利用基本不等式求最值的常见错误及十二种技巧-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式求最值核心知识点，先系统回顾重要不等式、基本不等式成立条件、常用不等式及三元均值不等式等基础，再通过“一正二定三等”常见错误分析与十二种技巧（如凑项、分离、常数代换等），构建从理论到应用的学习支架。 该资料特色在于以错误类型为导向培养数学思维（如避免忽视正数条件），用多样化技巧提升数学眼光（如换元法发现问题本质），结合实例与练习题强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后帮助学生自主巩固，有效查漏补缺。

利用基本不等式求最值的常见错误及十二种技巧 一 知识回顾： 1.重要不等式a2＋b2≥ 2ab　(a，b∈R)(当且仅当 a＝b　时等号成立)． 2.基本不等式≤(均值定理) （1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立； (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 3.利用基本不等式求最大、最小值问题 （1）．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当 x＝y　时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”) （2）如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”) 4.常用的几个重要不等式 (1).a＋b≥2(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号) (2).(a，b∈R)(当且仅当a＝b时取等号) (3).2≤(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号) (4) ＋≥2 (a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)． (5) (a＋b)2≤2(a2＋b2). (6) a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. (7) |2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2. (8) ≤≤≤(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)． 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 5. 三元均值不等式 (1)≥. (2)≥abc. 以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 6、高中阶段涉及的几个平均数：设 (1)调和平均数： (2)几何平均数： (3)代数平均数： (4)平方平均数： (5)均值不等式：，等号成立的条件均为： 特别的，当时，即基本不等式 7.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：， 当且仅当时等号成立. 二 利用基本不等式求最值常见错误 一正二定三等引起的错误，一要正：各项或各因式必须为正数；二定：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错；三等：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值． 错误一 忽视“正数”条件 1.函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________． 【错解】没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥2. 【正解】∵x<0,∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2＝1＋2,当且仅当x＝－时取等号,故y的最小值为1＋2. 【点评】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件． 2.求函数的值域． 【错解】,当且仅当即时取等号．∴当时,y的最小值为25,此函数没有最大值． 【正解】当时，的最小值为25，当时，的最小值为-1， 的值域为． 错误二 忽略“积为定值”或“和为定值” 3. 当时,求的最小值． 【错解】因为 ,当且仅当，即x=时，的最小值为． 【正解】因为 = 当且仅当,即时等号成立，的最小值为． 错误三 “等号”不成立 4.正数满足,则的最小值为 ． 【错解】因为,所以,故,即的最小值为8. 【正解】，当且仅当时取等号. 【点评】尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致． 5.已知为正常数,正数满足,求的最小值． 错解：,得,则, 【错因分析】第一个等号成立的条件是,第二个等号成立的条件是,能得到正确结论说明两次取得等号的条件不一定相同 正解：,当且仅当时取等号 6.已知,且,求的最小值． 【错解】,且,,故． 【错因】解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是,即,取等号的条件的不一致,产生错误．因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法． 【正解】,,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,． 三 基本不等式求最值常用技巧 技巧一： 凑项 1．设,则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【解析】 因为,则,当且仅当,即且时取等号,所以的最小值为4． 2.设,则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】拼凑成和为定值的形式 【解析】 (当且仅当和,即时取等号),故选D. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型. 3.已知,则的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为,则． 所以且仅当,即时等号成立,故选B． 技巧二：凑系数 4.设,求函数的最大值． 【解析】∵,∴,∴,当且仅当,即时等号成立． 【点评】要提高拼凑的技巧,设法拼凑出乘积或和为定值的形式 技巧三： 分离 形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 5. 求的值域． 【分析一】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有的项,再将其分离． 【解析一】,当,即时,（当且仅当时取“＝”号）． 6.已知a,b都是负实数,则的最小值是（ ） A． B．2（﹣1） C． D．2（+1） 【答案】B 【解析】 ,故选B． 7.设，求函数的最小值为_______________ 【答案】 【解析】考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为 技巧四 常数代换法 ①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1 已知正数满足，求的最小值。 模型2 已知正数满足求的最小值。 8.已知,且,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两边除以得,所以. 技巧五 消元法 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围 9．已知，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，且，可得，则，设，可得且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 10．已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】正实数满足，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.故答案为： 技巧六 换元法 ①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. ②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 11.设是正实数,且,则的最小值是__________． 【答案】． 【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值； 【解析一】 【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数． 【解析二】设,,则, 12.已知实数，求的最大值. 【解一】局部代换 令， 于是 技巧七 齐次化求最值 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 13.设为实数，若，则的最大值是 ． 【分析】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式，再求的最大值． 【答案】． 【解析】，可解得的最大值为． 【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想，所求目标函数是和的形式，那我们就设法消去条件等式中的乘积，方法就是利用基本不等式，这里它的作用，一个是消元，还有就是把条件的等式变为了不等式． 14．