．（2025秋•呼玛县期末）·【A】随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣11 ﹣14 0 ﹣16 +38 +18 （1）这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少km？ （2）请求出这七天中平均每天行驶多少千米？ （3）若每天行驶100km需用汽油6升，汽油价8.2元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？（计算结果精确到个位） 【答案】（1）七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行54km． （2）这七天中平均每天行51km． （3）估计小明家一个月的汽油费用是753元． （2）7天标准里程+比标准路程多行驶的路程＝7天一共行驶的路程； （3）一个月的行程÷100×6×8.2＝一个月的汽油费用． 【解答】解：（1）七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶：38﹣（﹣16）＝54（km）， 答：七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行54km． （2）7天比标准路程多行驶：﹣8﹣11﹣14﹣16+38+18＝7（km）， 7天一共行驶：7×50+7＝357（km）， 这七天中平均每天行驶：357÷7＝51（km）， 答：这七天中平均每天行51km． （3）30×51÷100×6×8.2 ＝1530÷100×6×8.2 ＝752.76 ≈753（元）， 答：估计小明家一个月的汽油费用是753元． 15．（2025秋•诏安县期中）·【A】小明用如图直观解释4﹣（﹣3）＝7，请你用类似的方法直观解释5﹣（﹣2）＝7． 【答案】 【解答】解：用类似小明的方法直观解释5﹣（﹣2）＝7如图所示： 16．（2025秋•曲靖期中）·【A】已知|a|＝5，|b|＝3，且a＜b，求a+b的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由|a|＝5，|b|＝3得 a＝±5，b＝±3， ∵a＜b， 所以a＝﹣5，b＝3，或a＝﹣5，b＝﹣3， 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2； 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8； 综上所述，a+b的值是﹣2或﹣8． 17．（2025秋•蕉岭县期末）·【B】对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2．若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6． （1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是4，则点B表示的数为 　1　 ； （2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”C2表示的数为11，则点C表示的数为 　或5　 ； （3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 【答案】见试题解答内容 （2）由于没有给出具体m，n的值，m，n为正整数，所以“6被关联点”要分4种情况进行，根据定义列出方程求出C表示的数，然后根据已知得到满足条件的C值即可； （3）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“k被关联点”的定义列出方程列出方程，再根据k的取值与t无关即可确定对应的m，n的值，进而确定k的值． 【解答】解：（1）设B表示的数为x，则有：2（x+1）＝4， ∴x＝1， 即B表示的数为1． 故答案为：1． （2）设C表示的数为y，C在M的右侧，则y＞2， ∵6的正因数有1、2、3、6， ∴①当m＝1，n＝6时，则有6（y+1）＝11，解得：y2，不符合题意，舍去； ②当m＝2，n＝3时，则有3（y+2）＝11，解得：y2，不符合题意，舍去； ③当m＝3，n＝2时，则有2（y+3）＝11，解得：y2，符合题意； ④当m＝6，n＝1时，则有y+6＝11，解得：y＝5＞2，符合题意； 综上所述，y为或5，即C表示的数为或5． 故答案为：或5． （3）设运动时间为t秒，则P表示的数为2+2t，Q点表示的数为﹣3+t， ∵点P始终为点Q的“k倍关联点”， ∴n（﹣3+t+m）＝2+2t， ∴（n﹣2）t+（﹣3n+mn﹣2）＝0， 对于任意t都成立 ∴n＝2，3n+mn﹣2＝0， 解得：n＝2，m＝4， ∴k＝8． 18．（2025秋•淮安区期中）·【B】有序数对（x，y）表示从左到右依次排列的两个数，把（x，y）变换成（﹣y+1，x+3）称为1次“伴随运算”．如：（2，1）经过1次“伴随运算”变成（﹣1+1，2+3），即为（0，5）． （1）把数对（1，2）经过1次“伴随运算”变成　（﹣1，4）　 ； （2）把数对（a，b）经过104次“伴随运算”变成（3，﹣1），求a+b的值； （3）若数对（a，b）经过m次（m为正整数）“伴随运算”所得的m个数对中，右边所有数的和与b的取值无关，则m的取值可能为　④　 ．（填序号） ①2022 ②2025 ③2029 ④2032． 【答案】（1）（﹣1，4）； （2）数对经过1次“伴随运算”变为（﹣b+1，a+3）， 经过2次“伴随运算”为[﹣（a+3）+1，﹣b+1+3]＝（﹣a﹣2，﹣b+4）， 经过3次“伴随运算”[﹣（﹣b+4）+1，﹣a﹣2+3]＝（b﹣3，﹣a+1）， 经过4次“伴随运算”[﹣（﹣a+1）+1，b﹣3+3]＝（a，b） 由此可知，每4次“伴随运算”为一循环， ∵104÷4＝26， ∴经过104次“伴随运算”后数对回到了最初的（a，b）， 又∵经过104次“伴随运算”变成（3，﹣1）， ∴a＝3，b＝﹣1， ∴a+b＝3+（﹣1）＝2； （3）②③④． （2）先求出数对（a，b）经过几次的“伴随运算”后的结果，找出循环规律，再根据104次“伴随运算”的结果求出a、b的值，进而求出a+b即可； （3）先求出数对（a，b）经过几次“伴随运算”后右边数的表达式，找出规律，再根据右边所有数的和与b的取值无关这一条件确定m的取值． 【解答】解：（1）根据“伴随运算”的定义可得：（1，2）的1次“伴随运算”为（﹣2+1，1+3）＝（﹣1，4）， 故答案为：（﹣1，4）； （2）数对经过1次“伴随运算”变为（﹣b+1，a+3）， 经过2次“伴随运算”为[﹣（a+3）+1，﹣b+1+3]＝（﹣a﹣2，﹣b+4）， 经过3次“伴随运算”[﹣（﹣b+4）+1，﹣a﹣2+3]＝（b﹣3，﹣a+1）， 经过4次“伴随运算”[﹣（﹣a+1）+1，b﹣3+3]＝（a，b） 由此可知，每4次“伴随运算”为一循环， ∵104÷4＝26， ∴经过104次“伴随运算”后数对回到了最初的（a，b）， 又∵经过104次“伴随运算”变成（3，﹣1）， ∴a＝3，b＝﹣1， ∴a+b＝3+（﹣1）＝2； （3）由（2）中数对（a，b）经过1到4次的“伴随运算”可知，第5次“伴随运算”为（﹣b+1，a+3），右边的数为a+3，与第1次结果相同， ∴“伴随运算”右边数也是每4次一个循环， ∴一个循环内右边的数的和为（a+3）+（﹣b+4）+（﹣a+1）+b＝8，与a、b的取值无关， ∴要使右边所有数的和与b的取值无关，则m应是4的倍数， ∵2022÷4＝505......2，2025÷4＝506......1，2029÷4＝507......1，2032÷4＝508， ∴m的取值为2025，2029，2032， 故答案为：②③④． 19．（2025秋•扶余市期末）·【C】在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝　14　 ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　8　 ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　12或16　 ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14． ②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8． ③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12； 当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16． （2）假设C为x， 当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x； 当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x． （3）设经过时间T秒，则P 点坐标为﹣12﹣6T，Q点坐标为﹣8T，M点坐标为2﹣2T． 当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），解得Ts． 当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉． 当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ， ∴﹣12﹣6T＝﹣8T， ∴T＝6s． 因此，当T秒时，此时，M，Q＝﹣10，P． 当T＝6秒时，此时，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48． 20．（2025秋•九龙坡区校级同步）·【C】我们知道：式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）若|x+5|＝6，则x的值为　1或﹣11　 ． （2）当|x+3|+|x﹣1|取最小值时，x可以取整数　﹣3、﹣2、﹣1、0、1　 ；|x+3|﹣|x﹣1|的最大值为　4　 ． （3）当x＝　﹣2　 时，|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的值最小，最小值为　7　 ． （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）1或﹣11； （2）﹣3，﹣2，﹣1，0，1；4； （3）﹣2；7； （4）菜鸟驿站建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元． （2）|x+3|+|x﹣1|表示有理数x的点到有理数﹣3的点，有理数x的点到有理数1的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数﹣2的点和与表示有理数﹣6的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|，求其最小值即可． 【解答】解：（1）若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 式子|x+5|在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数﹣5的点之间的距离， ∵|x+5|＝|x﹣（﹣5）|＝6 ∴当x在﹣5的左边时，则x＝﹣5﹣6＝﹣11； ∴当x在﹣5的右边时，则x＝﹣5+6＝1； 则x的值为：1或﹣11； 故答案为：1或﹣11； （2）根据题意可得，|x+3|+|x﹣1|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数﹣3的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当|x+3|+|x﹣1|取最小值时，则x在﹣3和1之间， ∴当﹣3≤x≤1时，即当x可以取整数﹣3、﹣2、﹣1、0、1； |x+3|﹣|x﹣1|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数﹣3的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当x在1的右边时，则|x+3|﹣|x﹣1|为表示有理数﹣3的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当x在1的左边时，则|x+3|﹣|x﹣1|＜4， ∴|x+3|﹣|x﹣1|最大值为4； 故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；4． （3）根据题意可得，|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数﹣2的点和与表示有理数﹣6的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当x＝﹣2时，|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的值最小，此时|x+2|+|x+6|+|x﹣1|即为﹣6和1之间的距离，即为7， ∴|x+2|+|x+6|+|x﹣1|最小值为7； 故答案为：﹣2，7； （4）设菜鸟驿站P在x处， 根据题意可得，运输距离为：|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|， |x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数﹣5的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|在﹣5≤x≤3之间才能取最小值， ∴当1≤x≤3时，|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|取得最小值， 则|x+5|+2|x﹣1|+3|x﹣3|＝x+5+2x﹣2+9﹣3x＝12， ∴此时最低成本12（元）， ∴菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $