专题2.1 等式性质与不等式性质重难点题型专训讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学等式性质与不等式性质，以不等关系表示为起点，衔接作差法、作商法比较大小，进而系统梳理等式基本性质与不等式7大核心性质，构建从概念到方法再到应用的完整学习支架。 资料通过6大基础题型（如用不等式表示投资方案）、2大提高题型（如代数式大小比较综合）及自我检测分层设计，结合实际问题培养数学眼光，通过逻辑推理与证明训练数学思维，助力课中教学实施与课后学生查漏补缺。

专题2.1 等式性质与不等式性质重难点题型专训 （3个知识点+6大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、用不等式表示不等关系 题型二、作差法比较代数式的大小 题型三、作商法比较代数式的大小 题型四、由已知条件判断所给不等式是否正确 题型五、由不等式的性质比较数(式)大小 题型六、由不等式的性质证明不等式 第二部分·练提高题型 题型一、比较代数式的大小的方法 题型二、不等式的性质的应用 第三部分・自我检测 知识点01 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【即时训练】 1．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________. 知识点02 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【即时训练】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 2．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 知识点03 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则: ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【即时训练】 1．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，使和同时成立的一个充分条件是______． 【基础题型一 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 3．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【基础题型二 作差法比较代数式的大小】 【例2】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 2．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）(多选)下列不等式中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 4．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 【基础题型三 作商法比较代数式的大小】 【例3】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 1．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 4．（25-26高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 【基础题型四 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例4】（2026高三·全国·专题练习）若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海徐汇·期中）有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 4．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【基础题型五 由不等式的性质比较数(式)大小】 【例5】（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 4．（25-26高二上·湖南湘西·期末）已知，，（，），判定，，的大小关系. 【基础题型六 由不等式的性质证明不等式】 【例6】（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是________． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【提高题型一 比较代数式的大小的方法】 【例1】（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·上海·期中）在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 4．（24-25高一·全国·课后作业）设，，且，试比较，，三者的大小. 【提高题型二 不等式的性质的应用】 【例2】（25-26高一下·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（24-25高二下·贵州铜仁·期中）已知三个不等式：①；②③则以其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26高一下·甘肃平凉·开学考试）（多选）（多选）已知实数，，，，则下列命题中错误的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是________. 4．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 2．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江西九江·期末）设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 7．（2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·三模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．（2026高三·全国·专题练习），，，则，，，由大到小的顺序是________． 12．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）若，，则M、N的大小关系是M______N 13．（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 14．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设为实数，且，则下列不等式正确的有__________． ①；②；③；④． 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）若非零实数满足，则（1），（2）对于任意实数,，（3），（4）对于任意实数, .上述不等式一定成立的序号是___________． 16．（2025高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 17．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 18．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 19．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 20．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质重难点题型专训 （3个知识点+6大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、用不等式表示不等关系 题型二、作差法比较代数式的大小 题型三、作商法比较代数式的大小 题型四、由已知条件判断所给不等式是否正确 题型五、由不等式的性质比较数(式)大小 题型六、由不等式的性质证明不等式 第二部分·练提高题型 题型一、比较代数式的大小的方法 题型二、不等式的性质的应用 第三部分・自我检测 知识点01 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【即时训练】 1．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________. 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 知识点02 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【即时训练】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【分析】通过作差法即可求解. 【详解】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 2．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 知识点03 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则: ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【即时训练】 1．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，使和同时成立的一个充分条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的， 所以“”是“和同时成立”的充分条件， 即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件， 所以充分条件可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【基础题型一 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 【答案】BCD 【分析】根据实际问题中的不等关系的不等式表达判断可得. 【详解】某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”，故A错误； 小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”，故B正确； 某变量至少为可表示为“”，故C正确； 某变量不超过可表示为“”，故D正确. 故选：BCD 3．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系. 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 【基础题型二 作差法比较代数式的大小】 【例2】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）(多选)下列不等式中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法，比较大小，判断选项. 【详解】A.，所以，故A正确； B. ，所以，故B正确； C. 当时，，即，故C错误； D. ，则，故D正确. 故选：ABD 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： 4．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差后配方来判断符号，即可得大小关系； （2）作差后通分，由题目条件判断符号，即可证明大小关系. 【详解】（1）， 所以. （2）证明： 因为，，， 所以，， 所以原式大于0， 即. 【基础题型三 作商法比较代数式的大小】 【例3】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 1．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【详解】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 2．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 4．（25-26高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【基础题型四 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例4】（2026高三·全国·专题练习）若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确； 对于选项D：可得，故D错误. 1．（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，结合的条件逐一验证各选项的恒成立性. 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，则得，故A正确； 对于B，若取，满足， 此时，不满足，故B错误； 对于C，由题意得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由题意得，因为，所以， 则，故D正确. 3．（25-26高一上·上海徐汇·期中）有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 【答案】 【分析】根据不等式性质分别判断各命题. 【详解】①由，当时，，所以①错误； ②由，即，所以，所以②正确； ③由，当时，，所以③错误； 故答案为：. 4．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）∵，且、，∴，∴ （2）∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵、，∴，由（1）知， ∴，∴. 【基础题型五 由不等式的性质比较数(式)大小】 【例5】（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 1．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 3．（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 【答案】 【分析】计算可得、，则，即可得解. 【详解】， ， 故. 故答案为：. 4．（25-26高二上·湖南湘西·期末）已知，，（，），判定，，的大小关系. 【答案】. 【分析】先将化为，再根据不等关系判断其与的大小关系；接下来将化为，再根据不等关系判断其与的大小关系，最后得出，，的大小关系. 【详解】∵， ， ∴. 【基础题型六 由不等式的性质证明不等式】 【例6】（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方数的非负性判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】因为，即， 所以，当且仅当时取等号，故B错误，C正确； 又，即，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 当，时，，故D错误； 故选：C 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质和特殊值验证的方法验证即可. 【详解】因为，不妨令，，，.则，，，A错误；，，，C错误； 因为，所以，又因为，利用同向不等式可加性得，B正确； 因为，所以，利用同向同正不等式可乘性，所以，D正确； 故选：BD 3．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是________． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【提高题型一 比较代数式的大小的方法】 【例1】（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 1．（25-26高一下·上海·期中）在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法结合特殊值法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为， 当且仅当时，等号成立，故，A中的不等式恒成立； 对于B选项，因为， 当且仅当，时，等号成立，故，B中的不等式恒成立； 对于C选项，因为， 当且仅当时，等号成立，C中的不等式恒成立； 对于D选项，当，时，， 当且仅当时，等号成立， 当，时，，D中的不等式不恒成立. 2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断； 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）：，即． 故答案为： 4．（24-25高一·全国·课后作业）设，，且，试比较，，三者的大小. 【答案】 【分析】先分为和两种情形，利用作商法，结合，的符号，将其结果和1比较，综合即可得结果. 【详解】由题知，，且. 当时，，，， ∴， ∴； 当时，，，, ∴， ∴ ∴，且时，总有. 同理可得，，且时， 综上所述，. 【提高题型二 不等式的性质的应用】 【例2】（25-26高一下·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项A：. 又，即，即，错误. 选项B：当时，满足，，错误. 选项C：当时，，错误. 选项D：， 代入，原式.正确. 1．（24-25高二下·贵州铜仁·期中）已知三个不等式：①；②③则以其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据不等式的性质和实数乘除的法则，可知由任意两个作为条件，都可以得到第三个结论是正确的． 【详解】解：由于，在两边同除以，得，故①③②成立； 由于，在的两边同乘以，得，故①②③成立； 由，移项通分得，结合，得分母，故②③①成立． 综上所述，以其中两个作条件，余下的一个作结论，可组成3个真命题． 故选：D． 2．（25-26高一下·甘肃平凉·开学考试）（多选）（多选）已知实数，，，，则下列命题中错误的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】本题关键在于： 1.不等式的性质是有条件的，乘以或除以负数时，不等号方向要改变； 2.判断不等式命题真假时，举反例是一种非常有效的方法，尤其是在处理 “一定成立” 或 “一定不成立” 的命题时. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，不妨取，，，，满足，，但，故B错误； 对于C，若，则，所以，则，故C正确； 对于D，取，，，，此时，故D错误． 故选：． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是________. 【答案】 【分析】根据分子有理化计算判断大小关系. 【详解】因为， ， 所以A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）为． 故答案为：. 4．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证，只需证，平方后结合条件即可证明； （2）分别证充分性和必要性即可. 【详解】（1）因为，， 由题设，，得. 因此. （2）（ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 2．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件得与同号，进而得，整理即判断D，对于ABC，利用特殊值判断不成立即可. 【详解】由得，即， 所以与同号， 对于A选项，当时，满足，，故不一定成立，错误； 对于B选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于C选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于D选项，由得，整理得，即，故正确. 故选：D 3．（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 4．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 5．（25-26高二下·江西九江·期末）设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则， 但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 6．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 7．（2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 8．（2026·河南·三模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 10．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 11．（2026高三·全国·专题练习），，，则，，，由大到小的顺序是________． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差法判断即可. 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 12．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）若，，则M、N的大小关系是M______N 【答案】 【分析】令，对进行化简后作差求解. 【详解】令，则，， ， 所以. 故答案为： 13．（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 【答案】②③ 【分析】根据不等式的性质，逐一进行检验. 【详解】对于命题①，且时，若，有，命题①为假命题； 对于命题②，且时，由可得，即， 所以，得且，即，命题②为真命题； 对于命题③，且时，有且， 所以，满足，命题③为真命题. 14．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设为实数，且，则下列不等式正确的有__________． ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】∵， ∴，故①正确； 取,,,此时，,故②错误；③错误；故④错误； 故答案为：①． 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）若非零实数满足，则（1），（2）对于任意实数,，（3），（4）对于任意实数, .上述不等式一定成立的序号是___________． 【答案】（2） 【分析】举例说明判断（1）（3）（4）；利用不等式性质判断（2）. 【详解】对于（1），取，满足，而，则（1）不一定成立； 对于（2），因，由不等式性质得，（2）一定成立； 对于（3），取，满足，而，（3）不一定成立； 对于（4），取，满足，而，（4）不一定成立， 所以给定不等式一定成立的序号是（2）. 故答案为：（2） 16．（2025高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质，结合作差法判断即可. 【详解】（1）由于，即，不满足“下位序列”的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. 17．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 18．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 19．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 【分析】（1）利用作差法，即可求解； （2）通过不等式的性质，即可求解. 【详解】（1），理由略； （2），理由略. 20．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 学科网（北京）股份有限公司 $