（多选题）若，满足， （1）求的范围 （2）求的最大值 【解析】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，所以 （2）由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，所以， 技巧八 利用两次基本不等式求最值 在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可. 15．若实数，满足，则的最小值为 A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】由可知. 由基本不等式可得. 所以，解得，当且仅当时取等号，即的最小值为.故选C. 技巧九 基本不等式与对勾函数 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数； ①当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： ②当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 16.设函数，则下列结论中正确的是（    ）． A．在递增 B．在递减 C．的最小值是 D．不存在反函数 【答案】D 【分析】由基本不等式可判断C；由双勾函数的性质可判断A，B；在其定义域内非单调函数，不存在反函数，可判断D. 【详解】当时，,当且仅当，即时取等， 当时，, 当且仅当，即时取等，故C错误； 由双勾函数的性质可得：在上递减，上递增．故A、B不正确． 在其定义域内非单调函数，不存在反函数，故D正确.故选：D. 17．【多选】下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解 【详解】A选项，令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增，故， 故的最小值为，A错误； B选项，因为，所以，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数最小值为，B正确； C选项，当时，，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故，C正确； D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减，故，D错误. 故选：BC 18．【多选】已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)； ，但是等号取不到； 因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号； 因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号).故选：ACD. 技巧十 与基本不等式有关的参数问题 (1)求参数的值或取值范围的方法 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 19．已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可. 【详解】因为且，所以 ，当且仅当时取等号． 因为不等式恒成立，所以，解得．故答案为：. 20．正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围. 【详解】因为不等式恒成立，所以，由，， 可得，当且仅当时等号成立， 所以，解得.所以的取值范围为.故答案为：. 21．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立，由，，则， 可得，当且仅当，即时取得等号， ∴，解得．故正实数的取值集合为.故答案为：． 技巧十一 添加参数 22.设是不全为零的实数,求的最大值． 【解析】显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可以找到相应的正参数满足：故依据取等号的条件得,,参数就是我们要求的最大值．消去我们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到． 【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值．学*科网 综上所述,应用均值不等式求最值要注意： 一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错；三能“等”：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值． 技巧十二 容积的最值问题 23．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值. 【答案】米，米；立方米 【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解. 【详解】由题意，，即，， 所以，即， 解得，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以. 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米. 24．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ，当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 25．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 巩固提升： 1.设非零实数a,b,则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为a,b∈R时,都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0,即a2＋b2≥2ab,而＋≥2⇔ab>0, 所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件,故选B. 2.已知正数x,y满足x＋2y－xy＝0,则x＋2y的最小值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【解析】由x＋2y－xy＝0,得＋＝1,且x>0,y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)×(＋)＝＋＋4≥4＋4＝8. 3．已知a＞0,b＞0,则＋＋2的最小值是（ ） A．2 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】＋＋2,当且仅当,即时等号成立,取得最值 4.已知为正实数,则的最小值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】,当且仅当时取等号,故选D. 5.已知x,y为正实数,3x＋2y＝10,求函数W＝＋的最值． 【分析一】可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系． 【解法一】＋ ≤＝＝2． 【分析二】条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢． 【解法二】W＞0,W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20,∴W≤＝2． 6.求函数的最大值． 【解析】注意到与的和为定值． ,又,,当且仅当=,即时取等号,故． 【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件． 7.设为实数,若,则的最大值是 ． 【分析】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式,再求的最大值． 【答案】． 【解析】,可解得的最大值为． 【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式． 8.若正实数,,满足,则的最大值为（ ） A．2 B．3 C. 4 D．5 【分析】构成关于的不等式,通过解不等式求最值 【解析】由,得.即, .计算得出: .的最大值是.所以C选项是正确的. 9.若对任意的正实数恒成立,求的最小值． 【解】对任意的正实数恒成立,∴ 对任意的正实数恒成立． 设,由取等号条件：,消去,可以得到：,解得：,因此的最小值为． 10.若，，，则的最大值为（ ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，当且仅当时等号成立，故选D. 11．已知实数，满足，，则的最小值是 A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】，，，，当且仅当时，取等号． 则， 当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B． 12．若, , ,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意, 故选B. 13.已知, , ,则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由得,故. 14．若不等式对任意正数恒成立,则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】不等式对任意正数恒成立,,,当且仅当时取等号,,实数的取值范围为,故答案为. 15．【多选】已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误. 【分析】由，得，所以，A正确． 因为，所以，所以0，所以，B正确． 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，C正确． 因为，所以，D错误．故选：ABC． 16．【多选】已知正数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出的范围并结合均值不等式判断AB；举例说明判断C；利用不等式性质推理判断D作答. 【解】由，，得，即，而，则，A正确； 显然，当且仅当时取等号，则，B正确； 取，，则满足，，此时，C错误； 由，得，即，于是，同理，则，D正确． 故选：ABD 17．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【详解】因为，所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，，故实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解. 18．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为，利用基本不等式求左侧的最小值，注意取值条件，即可得参数范围. 【解】由题意，只需在时即可， 又，则，故， 当且仅当时等号成立，故，所以，即. 故选：A 19．若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 20．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 21．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，，则由，可得. 当且仅当，即，时取等号.所以的最大值为. 23．设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误；对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 24．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 25．若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 26．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ，当，即时，等号成立. 27．已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立.的最大值为 28．已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 【答案】B 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 29．已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】， 当且仅当时等号成立，因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 30．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号，即的最小值为9. 31．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足，则有 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 32．已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可. 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . .由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 33．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 34．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式对进行放缩，得到关于的不等式，将目标式转化为只关于的单变量函数，对单变量函数求最值，可利用基本不等式求解，同时验证等号成立条件. 【详解】根据基本不等式，结合已知得， 整理得，当且仅当时等号成立. 把的上界代入目标式，可得， 对正数，由基本不等式，当且仅当即时等号成立， 代入得，当时，由和， 解得，均为正数，满足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为 . 35．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 36．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立.故的最小值为. 37．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 38．“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得，令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，即当时，取最小值为，所以的最大值为． 39．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，，所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立，所以，所以，所以m的最大值为5. 40．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 41．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为，因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 42．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ，当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 43．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得，不等式可化为，所以.故选：A 44．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 45．已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号，所以，故选：B 46．若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足，即，， 所以， 当且仅当时等号成立，又恒成立， 所以，解得．故选：C． 47．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号．所以原式的最小值为： 48．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得，则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 49．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值是. 50．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取.∴的最小值为. 51．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 52．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 53．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立．故选. 54．若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误；对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确.故选：D. 55．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误.故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用基本不等式求最值的常见错误及十二种技巧 一 知识回顾： 1.重要不等式a2＋b2≥ 2ab　(a，b∈R)(当且仅当 a＝b　时等号成立)． 2.基本不等式≤(均值定理) （1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立； (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 3.利用基本不等式求最大、最小值问题 （1）．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当 x＝y　时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”) （2）如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”) 4.常用的几个重要不等式 (1).a＋b≥2(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号) (2).(a，b∈R)(当且仅当a＝b时取等号) (3).2≤(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号) (4) ＋≥2 (a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)． (5) (a＋b)2≤2(a2＋b2). (6) a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. (7) |2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2. (8) ≤≤≤(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)． 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 5. 三元均值不等式 (1)≥. (2)≥abc. 以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 6、高中阶段涉及的几个平均数：设 (1)调和平均数： (2)几何平均数： (3)代数平均数： (4)平方平均数： (5)均值不等式：，等号成立的条件均为： 特别的，当时，即基本不等式 7.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：， 当且仅当时等号成立. 二 利用基本不等式求最值常见错误 利用基本不等式求最值需要满足三个条件：一正二定三等， 一正：各项或各因式必须为正数； 二定：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错； 三等：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值． 错误一 忽视“正数”条件 1.函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________． 2.求函数的值域． 错误二 忽略“积为定值”或“和为定值” 3. 当时,求的最小值． 错误三 “等号”不成立 4.正数满足,则的最小值为 ． 5.已知为正常数,正数满足,求的最小值． 6.已知,且,求的最小值． 三 基本不等式求最值常用技巧 技巧一： 凑项 1．设,则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 2.设,则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知,则的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 技巧二：凑系数 4.设,求函数的最大值． 技巧三： 分离 5. 求的值域． 6.已知a,b都是负实数,则的最小值是（ ） A． B．2（﹣1） C． D．2（+1） 7.设，求函数的最小值为_______________ 技巧四 常数代换法 8.已知,且,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 技巧五 消元法 9．已知，若，则的最小值为 . 10．已知正实数满足，则的最小值为 . 技巧六 换元法 11.设是正实数,且,则的最小值是__________． 12.已知实数，求的最大值. 技巧七 齐次化求最值 13.设为实数，若，则的最大值是 ． 14．（多选题）若，满足， （1）求的范围 （2）求的最大值 技巧八 利用两次基本不等式求最值 15．若实数，满足，则的最小值为 A. B. 2 C. 2 D. 4 技巧九 基本不等式与对勾函数 16.设函数，则下列结论中正确的是（    ）． A．在递增 B．在递减 C．的最小值是 D．不存在反函数 17．【多选】下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 18．【多选】已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 技巧十 与基本不等式有关的参数问题 19．已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 20．正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 21．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 技巧十一 添加参数 22.设是不全为零的实数,求的最大值． 技巧十二 容积的最值问题 23．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值. 24．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      25．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 巩固提升： 1.设非零实数a,b,则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知正数x,y满足x＋2y－xy＝0,则x＋2y的最小值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．0 3．已知a＞0,b＞0,则＋＋2的最小值是（ ） A．2 B．2 C．4 D．5 4.已知为正实数,则的最小值为（ ） A． B． C． D．3 5.已知x,y为正实数,3x＋2y＝10,求函数W＝＋的最值． 6.求函数的最大值． 7.设为实数,若,则的最大值是 ． 8.若正实数,,满足,则的最大值为（ ） A．2 B．3 C. 4 D．5 9.若对任意的正实数恒成立,求的最小值． 10.若，，，则的最大值为（ ） A．25 B． C． D． 11．已知实数，满足，，则的最小值是 A．10 B．9 C． D． 12．若, , ,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13.已知, , ,则的最小值为__________． 14．若不等式对任意正数恒成立,则实数的取值范围为_____． 15．【多选】已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 16．【多选】已知正数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 17．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 18．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 21．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 22.设是不全为零的实数,求的最大值． 23．设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 24．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 25．若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 26．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 27．已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 28．已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 【答案】B 29．已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 30．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 31．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 32．已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 33．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 34．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 35．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 36．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 37．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 38．“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 39．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 40．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 41．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 42．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 43．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 44．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 47．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 48．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 49．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 50．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 51．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 52．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 53．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 54．若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 55．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $