专题06 代数式与代数式求值问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题06 代数式与代数式求值问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 题型二、已知式子的值，求代数式的值 题型三、用代数式表示数的规律 题型四、用代数式表示图形的规律 题型五、程序流程图与代数式求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及列代数式表示数量关系、化简代数式，以及直接代入、整体代入或程序框图求值。 - 解题方法：列式时抓关键词（和差倍分、平方、倒数）；求值先化简再代入；整体代入法将已知式子看作整体进行代换（如x2+x=3，则2x2+2x=6）。 - 易错提醒：列式时“a与b的平方和”与“a与b和的平方”混淆；代入负数或分数时漏加括号；整体代入时乘系数处理不当；化简中合并同类项符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 典例1 （26-27七年级·全国·暑假作业）若，且，则的值为___________． 题型模版 1.特征：给定字母的具体数值（或多个字母值），直接代入代数式进行计算。 2.方法：将字母的值代入代数式，按运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算得结果，注意符号。 变式1-1（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则的值为________． 变式1-2（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 变式1-3（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 典例2 （25-26七年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 题型模版 1.特征：已知一个代数式的值，求另一个相关代数式的值，常需整体代入或变形。 2.方法：将已知式看作整体，对所求式进行变形（如乘以系数、加常数），再整体代入计算。 变式2-1（25-26七年级上·宁夏固原·期中）【阅读材料】已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【学以致用】 （1）若，则________； （2）若，求代数式的值； （3）若，求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）若，，求代数式的值． 变式2-2（25-26七年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解：小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，求代数式的值． (2)若，求代数式的值． 变式2-3（25-26七年级上·四川凉山·期末）【阅读理解】整体思想是一种重要的数学思想．当题目中的字母取值不确定或不易求出时，我们可以将含有这些字母的代数式看作一个“整体”，直接代入所求的代数式进行求值．例如：已知，求的值．我们可以将看作一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)若代数式的值为10，求代数式的值； (3)已知当时，代数式的值为2024，求当时，代数式的值． 题型三、用代数式表示数的规律 典例3 有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 题型模版 1.特征：观察数列或图形变化，用含n的代数式表示第n个数或图形数量。 2.方法：先找相邻项差或比，确定是一次、二次或指数规律，用通项公式（如an+bn²）表示，验证前几项。 变式3-1观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 变式3-2观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 变式3-3如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 题型四、用代数式表示图形的规律 典例4 （25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ； (2)计算：． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，求第n个图形中某元素数量，常涉及等差数列或平方规律。 2.方法：数前几个图形中元素个数，找相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法求通项。 变式4-1（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 变式4-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 变式4-3（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 题型五、程序流程图与代数式求值 典例5 （25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 题型模版 1.特征：按程序框图的运算顺序，输入值求输出，或逆向求输入，涉及代数式求值。 2.方法：按流程逐步代入计算；逆向则从输出倒推，用逆运算（加→减，乘→除）求输入值。 变式5-1（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果； (2)设当输入的值为时输出的值为，当输入的值为时输出的值为，求的值． 变式5-2（25-26七年级上·宁夏固原·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 变式5-3（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）当时，代数式的值是（     ） A． B． C．2 D．12 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·山东泰安·期末）将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知，则____________． 7．（25-26六年级下·上海·期末）如果，那么________． 8．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，则________． 9．（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 10．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 三、解答题 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 12．（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 13．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 14．（2026·河北唐山·二模）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 15．（21-22七年级上·江苏南通·阶段检测）某文具厂生产一种笔记本和笔，笔记本每本定价20元，笔每支定价4元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一个笔记本送一支笔；方案二：笔记本和笔都按定价的%付款． 现某客户要到该文具厂购买笔记本30本，笔支． (1)若该客户按方案一购买， ①当时，需付款____________元； ②当时，若该客户按方案一购买，需付款____________元．（用含的代数式表示） (2)若该客户按方案二购买，需付款____________元．（用含的代数式表示） (3)若时， ①该客户应选择以上两种方案中的哪一种方案较省钱，请计算说明； ②该客户想用支付宝支付笔记本和笔的钱，但他支付宝上只剩元，则该客户是否可买下所需物品？请说明理由． 16．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 17．（25-26七年级下·浙江台州·期中）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 18．（22-23七年级上·全国·期末）某礼品店招聘员工，薪资待遇丰厚，竞争者蜂拥而至．笔试题目如下，聪明的同学也来试一试吧．（注意：包装纸重叠部分不计） (1)用代数式表示如图1所示的长方形礼品盒的表面积； (2)若顾客购买相同的两份礼品（礼品盒同图1），并要求包装在一起，请在以下两种包装方式中任选一种，并用代数式表示所需的包装纸的面积． 解：我选 （填“甲”或“乙”）． (3)当时，从节约的角度你会选择 种方式包装，所需包装纸 ； 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，最节约的包装方案需要包装纸 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 代数式与代数式求值问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 题型二、已知式子的值，求代数式的值 题型三、用代数式表示数的规律 题型四、用代数式表示图形的规律 题型五、程序流程图与代数式求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及列代数式表示数量关系、化简代数式，以及直接代入、整体代入或程序框图求值。 - 解题方法：列式时抓关键词（和差倍分、平方、倒数）；求值先化简再代入；整体代入法将已知式子看作整体进行代换（如x2+x=3，则2x2+2x=6）。 - 易错提醒：列式时“a与b的平方和”与“a与b和的平方”混淆；代入负数或分数时漏加括号；整体代入时乘系数处理不当；化简中合并同类项符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 典例1 （26-27七年级·全国·暑假作业）若，且，则的值为___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分别计算的值即可． 【详解】解：，， ，， ， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； 的值为或． 题型模版 1.特征：给定字母的具体数值（或多个字母值），直接代入代数式进行计算。 2.方法：将字母的值代入代数式，按运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算得结果，注意符号。 变式1-1（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：， ∴． 变式1-2（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：当时， ； ． （2）解：当，时， ； ． 变式1-3（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ． （2）解：当，时， ． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 典例2 （25-26七年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查代数式的化简与整体代入思想的应用．通过代数变形将原式转化为与已知条件相关的形式，避免了解方程的繁琐步骤，体现了代数运算中的技巧性与简洁性．关键在于合并同类项后识别出结构中的整体表达式． 【详解】解：原式= = =． 当时， 原式 ． 题型模版 1.特征：已知一个代数式的值，求另一个相关代数式的值，常需整体代入或变形。 2.方法：将已知式看作整体，对所求式进行变形（如乘以系数、加常数），再整体代入计算。 变式2-1（25-26七年级上·宁夏固原·期中）【阅读材料】已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【学以致用】 （1）若，则________； （2）若，求代数式的值； （3）若，求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）若，，求代数式的值． 【答案】（1）4；（2）5；（3）4；（4）4 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． （1）根据，代入计算即可得； （2）根据，代入计算即可得； （3）先求出，再根据，代入计算即可得； （4）根据，代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：4． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． （4）∵，， ∴ ． 变式2-2（25-26七年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解：小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，求代数式的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)1 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可； （2）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时 变式2-3（25-26七年级上·四川凉山·期末）【阅读理解】整体思想是一种重要的数学思想．当题目中的字母取值不确定或不易求出时，我们可以将含有这些字母的代数式看作一个“整体”，直接代入所求的代数式进行求值．例如：已知，求的值．我们可以将看作一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)若代数式的值为10，求代数式的值； (3)已知当时，代数式的值为2024，求当时，代数式的值． 【答案】(1)11 (2)1 (3)2 【分析】本题主要考查整体思想、代数式求值，利用整体思想进行化简是解题的关键． 每一小问都是利用整体思想先对整式进行变形，再将整体的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵代数式的值为10， ∴，即， ∵， ∴原式； （3）解：∵当时，代数式的值为2024， ∴,即， 当时，， ∴， ∵， ∴原式． 题型三、用代数式表示数的规律 典例3 有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 不难看出，分子部分为从1开始的自然数，分母部分为，据此可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个数为：， 故答案为：． 题型模版 1.特征：观察数列或图形变化，用含n的代数式表示第n个数或图形数量。 2.方法：先找相邻项差或比，确定是一次、二次或指数规律，用通项公式（如an+bn²）表示，验证前几项。 变式3-1观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【答案】 或 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．找分数的规律时，一定要分别观察分数的分子和分母的规律．观察分数的规律时：第n个的分子是n，分母是分子加1的平方减去1，即 或． 【详解】解：∵ ； ； … 则根据分子和分母的规律可知第n个数为 或． 变式3-2观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 【答案】(1)256； (2)第①行第n个数为；第②行第n个数为；第③行第n个数为； (3)1． 【分析】本题考查了数的规律探索，用代数式表示规律，求代数式的值，找到规律是解题的关键． （1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为正，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的2倍； （3）由（2）可分别得到行的第2024个数，即x、y、z的值，代入即可得的值． 【详解】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256； 故答案为：256； （2）解：第①行第n个数为； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的2倍，即第n个数为； （3）解：由（2），当时，， ． 变式3-3如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探索： （1）根据已知图形、等式找出规律，利用规律求解即可； （2）利用（1）中结论进行简便运算． 【详解】（1）解：图1中， 图2中， 图3中， …… 以此类推，图中，， 故答案为：； （2）解：结合（1）中结论，可知： ． 题型四、用代数式表示图形的规律 典例4 （25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ； (2)计算：． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据图形推理即可解得答案； （2）根据图形得出图n中空白部分的面积为．再将代入得出答案即可． 【详解】（1）解：由题知： 图①中阴影部分的面积为：； 图②中阴影部分的面积为：； 图③中阴影部分的面积为：； …， 所以图n中阴影部分的面积为． （2）解：由题知， 图①中空白部分的面积为：； 图②中空白部分的面积为：； 图③中空白部分的面积为：； …， 所以图n中空白部分的面积为：． 当时， ． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，求第n个图形中某元素数量，常涉及等差数列或平方规律。 2.方法：数前几个图形中元素个数，找相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法求通项。 变式4-1（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 变式4-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 变式4-3（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，据此规律求解即可； （2）根据（1）可得答案； （3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 题型五、程序流程图与代数式求值 典例5 （25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 题型模版 1.特征：按程序框图的运算顺序，输入值求输出，或逆向求输入，涉及代数式求值。 2.方法：按流程逐步代入计算；逆向则从输出倒推，用逆运算（加→减，乘→除）求输入值。 变式5-1（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果； (2)设当输入的值为时输出的值为，当输入的值为时输出的值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据程序框图列代数式及代入求值的能力；解题的关键是准确理解运算顺序，将文字步骤转化为代数表达式，并注意运算符号与代入计算的准确性；易错点是在列式时可能忽略负号或运算顺序错误． （1）先根据框图步骤写出输出结果的代数式； （2）再分别代入给定的值计算和，最后求的值． 【详解】（1）解：根据框图步骤得 （2）解：， 当时， 当时， ， 则． 变式5-2（25-26七年级上·宁夏固原·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，读懂流程图是解题关键． （1）根据示意图中的运算关系列出代数式即可得； （2）将，代入计算即可得． 【详解】（1）解：图中输出的式子为． （2）解：当输入，时， 则输出的数是 ． 变式5-3（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1)6.625 (2)，3 (3)243， 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案； （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算； （3）观察计算条件，先将输入固定1，得到输入6、输入1的输出值，再根据条件③，将输入固定6算出、均输入6时的输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ， ， ， 故答案为：6.625； （2）解：若输入的为时，， ， ， ， 若输入的为时，， ， ， 故答案为：，3； （3）解：由三个条件可知，当，均为1时，输出结果为1， 先输入数值为1，则可得输入的值为2，， 当输入3时，， 同理得，， ， ， 若输入固定值为6，， 同理得，， …… ， ，， 故答案为：243，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数． 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）当时，代数式的值是（     ） A． B． C．2 D．12 【答案】C 【详解】把代入可得． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．（25-26六年级下·山东泰安·期末）将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：50张白纸会有49个间隔，故粘合后长度会减少，则总长度为． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 二、填空题 6．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知，则____________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴． 7．（25-26六年级下·上海·期末）如果，那么________． 【答案】 【分析】平方和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出和的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，． 解得，． 将，代入， 得：． 8．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，则________． 【答案】6 【分析】先找出正方体展开图各组相对的面，根据互为相反数求出、、的值，再代入代数式计算结果． 【详解】解：由题意可得，正方体展开图中，与相对，与相对，与相对， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴，，． ∴． 9．（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 【答案】 或 【分析】先根据相反数、倒数、绝对值的定义求出，，的值，再分情况代入代数式计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是， ，，， 当时，； 当时，； 综上，或． 10．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 【答案】 【分析】先根据新的定义可得，，再作为整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由①②得：，即， 由②①得：，即， ∴． 三、解答题 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果； （2）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果． 【详解】（1）解：已知， 将代入 ， 得：原式； （2）解：将代入， 得：原式． 12．（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解之得， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ． 13．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）先代入，再利用裂项相消的方法求解即可． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 14．（2026·河北唐山·二模）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“与互为相反数”找出原点的位置即可求出的值； （2）根据的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定的值求解； （3）根据“数轴上点的位置右边点表示的数两点之间的距离”，用将的值表示出来进行求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 15．（21-22七年级上·江苏南通·阶段检测）某文具厂生产一种笔记本和笔，笔记本每本定价20元，笔每支定价4元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一个笔记本送一支笔；方案二：笔记本和笔都按定价的%付款． 现某客户要到该文具厂购买笔记本30本，笔支． (1)若该客户按方案一购买， ①当时，需付款____________元； ②当时，若该客户按方案一购买，需付款____________元．（用含的代数式表示） (2)若该客户按方案二购买，需付款____________元．（用含的代数式表示） (3)若时， ①该客户应选择以上两种方案中的哪一种方案较省钱，请计算说明； ②该客户想用支付宝支付笔记本和笔的钱，但他支付宝上只剩元，则该客户是否可买下所需物品？请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 解：①选择方案一所需费用为：元， 选择方案二所需费用为：元， 所以应选择方案一较省钱； ②可以，理由：选择方案一购买个笔记本可送支笔，需费用元，再选择方案二购买支笔，需费用为元，共需元．因为，所以该客户可以买下所需物品． 【分析】（1）根据第一种方案买一个笔记本送一支笔列出代数式，前支笔不需要另外付款，超过支的部分需要付款即可； （2）直接根据笔记本和笔都按定价的付款列出代数式即可； （3）①分别计算出两种方案所需费用，比较即可；②结合两种方案即可得出结论． 【详解】（1）①当时，元； ②当时，元； （2）解：元． （3）①略 ②略 16．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 17．（25-26七年级下·浙江台州·期中）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇数式的定义即可求解； （2）根据奇数式和偶数式的定义对各代数式进行分析判断即可； （3）是奇数式，当分别取，2024，，2025时，的和为，即可得的值． 【详解】（1）解：∵是奇数式，且当时，， ∴当时，． （2）解：∵， ∴是偶数式， ∵, ∴是偶数式， ∵, ∴是奇数式， ∵， ∴是偶数式． （3）解：∵， ∴是奇数式，∴当分别取，2024，，2025时，的和为， ∴． 18．（22-23七年级上·全国·期末）某礼品店招聘员工，薪资待遇丰厚，竞争者蜂拥而至．笔试题目如下，聪明的同学也来试一试吧．（注意：包装纸重叠部分不计） (1)用代数式表示如图1所示的长方形礼品盒的表面积； (2)若顾客购买相同的两份礼品（礼品盒同图1），并要求包装在一起，请在以下两种包装方式中任选一种，并用代数式表示所需的包装纸的面积． 解：我选 （填“甲”或“乙”）． (3)当时，从节约的角度你会选择 种方式包装，所需包装纸 ； 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，最节约的包装方案需要包装纸 ． 【答案】(1) (2)甲，（或填乙，） (3)乙，76；112 【分析】（1）已知长、宽、高，利用长方体的表面积为，即可写出代数式； （2）根据两种摆放方式易得长、宽、高，再列出对应的表面积代数式即可； （3）观察甲乙图形，当时，乙图中重合部分的面积更大，因此表面积更小，故应该选择乙方式包装，然后根据新的长、宽、高计算出表面积即可；画出4个长方形可以摆成的形状，共6种，先比较重合部分面积，重合面积越大，数量越多的所构成的表面积就越小，选出表面积最小的然后列式计算即可． 【详解】（1）解： 所以图1所示的长方形礼品盒的表面积为 （2）解：若选甲，两个礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高， 所需的包装纸的面积为． 若选乙，两个礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高， 所需的包装纸的面积为． （3）解：当时，若选甲，所需的包装纸的面积为， 若选乙，所需的包装纸的面积为， 因为， 所以从节约的角度选择乙种方式包装，所需包装纸． 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，有以下6种不同的摆放方式，如图所示： 观察可知，图⑤重合面积大，数量多，所构成的表面积最小， 所以图⑤最省包装纸，此时礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高，所需的包装纸的面积为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $